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Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » *(*) Ein intransitives Würfelspiel
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Universität/Hochschule *(*) Ein intransitives Würfelspiel
AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-03


Huhu zusammen,

heute morgen habe ich diesen Thread LinkOptimale Strategie in Schere, Stein, Papier überflogen und darüber eine Weile nachgedacht. Anlässlich eines Würfelpieles habe ich überlegt, wie man dies Intransivität von Schere-Stein-Papier darauf übertragen kann. Ich möchte meine Überlegungen mit euch teilen und will sie als kleine Knobelaufgabe formulieren.

Drei Spieler (I, II, III) spielen ein Würfelspiel. Statt normaler Spielwürfel werfen sie jedoch jeweils einen aus einem Satz von fünf Ikosaedern (A,B,C,D,E), wobei jeder Spieler, sobald er an der Reihe ist, einen der „Würfel“ auswählt. In einer zweiten Phase einer Spielrunde werfen dann alle Spieler die ausgewählten (es können durchaus die gleichen sein, die bereits andere Spieler gewählt haben) Würfel und notieren die Ergebnisse.
Jeder Spieler setzt vor Beginn der Runde einen Euro, der Spieler mit der höchsten geworfenen Zahl gewinnt den gesamten „Pott“ (von 3 Euro). Im Falle eines Unentschiedens gewinnt niemand und der Einsatz geht an eine „Bank“.

Bisher ist dieses Spiel noch nicht sehr spannend…
Sehen wir uns also mal die Spielgeräte an! Die Seiten der "Würfel" sind wie folgt beschriftet:
A) 1 1 1 1   6 6 6 6   6 6 6 6   6 6 6 6   6 6 6 6
B) 2 2 2 2   2 2 2 2   7 7 7 7   7 7 7 7   7 7 7 7
C) 3 3 3 3   3 3 3 3   3 3 3 3   8 8 8 8   8 8 8 8
D) 4 4 4 4   4 4 4 4   4 4 4 4   4 4 4 4   9 9 9 9
E) 5 5 5 5   5 5 5 5   5 5 5 5   5 5 5 5   5 5 5 5

Die Spieler spielen zunächst 10 Runden, in denen jeder Spieler zufällig einen Würfel wählt. Dann bemerkt Spieler III, dass er etwas cleverer vorgehen kann und wählt nur noch zufällig aus den Würfeln, die ihm die höchsten (nach Kenntnis der von den anderen verwendeten Würfeln) Gewinnchancen verspricht. Wiederum vergehen 10 Runden, bevor Spieler II die Strategie von Spieler III durchschaut und nun seinerseits seine Spielweise darauf einstellt und seinen Gewinn maximiert. Spieler III bleibt bei seiner Strategie, d.h. Spieler II wählt unter allen Würfeln, die ihm den höchsten (auf die Strategie von Spieler III) bedingten Gewinn versprechen, einen zufälligen Würfel aus. Nach weiteren 10 Runden durchschaut endlich auch Spieler I die Strategie der beiden anderen und passt seine Strategie entsprechend an. Er wählt zufällig unter allen Würfeln, die ihm bedingt auf die (sich nicht ändernden) Strategien der Spieler II und III den höchsten Gewinn versprechen, einen zufälligen aus. Es werden erneut 10 Runden gespielt.

Hier nun ein paar Fragen zu diesem Spiel:
  • Werden die letzten 10 Runden mit jeweils der gleichen Würfelwahl gespielt? Wenn ja, welche ist dies?
  • Wie geht dieses Spiel im Mittel (also als Erwartungswerte) aus? D.h. welchen Betrag haben die Spieler I, II, III (sowie ggf. die Bank) im Mittel nach den 40 Runden gewonnen oder verloren?
  • Kann Spieler III eine Strategie finden, die seinen eigenen Gewinn (bzw. Verlust) unverändert lässt, aber die Erträge von Spieler I und II verändert? (Sofern das Spiel unter gleichen Bedingungen wiederholt wird)


Als Zusatz: Nach den 40 Runden beschweren sich zwei der Spieler, dass das Spiel unfair sei und drohen eine Koalition zu bilden.
  • Was würden erneute 40 Runden des Spieles für ein Resultat ergeben, wenn die beiden in der Vorrunde benachteiligten Spieler eine Koalition bilden und ihre Würfelwahl absprechen?
  • Kann der Spieler, der nicht zu Koalition gehören würde, ein Angebot (in €) machen, so dass die Koalition verhindert wird (gewinnmaximierendes Verhalten der anderen Spieler vorausgesetzt)?
  • Kann er stattdessen vielleicht sogar seinerseits eine Koalition anbieten (allerdings ohne zusätzlich noch Geld zu zahlen), die die andere Koalition dominiert? Wenn ja, welche ist das und wie sieht die Strategie in diesem Falle aus?

Und als Zusatzzusatz: Wie verändern sich die Antworten (falls überhaupt), falls die Bank aus dem Spiel entfernt wird und stattdessen im Falle eines Unentschiedens ein "Stechen" zwischen den Spielern stattfindet, die den höchsten Wurf erreichten?


Ich hoffe, ihr habt auch (also so wie ich) ein wenig Spass daran, dieses Spiel zu analysieren...

lg, AK.

Der zweite Zusatz wurde von mir noch nicht durchdacht; es ist wahrscheinlich keinen zweiten Stern wert, aber ich will auch nicht verhehlen, dass es ein wenig erneuter Denkarbeit bedarf. Ein ganz neuer Typ von Strategien wird dadurch plötzlich denkbar.



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Dies ist eine Knobelaufgabe!
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Bei dieser Aufgabe kann ein öffentlicher Austausch über Lösungen, Lösungswege und Ansätze erfolgen. Hier musst Du keine private Nachricht schreiben!
gonz
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Aus: Harz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-03


Hallo miteinander,

das ist mal eine nette Sache, da bin ich dabei :)
(allerdings nicht mehr heute abend...)
Da könnte sich eine nette Dynamik entwickeln

Grüsse und danke schonmal für das Rätsel
Gonz


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~ to fight! (Don Quijote de la Mancha)



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-08-03


Hallo AnnaKath,

das scheint ein dickes Brett!

Vorab, Google fragt mich, wenn ich nach Intransivität suche: "Meintest du: Intransitivität"

Jetzt aber noch Frage eine zur Spielregel: Sehen Spieler 2 und 3, welche Würfel die Spieler vor ihnen gewählt haben, oder müssen sie ihre Wahl unabhängig von dieser Kenntnis tätigen?

Grüße
StrgAltEntf



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AnnaKath
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Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-03


Nun, Spieler II kennt die Wahl des Würfels von Spieler I (aber nicht das Ergebnis des Wurfes, er muss seinen Würfel zuvor wählen). Spieler III kennt entsprechend die von I und II gewählten Würfel (aber natürlich nicht das konkrete Resultat des Wurfes).



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-03


Vielleicht noch als kleine Anmerkung: Ich habe die Aufgabe so gelöst/konstruiert, dass ich für die Spielpahse 2 (Runden 11-20) genau 5 Strategietripel betrachten musste und für die Phase 3 (Runden 21-30) zwei weitere. Mehr Erwartungswerte habe ich nicht ausgerechnet, und das ging alles mit Bleistift und Papier... Aber auch Brute-Force-Lösungen sind natürlich willkommen!



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gonz
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Mitteilungen: 3177
Aus: Harz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-08-04


Hallo Annakath und Mitknobelnde,

Ein bißchen ist natürlich offensichtlich nette Dekoration und lässt das Ganze ggf. erstmal etwas mühseliger erscheinen als es wirklich ist...


Es muß ein Dodekaeder sein, weil es dummerweise keinen regulären Fünfflächler gibt ( wollte man es wirklich spielen, könnte man den guten alten Würfel nehmen und auf die sechste Fläche ein Symbol für "Würfele noch einmal" schreiben). Praktischerweise könnte es natürlich irgendein Gerät sein, das zwei Fälle jeweils mit der Wahrscheinlichkeit x/5 erzeugt, sodaß ggf. Matrizen und Vektoren, mit denen man hantiert etwas übersichtlicher werden.

Daß dann jeweils 10 Runden mit den festgelegten Strategien gespielt werden, ist in stochastischen Werten einfache eine Multiplikation des Erwartungswerts einer Runde mit 10.


Es ist übrigens gut daß du nochmal erläutert hast, dass die Wahl des Würfels offen erfolgt, ich hatte vermutet, dass das Ergebnis der Würfelwahl verdeckt bleibt bis man wirklich damit würfelt.

Es soll jeder Spieler seinen eigenen Gewinn zu optimieren trachten, und nicht versuchen, seine Differenz zu den übrigen Spielern zu optimieren. Es geht also darum, am Ende möglichst viele Punkte zu haben, und nicht darum, wer am Ende die meisten Punkte sein eigen nennt.

Richtig?

Vielleicht bastele ich mal ein kleines Progrämmchen mit dem man das Spielen kann...

Einen schönen Sonntag wünscht
gonz



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~ to fight! (Don Quijote de la Mancha)



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Buri
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Dabei seit: 02.08.2003
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-08-04


2019-08-04 06:53 - gonz in Beitrag No. 5 schreibt:
Es geht also darum, am Ende möglichst viele Punkte zu haben, und nicht darum, wer am Ende die meisten Punkte sein eigen nennt.

Richtig?
Hi gonz,
das ist doch dasselbe.
Gruß Buri



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gonz
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Aus: Harz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-08-04


Hallo Buri,

naja, es könnte schon Unterschiede geben. Es handelt sich ja nicht um ein Nullsummenspiel, da es eben die Bank gibt.

Wenn ich nur auf meinen "Kontostand" achte, dann ist es egal, ob der Einsatz bei der "Bank" oder bei einem anderen Spieler landet. Wenn es mir darum geht, im Vergleich zu meinen Mitspielern gut abzuschneiden, dann macht das schon einen Unterschied. Ob sich praktisch dann wirklich abweichende Strategien ergeben, ist natürlich eine andere Frage.

Grüße,
gonz


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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-05


Huhu gonz,

jeder Spieler achtet nur auf seinen persönlichen Kontostand, es ist ihm jeweils egal wie die anderen Spieler abschneiden.

lg, AK



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gonz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-08-05


Es sei denn die Verhandlungen haben schon begonnen * feix

Nette Sache, das :)


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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-08-05


Nach aktuellem Stand, was ich aber nochmal prüfen will,


werden in der letzten Runde immer die gleichen Würfel gewählt, und zwar
C - B - D
Irrtum vorbehalten :)




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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-05


Huhu gonz,

ich gehe mal davon aus, dass Deine Überprüfung erfolgreich sein wird...
Gehen wir also zu den weiteren Fragen über!

lg, AK.



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-08-06


Ich kann auch bestätigen, dass am Ende immer die Würfel C-B-D gespielt werden.

Und weiter.
Entweder habe ich mich verrechnet, oder:
In den ersten 10 Runden sind die durchschnittlichen Gewinne pro Runde -121/625, -121/625 und -121/625.
In den zweiten 10 Runden sind sie -178/625, -178/625 und 293/625.
In den dritten 10 Runden sind sie -169/625, 13/125 und 104/625.
In den letzten 10 Runden sind sie -1/25, -17/125 und 22/125.
Über alle 40 Runden ergeben sich in Summe die Gewinne -986/125, -638/125 und 772/125.

Spieler III kann seinen Gewinn beibehalten und den der anderen verändern: Wählt er bei gleichwertigen Würfeln immer den, dessen Name im Alphabet am weitesten hinten steht, ergeben sich in Summe die Gewinne -1058/125, -566/125 und 772/125.
Er kann ihn auch noch erhöhen: Nimmt er immer den, dessen Name im Alphabet am weitesten vorn steht, ergeben sich in Summe die Gewinne -1058/125,-632/125 und 838/125.
(Spieler I und II erkennen in der veränderten Situation die veränderte Strategie von Spieler III, spielen selbst aber nicht so.)



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gonz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 3177
Aus: Harz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-08-07


Die Ergebnbisse für die erste und vierte Runde kann ich bestätigen. In der ersten Runde streicht die Bank die Verluste der Spieler ein, während sie in der vierten Runde leer ausgeht.

Für Runde zwei und drei habe ich offenbar noch einen Fehler im Programm bezüglich der zu erwartenden Gewinn/Verlustverteilung, da schaue ich nachher nochmal in Ruhe nach.


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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-07


Jedenfalls habe ich die gleichen Ergebnisse wie tactac für die 40 Runden des Standardspiels.



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gonz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2013
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Aus: Harz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-08-07


Got it :)


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AnnaKath hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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