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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Galoisgruppe und Ringhomomorphismen
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Universität/Hochschule Galoisgruppe und Ringhomomorphismen
juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-06


2018-03-10 11:46 - TomTom314 in Beitrag No. 24 schreibt:
Hallo zusammen,

hier hätte noch eine etwas andere Beschreibung für die Relationen. Bei gegeben Zerfällungskörper L und Nullstellen \(x_1,\ldots,x_4\) erhält man einen surjektiven Einsetzungshomomorphismus.
\[\varphi:\IQ[X_1,\ldots,X_4]\to L\] Damit ist \(\mathcal{I}:=\ker(\varphi)\) ein maximales Ideal (und somit prim), welches offensichtlich die Elemente \(f(X_i)\) enthält.


DiesenSatz fand ich in einem aeltern Thread und will das nochmal aufwaermen zu meiner eigenen Kenntnis.
Wir haben $\displaystyle f(x)= x^4+p$
Sei $\displaystyle\alpha=\sqrt[4]{p}$.
Die Nullstellen von $\displaystyle f(x)$ sind hier leicht zu sehen:
$\displaystyle
x_0=\alpha,
x_1=i\cdot \alpha,
x_2=-\alpha,
x_3=-i\cdot \alpha$.

Es ist relativ leicht zu sehen
$\displaystyle
 x_0^2=\sqrt{p},
 x_1^2=-\sqrt{p},
 x_2^2=\sqrt{p},
 x_3^2=-\sqrt{p},
 x_0+x_2=0,
 x_1+x_3=0,
 x_0^2+x_2^2=0,
 x_1^2+x_3^2=0,
 x_0^2+x_1^2-x_2^2+x_3^2=0$

Der Einsetzungshomomorphismus $\displaystyle \varphi: $ aus $G[X_i] \rightarrow L$. bildet Elemente also Polynome  $g(x_i) \in G[X_i]$ durch einsetzen von einem $b$ ab auf eine Koerper $\displaystyle L= Q(\omega)$
$Q(\omega)$ ist hier der Zerfaellungskoerper von $\displaystyle f(x)$.

Der Einsetzungshomomorphismus $\displaystyle \varphi _{b}\colon A[X]\to B$ bildet ein Polynom durch das Einsetzen von $\displaystyle
b =\{x_0, x_1,x_2,x_3\}$
(Diese notation ist irgendwie falsch, weiss ehrlich nicht genau wie mans richtig schreibt)
aus dem Definitionsbereich des $G[X_i]:f=\sum _{i\geq 0}a_{i}X^{i}$ ab auf $\displaystyle \varphi _{b}(f):=\sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i})b^{i}$.

Ich suche jezt solche Polynome aus dem Polynomring $\displaystyle G[X_0,X_1,X_2,X_3]$ dergestalt, dass der Einsetzungshomomorphismus $g \in G$ 0 liefert. Warum kommt gleich.

Oben lieferte ich schon

$\displaystyle
 x_0+x_2=0,
 x_1+x_3=0,
 x_0^2+x_2^2=0,
 x_1^2+x_3^2=0$.

Auch $\displaystyle x_0^4-p=0$.
Auch $\displaystyle  ax_0+ax_2=0$ etc.
Daran sieht man dass $\displaystyle (x_0+x_2)$ Ein Ideal des Polynomringes ist.

und andere Elemente des  $\displaystyle G[X_0,X_1,X_2,X_3]$ werden auf ein Zahl in einem Koerper $Q(\omega)$abgebildet.
es wurde oben gesagt, dass $\varphi_b$ surjektiv ist.
Interessant ist, ob ueberhaupt gilt: $\displaystyle \varphi(x)+\varphi(y)=\varphi(x+y)$
und
 $\displaystyle \varphi(x)\cdot \varphi(y)=\varphi(x\cdot y)$.

Das kann man mit den Regeln der Grundrechenarten in den beiden verschiedene Ringen $\displaystyle G[X_i], Q(\omega)$ nachweisen.

$\displaystyle g \in G[X_i]$ werden auf $\displaystyle x \in \mathbb L$ durch einsetzen von einem festen b abgebildet.
btw.:
Surjektivitaet von $\varphi$ sehe ich nicht unbedingt sofort, was ja hiesse, dass fuer alle $x \in Q(\omega)$ ein Urbild existiert.
Betrachtet man nun alle solche  $\displaystyle \varphi(b_i)$ deren Wert 0 ergibt so erhaelt man jede Menge Idelae, alle zusammen bzw. deren Vereinigung (?)sind der Kern von $\displaystyle \varphi$.
In diesem gilt fuer gewisse Permutationen
$\sigma \in S_4: \varphi (f(x_0,x_1,x_2,x_3)) =  

\varphi(f(\sigma(x_0)),f(\sigma(x_1)),f(\sigma(x(2)),f(\sigma(x_3)))$

Diese Permutationen zusammen bilden die sog. $Gal(Q(\omega)/Q)$.

Mich interessier ob die Formalitaeten richtig sind runde eckige Klammern Notation allgemein  und letzte Behauptung.





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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-08


Nochmal neu..

Ich würde mir sehr wünschen dass jemand darueber liest ob das richtig formuliert ist bis hier, ggf, korrigieren?

Sei f = $\large\displaystyle x^4+p$ ein irreduzibles Polynom 4. Grades (p muss nicht prim sein aber keine 2te oder 4te Potenz) und b ein Element des Polynomringes in den 4 verschiedenen o.a. Nullstellen
$\large\displaystyle G[X_{1\ldots4}]$ z.B.
$\large\displaystyle b=x_0+x_1+x_2+x_3=0$ und definiere den Einsetzungshomomorphismus $\large\displaystyle \varphi: G^{b}\Rightarrow \mathbb Q$, so dass $\displaystyle \varphi(x_0,x_1,x_2,x_3) = f(x_{\sigma(0)})+f(x_{\sigma(1)})+f(x_{\sigma(2)})+f(x_{\sigma(3)})=0$, und ein passendes $\displaystyle \sigma$ hält den algebraischen Ausdruck $\large\displaystyle b=x_0+x_1+x_2+x_3$ auf 0 fest,
Dann ist per Def. des Kerns von $\varphi$ eines Ringhomomorphismus dieses $\displaystyle b$ Element des Kerns von $\varphi$.

Und $\Rightarrow \sigma \in Gal(\mathbb Q(i,\alpha)/\mathbb Q)$.

Wir könnten b dann auch als ein Mengenelemet und 4-Tupel $(1,1,1,1)$ betrachten das unter Wirkung von $\sigma$ fixiert wird.

Damit sind auch alle $\displaystyle ab=(a,a,a,a) \in Ker(\varphi)$.
Und $\displaystyle (a)$ ist ein Ideal im Ring $\large\displaystyle G[X_{1\ldots4}]$.
Wir können viele solche sauber auszuwaehlende b finden, etwa $\displaystyle b_1=x_1^2-x_1^2+x_2^2-x_3^2$, also algebraische Ausdrücke b, die invariant in einem Einsetzungshomomorphismus $\displaystyle \varphi(x_0,x_1,x_2,x_3)$ bleiben. Und damit auch Erzeugende eines Ideals in $\large\displaystyle G[X_{1\ldots4}]$ sind. Man mag denken ob die Vereinigung oder Summe all dieser  Idealen uns zu allen $\sigma$ führen, die $\large\displaystyle Gal(\mathbb Q(i,\alpha)/\mathbb Q)$ bilden.


Plz
Merci








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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-08-08


Der Einsetzungshomomorphismus $\displaystyle \varphi: $ aus $G[X_i] \rightarrow L$. bildet Elemente also Polynome  $g(x_i) \in G[X_i]$ durch einsetzen von einem $b$ ab auf eine Koerper $\displaystyle L= Q(\omega)$
$Q(\omega)$ ist hier der Zerfaellungskoerper von $\displaystyle f(x)$.

$G, Q, \omega$ sind nicht definiert. Was soll $X_i$ sein?

Der Einsetzungshomomorphismus $\displaystyle \varphi _{b}\colon A[X]\to B$ bildet ein Polynom durch das Einsetzen von $\displaystyle
b =\{x_0, x_1,x_2,x_3\}$
Wie soll eine Menge in ein Polynom eingesetzt werden?

Daran sieht man dass $\displaystyle (x_0+x_2)$ Ein Ideal des Polynomringes ist.
Ist es nicht. Du verwechselst schon wieder Elemente aus dem Polynomring mit Elementen aus dem Körper.

Surjektivitaet von $\varphi$ sehe ich nicht unbedingt sofort, was ja hiesse, dass fuer alle $x \in Q(\omega)$ ein Urbild existiert.
Die Abbildung $\varphi$, die Du zitierst ist nach Konstruktion (L Zerfällungskörper) surjektiv. Das gilt nicht allgemein.

In diesem gilt fuer gewisse Permutationen
$\sigma \in S_4: \varphi (f(x_0,x_1,x_2,x_3)) =  

\varphi(f(\sigma(x_0)),f(\sigma(x_1)),f(\sigma(x(2)),f(\sigma(x_3)))$

Diese Permutationen zusammen bilden die sog. $Gal(Q(\omega)/Q)$.
Das fällt nun irgendwie vom Himmel und die Unterscheidung von Polynomen und Werten in $L$ ist hier auch wieder falsch. Wie nun die Galoisgruppe mit Permutationen auf einem Polynomring identifiziert werden kann, hatte ich hier etwas ausgeführt.

Das waren jetzt nur die groben Fehler, die mir sofort aufgefallen sind.



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-09


Ja danke du hast dich leider auf den allerersten beitrag bezogen der sehr fehlerhaft war.
OOps jetz bin ich in ein basales Missverstaendnis des wortes PolynomRing geraten.

Wenn R ein kommutativer Ring mit einer 1 ist, dann ist der Polynomring R[X] die Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus dem Ring R und der Variablen X zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation von Polynomen.
(Oben hatte ich statt R G genommen das war nicht sinnig.)

$R[X_0,X_1,X_2,X_3] = R[X_0,X_1,X_2][X_3] = R[X_0,X_1][X_2][X_3] = R[X_0][X_1][X_2][X_3]$, wobei $R[X_0,X_1,X_2,X_3], R[X_0,X_1,X_2]$ ein Polynomring ist und $R[X_0,X_1]$ und $R[X_0]$ auch oder.

R ist hier $\mathbb Q$.  ergo $\mathbb R[X_0]=\mathbb Q[X_0]$.
Die Elemente in $R[X_0]$ sind z.B. $ax_0+b$ und bilden einen Ring, da $Q$ einer ist.
Die Elemente in $R[X_0,X_1]$ sind z.B. $ax_0+bx_1+c$ und bilden einen Ring.
Die Elemente in $R[X_0,X_1,X_2]$ sind z.B. $ax_0+bx_1+cx_2+d$ und bilden einen Ring.
Die Elemente in $R[X_0,X_1,X_2,X_3]$ sind z.B. $ax_0+bx_1+cx_2+dx_3+e$ und bilden einen Ring.
So wird rekursiv aus $x_0,x_1,x_2,x_3$ ein Polynomring in 4 Variablen definiert, oder?
sry oder habe ich Variable und Koeffizienten verwechselt?
a,b,c,d,e sind immer aus dem Grundring hier Q.
Die Variablen $\displaystyle x_0,x_1,x_2,x_3$ koennen an sich frei aus $L$  gewaehlt werden, was irgendein Koerper sein kann, hier aber speziell der Zerfällungskoerper des Minpols von $x^4+p= Q(i,\sqrt[4]{p})=Q(\omega)$.
Ich halte jetzt $\displaystyle x_0,x_1,x_2,x_3$ fest als die o.a. Nullstellen von $f(x)=x^4+p$ und betrachte die Bilder vom 5-Tupel $g=(a,b,c,d,e)$ unter dem Einsetzungshomomorphismus $\varphi^{g}$ in dem $g$ in $R[X_0,X_1,X_2,X_3]$ eingesetzt wird.

Ich bilde das 5-tupel g=(a,b,c,d,e) aus den Koeffizienten von  $ax_0+bx_1+cx_2+dx_3+e \in R[X_0,X_1,X_2,X_3]$, und betrachte nur jene Tupel, die $0$ unter $varphi$ ergeben, also im $Ker(\varphi^{g})$ sind.

Ich sage hier Tupel, da ich ja in einen Polynomring mit 4 Variablen nicht eine einzige Zahl, sondern hier bis zu 5 einsetzen kann.
vermutlich geht das elganter. mir fehlt das richtige wort fuer g.
dein angefuehrter Artikel ist sehr aufschlussreich ich muss die genaue wortwahl erstmal finden. Mir fehlt ein Wort fuer das g wenn es aus mehreren Zahlen besteht.

Tyx



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-09


2019-08-09 02:35 - juergenX in Beitrag No. 3 schreibt:
Ja danke du hast dich leider auf den allerersten beitrag bezogen der sehr fehlerhaft war.
OOps jetz bin ich in ein basales Missverstaendnis des wortes PolynomRing geraten.
Es wird in #1 und #2 auch nicht besser.

Sei f = $\large\displaystyle x^4+p$ ein irreduzibles Polynom 4. Grades (p muss nicht prim sein aber keine 2te oder 4te Potenz) und b ein Element des Polynomringes in den 4 verschiedenen o.a. Nullstellen
$\large\displaystyle G[X_{1\ldots4}]$ z.B.
$\large\displaystyle G[X_{1\ldots4}]$ ist nicht defniert. Ich kann nicht einmal raten, was das sein soll.

$\large\displaystyle b=x_0+x_1+x_2+x_3=0$ und definiere den Einsetzungshomomorphismus $\large\displaystyle \varphi: G^{b}\Rightarrow \mathbb Q$, so dass $\displaystyle \varphi(x_0,x_1,x_2,x_3) = f(x_{\sigma(0)})+f(x_{\sigma(1)})+f(x_{\sigma(2)})+f(x_{\sigma(3)})=0$, und ein passendes $\displaystyle \sigma$ hält den algebraischen Ausdruck $\large\displaystyle b=x_0+x_1+x_2+x_3$ auf 0 fest,
Das ergibt keinen Sinn. Was soll $\sigma$ sein - nicht definiert.

Dann ist per Def. des Kerns von $\varphi$ eines Ringhomomorphismus dieses $\displaystyle b$ Element des Kerns von $\varphi$.
Falsch. $b$ ist ein Element von $L$. Der Kern ist per Definition eine Teilmenge der Definitionsbereichs.

Und $\Rightarrow \sigma \in Gal(\mathbb Q(i,\alpha)/\mathbb Q)$.
Das fällt wie im Themenstart einfach vom Himmel. Hier wurde nichts gezeigt.

Damit sind auch alle $\displaystyle ab=(a,a,a,a) \in Ker(\varphi)$.
$a$ ist nicht definiert. Allein von der Struktur ist es unwahrscheinlich, dass $ab$ und $(a,a,a,a)$ Elemente des gleichen Rings sind.


Wir könnten b dann auch als ein Mengenelemet und 4-Tupel $(1,1,1,1)$ betrachten das unter Wirkung von $\sigma$ fixiert wird.
Unverständlich.
Und $\displaystyle (a)$ ist ein Ideal im Ring $\large\displaystyle G[X_{1\ldots4}]$.
Wir können viele solche sauber auszuwaehlende b finden, etwa $\displaystyle b_1=x_1^2-x_1^2+x_2^2-x_3^2$, also algebraische Ausdrücke b, die invariant in einem Einsetzungshomomorphismus $\displaystyle \varphi(x_0,x_1,x_2,x_3)$ bleiben. Und damit auch Erzeugende eines Ideals in $\large\displaystyle G[X_{1\ldots4}]$ sind. Man mag denken ob die Vereinigung oder Summe all dieser  Idealen uns zu allen $\sigma$ führen, die $\large\displaystyle Gal(\mathbb Q(i,\alpha)/\mathbb Q)$ bilden.
Unverständlich.

R ist hier $\mathbb Q$.  ergo $\mathbb R[X_0]=\mathbb Q[X_0]$.
Die Elemente in $R[X_0]$ sind z.B. $ax_0+b$ und bilden einen Ring, da $Q$ einer ist.
Die Elemente in $R[X_0,X_1]$ sind z.B. $ax_0+bx_1+c$ und bilden einen Ring.
Die Elemente in $R[X_0,X_1,X_2]$ sind z.B. $ax_0+bx_1+cx_2+d$ und bilden einen Ring.
Die Elemente in $R[X_0,X_1,X_2,X_3]$ sind z.B. $ax_0+bx_1+cx_2+dx_3+e$ und bilden einen Ring.
So wird rekursiv aus $x_0,x_1,x_2,x_3$ ein Polynomring in 4 Variablen definiert, oder?
sry oder habe ich Variable und Koeffizienten verwechselt?
$R,Q$ und $\IR,\IQ$ sind verschiedene Buchstaben. Insbesondere sind $\IQ,\IR$ für die rationalen / reellen Zahlen reserviert. $ax_0+bx_1+c$ ist kein Element von $R[X_0,X_1]$.

Die Variablen $\displaystyle x_0,x_1,x_2,x_3$ koennen an sich frei aus $L$  gewaehlt werden
Nein. Variablen eine Polynomrings und Elemente von $L$ sind verschiedene Dinge.

Ich halte jetzt $\displaystyle x_0,x_1,x_2,x_3$
Diese hast Du bereits ganz am Anfang im Themenestart schon festgelegt und haben damit eine Bedeutung. Falls diese Bezeichner zwischendurch anders verwendet wurden, muß Du dieses extra kennzeichnen.

Ich bilde das 5-tupel g=(a,b,c,d,e) aus den Koeffizienten von  $ax_0+bx_1+cx_2+dx_3+e \in R[X_0,X_1,X_2,X_3]$, und betrachte nur jene Tupel, die $0$ unter $varphi$ ergeben, also im $Ker(\varphi^{g})$ sind.
Das ergibt keinen Sinn. Was soll $\varphi^g$ sein?

Ich sage hier Tupel, da ich ja in einen Polynomring mit 4 Variablen nicht eine einzige Zahl, sondern hier bis zu 5 einsetzen kann.
vermutlich geht das elganter. mir fehlt das richtige wort fuer g.
dein angefuehrter Artikel ist sehr aufschlussreich ich muss die genaue wortwahl erstmal finden. Mir fehlt ein Wort fuer das g wenn es aus mehreren Zahlen besteht.
In ein Polynom mit 4 Variablen kannst Du keine 5 Werte oder weniger als 4 einsetzen! Es sind immer genau 4!.



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-10


2019-08-09 11:18 - TomTom314 in Beitrag No. 4 schreibt:

In ein Polynom mit 4 Variablen kannst Du keine 5 Werte oder weniger als 4 einsetzen! Es sind immer genau 4!.


Vergiss mal alles vorige.
Aus versehen habe ich $\mathbb R$ statt R fuer einen Ring geschrieben..
Ich hab auf der einen Seite ein Polynomring in 4 Variablen.
Q sind der Koerper der  rationalen zahlen.

$Q[X_0,X_1,X_2,X_3]$ hat Elemente der Art: $h(x_0,x_1,x_2,x_3)=ax_0+bx_1+cx_2+dx_3$.

Und durch das Einsetzen von 4 Werten aus Q fuer a,b,c,d kommt ein Element aus $L = Q(i,\alpha)$ wie oben heraus, wenn ich die $x_i$ festhalte als Nullstellen von $f(x)=x^4-p$.
Bis hier richtig?

Das nenne ich Einsetzungshomomorphismus $\varphi^h=\beta\in L$.
Waere der Polynomring eindimensional waere h ein Element aus Q.
In unserem Fall habe ich gesagt ist $(a,b,c,d)$ ein 4 Tupel, weil mir der Ausdruck $\varphi^h$ komisch vorkommt, wenn oben ein Polynom steht. $\varphi$ hat einen Kern aus mehreren 4 tupeln oder auch Polynomen wie
$j(x_{0...3})=a_jx_0+b_jx_1+c_jx_2+d_jx_3$
Die j sind dann im Kern wenn das einsetzen der 4 Werte $a_j,b_j,c_j,d_j$ 0 in L ergibt.
$j(x_{0...3})$ ist dann invariant gegen gewisse Permutationen $\sigma$ der Indizes.


Mir ging es um eine Annaeherung an "Die Galoisgruppe eines Polynoms hier f(x) haelt algebraische arithmetische Ausdruecke in den Nullstellen fest"
Und wenn $a_jx_0+b_jx_1+c_jx_2+d_jx_3$, in o.a. Weise gegen gewisse sigma invariant ist dann  ist auch mit beliebigen k aus Q $ka_jx_0+kb_jx_1+kc_jx_2+kd_jx_3$ sigma-invariant.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-08-10


Ich werde jetzt nicht jeden einzelnen Fehler wieder heraussuchen und raten, welche Bezeichnung was bedeuten könnte. Jeder verwendete Bezeichner benötigt eine Definition - wirklich jeder!

D.h. es fehlten die Definitonen für $x_0,x_1,x_2,x_3,a,b,c,d,\varphi^h,h,\beta,j,x_{0\ldots 3},a_j,b_j,c_j,d_j$. Ohne diese halte ich es für nicht sinnvoll, mich mit dem Inhalt auseinanderzusetzen.



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-11


2019-08-10 17:03 - TomTom314 in Beitrag No. 6 schreibt:
Ich werde jetzt nicht jeden einzelnen Fehler wieder heraussuchen und raten, welche Bezeichnung was bedeuten könnte. Jeder verwendete Bezeichner benötigt eine Definition - wirklich jeder!

D.h. es fehlten die Definitonen für $x_0,x_1,x_2,x_3,a,b,c,d,\varphi^h,h,\beta,j,x_{0\ldots 3},a_j,b_j,c_j,d_j$. Ohne diese halte ich es für nicht sinnvoll, mich mit dem Inhalt auseinanderzusetzen.

also im vorgegebenenn f(x)=x^4-p sind $x_0,x_1,x_2,x_3$ die Nullstellen von $f(x) \in Q(\alpha,i)=L$. Nach dem Satz vom primitiven Element $Q(\alpha,i)=Q(\omega)$ was immer $\omega$ auch sei, ich vermute mal $\omega =i+\alpha$ mit $\alpha = \sqrt[4]{p}$ nach dem satz vom primitiven Element.

Jetzt koennen wir einen Polynomring in 4 Variablen $G=Q[X_0,X_1,X_2,X_3]$ ueber dem Grundring $Q$ definiieren. Ein beliebiges Element dieses Polynomringes sei $g(x_0,x_1,x_2,x_3)$ z.b. $ax_0+bx_1+cx_2+dx_3$.
Durch das Einsezen von 4 Werten fuer $a,b,c,d \in Q$ in das in o.a. $g(x_0,x_1,x_2,x_3)$ oder auch $g(x_{0\ldots 3})$ haben wie einen sog. Einsetzungshomomprphosmus $\varphi^{a,b,c,d}: g \Rightarrow \beta \in L$ definiert.
Interessant ist wenn $\beta \in L$ 0 ist.
Mir ist zugegeben nocht ganz klar, was im Exponenten von $\varphi$ steht, deswegen nannte ich das 4-Tupel $g=(a,b,c,d)$. Was dasselbe meinen soll, wie $g(x_0,x_1,x_2,x_3)$ im Exponenten.
$g=(a,b,c,d)$ sei hier also eine Kurzschreibweise des Polymoms $g(x_0,x_1,x_2,x_3) \ in Q[X_i]$.

Entscheidend ist hier: Falls also $\varphi^{a,b,c,d}=0$ ist,dann sind auch alle $\varphi^{k\cdot g_0}=0$ all diese $k\cdot g_0 \in Ker(\varphi)$.

Also $g(x_0,x_1,x_2,x_3)$ als Polynom betrachtet erzeugt ein Ideal (g) dessen Elemente auch alle durch $\varphi^{g}$ auf $0 \ in L$ abgebildet weren .

Hier betrachten wir nur lineare Polynome $g()\in G[X_i]=Q[X_0,X_1,X_2,X_3]$  die invariant gegen gewisse Permutaionen $\sigma$ auf die die Indizes von x sind, was sie zum Kandidaten fuer die $Gal (L/Q)$ macht.
$g(x_0,x_1,x_2,x_3) = x_0+x_1+x_2+x_3$ ist elementarsymmetrisch und daher     natuerlich gegen alle $\sigma \in S_4$ invariant.
$h(x_0,x_1,x_2,x_3)$ =$x_0-x_1+x_2-x_3$ ist teilsymmetrisch.

$\displaystyle \vec g$ kann man auch als Vektor und Basis eines $\varphi$  invarianten Vektorraums betrachten.











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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-08-11


also im vorgegebenenn f(x)=x^4-p sind $x_0,x_1,x_2,x_3$ die Nullstellen von $f(x) \in Q(\alpha,i)=L$. Nach dem Satz vom primitiven Element $Q(\alpha,i)=Q(\omega)$ was immer $\omega$ auch sei, ich vermute mal $\omega =i+\alpha$ mit $\alpha = \sqrt[4]{p}$ nach dem satz vom primitiven Element.

Jetzt koennen wir einen Polynomring in 4 Variablen $G=Q[X_0,X_1,X_2,X_3]$ ueber dem Grundring $Q$ definiieren. Ein beliebiges Element dieses Polynomringes sei $g(x_0,x_1,x_2,x_3)$ z.b. $ax_0+bx_1+cx_2+dx_3$.
1) Ein Polynomring existiert unabhängig von f.
2) Wenn Du die rationalen Zahlen meinst, schreibe auch $\IQ$
3) Wenn $x_0,x_1,x_2,x_3$ die Nullstellen eine Polynom sind, können diese nicht wieder als Variablen für $g(x_0,x_1,x_2,x_3)$ verwendet werden.

Ein beliebiges Element dieses Polynomringes sei $g(x_0,x_1,x_2,x_3)$ z.b. $ax_0+bx_1+cx_2+dx_3$.
Durch das Einsezen von 4 Werten fuer $a,b,c,d \in Q$ in das in o.a. $g(x_0,x_1,x_2,x_3)$ oder auch $g(x_{0\ldots 3})$ haben wie einen sog. Einsetzungshomomprphosmus $\varphi^{a,b,c,d}: g \Rightarrow \beta \in L$ definiert.
1) Hier wird $a,b,c,d$ doppelt verwendet.
2) Es gibt noch wesentlich mehr verschieden Elemente in dem Polynomring.
3) $x_{0\ldots 3}$ ist keine gültige Abkürzung für $x_0,x_1,x_2,x_3$
$\varphi^{a,b,c,d}: g \Rightarrow \beta \in L$
Das ergibt überhaupt keinen Sinn. Was soll der Folgerungspfeil aussagen? Wie ist $\varphi^{a,b,c,d},\varphi^{k\cdot g_0},\varphi^g$ definiert? Was ist die Abbildungsvorschrift? Von wo nach wo und was passiert mit den Elementen. $g_0$ und $k$ sind auch wieder nicht definiert. Was ist $\beta$? Definition?

Hier betrachten wir nur lineare Polynome $g()\in G[X_i]=Q[X_0,X_1,X_2,X_3]$  die invariant gegen gewisse Permutaionen $\sigma$ auf die die Indizes von x sind, was sie zum Kandidaten fuer die $Gal (L/Q)$ macht.
Was is $G[X_i]$? Definition? Ist es dasselbe wie $\IQ[X_0,X_1,X_2,X_3]$? Warum dann eine neue Bezeichnung?
$\displaystyle \vec g$ kann man auch als Vektor und Basis eines $\varphi$  invarianten Vektorraums betrachten.
Welche $g$ denn jetzt? Erst ist eine lineares Polynom, dann ein bestimmtes elementarsymmetrisches Polynomon, dann eine Basis? Und jetzt gibt es ein $\varphi$ ohne Exponent!?

Hier betrachten wir nur lineare Polynome $g()\in G[X_i]=Q[X_0,X_1,X_2,X_3]$  die invariant gegen gewisse Permutaionen $\sigma$ auf die die Indizes von x sind, was sie zum Kandidaten fuer die $Gal (L/Q)$ macht.
Das erfordert eine Erklärung / Satz / Beweis, wie nun Permutationen, die auf einen Polynomring wirken mit $\IQ$-linearen Automorphismen in Verbindung stehen.



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juergenX
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Der Knackpunkt ist einfach die def von EinsetzungsHomomorphismus

Es sei $\displaystyle \varphi \colon A\to B$ ein Homomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins. Des Weiteren bezeichne $\displaystyle A[X]$ den zu $\displaystyle A$ gehörigen Polynomring in einer Veränderlichen.

Zu jedem $\displaystyle b\in B$ lässt sich nun eine Abbildung $\displaystyle \varphi _{b}$ definieren, welche ein Polynom
$\displaystyle f=\sum _{i\geq 0}a_{i}X^{i}$ abbildet auf     $\displaystyle \varphi _{b}(f):=\sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i})b^{i}$. Hier ist b also der Wert, der  eingesetzt wird unten wie ein Index geschrieben. Ich will mal dabei bleiben


..Die Def eines EinsetzungsHomomorphismus in eine Polynomrimg mit mehreren Variablen

Ist nun $\displaystyle \varphi \colon A\to B$ ein Homomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins und $\displaystyle A[X_{1},\dots ,X_{n}]$  der zu A gehörigen Polynomring in n Veränderlichen, so lässt sich zu jedem n-Tupel $\displaystyle (b_{1},\dots ,b_{n})$ in B eine Abbildung $\displaystyle \varphi _{(b_{1},\dots ,b_{n})}\colon A[X_{1}],\dots ,X_{n}]\to B$ definieren, die ein Polynom..

(Sorry das folgende gelang mir nicht ganz zu übertragen, es ist oben in wiki nachzulesen.. )

$\displaystyle \varphi _{(b_{1},\dots ,b_{n})}(f):=$

Was sind aber die $a_i$ und die
$\displaystyle b_{1}^{i_{1}}b_{2}^{i_{2}}...b_{4}^{i_{4}}$ im Falle unseres Polynoms  $ax_1+bx_2+cx_3+dx_4$ (Indizes geaendert) mit Nullstellen $x_i$?




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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-08-12


Was sind aber die $a_i$ und die
$\displaystyle b_{1}^{i_{1}}b_{2}^{i_{2}}...b_{4}^{i_{4}}$ im Falle unseres Polynoms  $ax_1+bx_2+cx_3+dx_4$ (Indizes geaendert) mit Nullstellen $x_i$?
Keine Ahnung, da mir nicht klar ist was $ax_1+bx_2+cx_3+dx_4$ sein soll.

Du kannst ja Mal mit der Vorschrift aus Wikipedia den ausgelassenen Teil der Definiton von $\varphi$ ergänzen:
2018-03-10 11:46 - TomTom314 in Beitrag No. 24 schreibt:
Bei gegeben Zerfällungskörper L und Nullstellen \(x_1,\ldots,x_4\) erhält man einen surjektiven Einsetzungshomomorphismus.
\[\varphi:\IQ[X_1,\ldots,X_4]\to L\] Damit ist \(\mathcal{I}:=\ker(\varphi)\) ein maximales Ideal (und somit prim), welches offensichtlich die Elemente \(f(X_i)\) enthält.



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juergenX
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2019-08-12 21:46 - TomTom314 in Beitrag No. 10 schreibt:
Was sind aber die $a_i$ und die
$\displaystyle b_{1}^{i_{1}}b_{2}^{i_{2}}...b_{4}^{i_{4}}$ im Falle unseres Polynoms  $ax_1+bx_2+cx_3+dx_4$ (Indizes geaendert) mit Nullstellen $x_i$?

Keine Ahnung, da mir nicht klar ist was $ax_1+bx_2+cx_3+dx_4$ sein soll.

Du kannst ja Mal mit der Vorschrift aus Wikipedia den ausgelassenen Teil der Definiton von $\varphi$ ergänzen:
2018-03-10 11:46 - TomTom314 in Beitrag No. 24 schreibt:
Bei gegeben Zerfällungskörper L und Nullstellen \(x_1,\ldots,x_4\) erhält man einen surjektiven Einsetzungshomomorphismus.
\[\varphi:\IQ[X_1,\ldots,X_4]\to L\] Damit ist \(\mathcal{I}:=\ker(\varphi)\) ein maximales Ideal (und somit prim), welches offensichtlich die Elemente \(f(X_i)\) enthält.


Wie es bei wiki steht: ist der Einsetzungshomomorphismus $\varphi_b$ in n Variablen: oder angewandt auf  n -tupel $\displaystyle (b_1,b_2,b_3,..,b_n)$.

Ein $\displaystyle \varphi _{(b_{1},\dots ,b_{n})}(f):=\sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}})b_{1}^{i_{1}}b_{2}^{i_{2}}\dots b_{n}^{i_{n}}$

eingeschraenkt auf 4 Variablen:
$\displaystyle \varphi _{(b_{1},\dots ,b_{4})}(f):=\sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i_{1}i_{2}\dots i_{4}})b_{1}^{i_{1}}b_{2}^{i_{2}}\dots b_{4}^{i_{4}}$
wobei $\displaystyle i_1,i_2,i_3,i_4$ hier $\lt4$ bleiben koennen.
Nochmal eingeschraenkt auf nur lineare Ausdruecke in den 4 $b_{i}$

$\displaystyle \varphi _{(b_{1},\dots ,b_{4})}(f):=\sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}})b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}$.
In einem einfachen Fall setzen wir also die 4 Koeffizienten $b_{1}=1,b_{2}=1,b_{3}=1,b_{4}=1$ ein in ein Element des o.a. Polynomringes $\displaystyle Q[X_1,X_2,X_3,X_4]$, etwa
$b_{1}x_1+b_{2}x_2+b_{3}x_3+b_{4}x_4$ ein, so dass wir einen festen Wert im Bildraum, ich hatte den Wert oben $\beta$ genannt ein, erhalten.
Wenn nach Vorr. die Variablen des Polynomringes Nullstellen eines $x^4-p$ sind, erhalten wir fuer $(1,1,1,1) \to \beta=0$ als Ergebnis von $\displaystyle \varphi _{(b_{1},\dots ,b_{4})}(f):=\sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}})b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}=0$.

Jedes 4-Tupel $b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}$ wird durch $\varphi^{b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}}$ auf ein $\beta$ des Zielobjektes hier des Zerfaellungskoerper $\displaystyle \mathbb Q(\omega)$ von $\displaystyle x^4-p$ abgebildet.
Jene Tupel die 0 ergeben sind im Kern des Einsezungshomomorphismus.

Wobei ich hier mal nur lineare Polynome $\displaystyle {b_{1}x_1+b_{2}x_2+b_{3}x_3+b_{4}x_4}$ betrachte.
das Ideal $\displaystyle ({b_{1}x_1+b_{2}x_2+b_{3}x_3+b_{4}x_4})$ ist dann auch im Kern. Zu der Wirkung gewisse Permutation $\sigma \in S_4$ auf die Indizes von x komm ich nochmal..
(Was du mit Q-linearen Automorphismus meinst verstehe ich nicht.)

Danke für deine Bemühungen, das hilft. smile



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-08-13


Das passt einfach so nicht zusammen.
Ein $\displaystyle \varphi _{(b_{1},\dots ,b_{n})}(f):=\sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}})b_{1}^{i_{1}}b_{2}^{i_{2}}\dots b_{n}^{i_{n}}$
Das ist so keine vollständig Definition. Solange es Dir nicht gelingt die Definition sauber hinzuschreiben und auch auf eine andere Situation zu übertragen, kannst Du nicht einfach Teile weglassen.

 in ein Element des o.a. Polynomringes $\displaystyle Q[X_1,X_2,X_3,X_4]$, etwa
$b_{1}x_1+b_{2}x_2+b_{3}x_3+b_{4}x_4$ ein
Nein. Das habe ich oben schon angemerkt. Du kannst die $x_1,x_2,x_3,x_4$ nicht als Variable verwenden, wenn Du diese vorher als feste Zahl definierst. Wenn Du $\IQ[X_1,X_2,X_3,X_4]$ schreibst, hast Du damit festgelegt, welche Bezeichnungen die Variablen der Polynome haben. Wenn Du die Bezeichung nicht richtig verwendest, macht es keinen Sinn den Inhalt zu diskutieren. Das sind elementare Grundlagen!

Ich möchte jetzt zunächst sehen, ob Du verstanden hast, was ein Einsetzunghomomorphismus ist.

Bestimme zu den folgenden Einsetzungshomomorphismen bitte Kern und Bild, ggf. ein paar typische Beispiel was worauf abgebildte wird:
\[\varphi_1:\IQ[X]\to\IC \\
\varphi_{\sqrt 2}:\IQ[X]\to \IC\\
\psi_{\sqrt 2}:\IR[X]\to \IC\\
\varphi_{\pi}:\IR[X]\to \IC\\
\varphi_{i}:\IQ[X]\to \IC\\
\psi_{i}:\IQ(i)[X]\to \IC\\
\] Die Bezeichungskonvention ist nun dieselbe wie im Wikipedia-Artikel.

Ohne vernünftige Grundlagen im Umgang mit Definitionen und elementaren Anwendungen ist es völlig sinnlos auch nur daran zu denken irgendetwas in Galoistherie zu machen.



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-13


2019-08-13 22:12 - TomTom314 in Beitrag No. 12 schreibt:
Das passt einfach so nicht zusammen.


(1)$\displaystyle \varphi _{(b_{1},\dots ,b_{n})}(f):=\sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}})b_{1}^{i_{1}}b_{2}^{i_{2}}\dots b_{n}^{i_{n}}$.
Das ist so keine vollständig Definition. Solange es Dir nicht gelingt die Definition sauber hinzuschreiben und auch auf eine andere Situation zu übertragen, kannst Du nicht einfach Teile weglassen.


Diese Def. ist so  1 zu 1 aus oben zitierten Wiki artikel abgeschrieben ohne hinzufügen oder weglassen..
de.wikipedia.org/wiki/Einsetzungshomomorphismus#Polynomringe_in_endlich_vielen_Ver%C3%A4nderlichen

Hab ich mìch so vertan oder ist der schlicht falsch?
Die schreibweise $\displaystyle \sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}})b_{1}^{i_{1}}b_{2}^{i_{2}}\dots b_{n}^{i_{n}}$ kommt mir aber tatsaechlich merkwuerdig vor... Was soll $\displaystyle \varphi (a_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}})$ genau sein?
Was ist Variable und was Koeffizient?
$\displaystyle\varphi$ auf das Tupel $\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})$ angewandt? Was wird da genau wo eingesetzt?

ein passendes a in ein passendes b nehm ich an. Also Summe a1b1+a2b2+..anbn? Fehler in wiki? Und was ist das (f)?
Aus einem Polynomring in einen anderen Ring hier Koerper $\mathbb Q(\omega)$ ist ja ein Ring kann doch nicht so schwer nierderzuschreiben sein... wink
Deine Beispiel sind alles Ringhomomorpismen oder?

Die anderen "Kernfragen" spaeter..



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-13


2019-08-13 22:12 - TomTom314 in Beitrag No. 12 schreibt:

Bestimme zu den folgenden Einsetzungshomomorphismen bitte Kern und Bild, ggf. ein paar typische Beispiel was worauf abgebildte wird:
\[\varphi_1:\IQ[X]\to\IC \\
\varphi_{\sqrt 2}:\IQ[X]\to \IC\\
\psi_{\sqrt 2}:\IR[X]\to \IC\\
\varphi_{\pi}:\IR[X]\to \IC\\
\varphi_{i}:\IQ[X]\to \IC\\
\psi_{i}:\IQ(i)[X]\to \IC\\
\]

$\varphi_1:\IQ[X]\to\IC:  ax+b\to a+b, a,b \in \IC$. (?)
$\varphi_{\sqrt 2}:\IQ[X]\to \IC:  ax^2+bx+c\to 2a+b\sqrt 2+c, a,b,c \in \IQ$ (?)
oder
$\varphi_{\sqrt 2}:\IQ[X]\to \IC:  ax+b\to \sqrt 2\cdot a+b, a,b \in \IQ$ (?)
$\psi_{\sqrt 2}:\IR[X]\to \IC: \sqrt 2 \to a\sqrt 2+b, a,b \in \IR$.(?)



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-08-13


Diese Def. ist so  1 zu 1 aus oben zitierten Wiki artikel abgeschrieben ohne hinzufügen oder weglassen..
de.wikipedia.org/wiki/Einsetzungshomomorphismus#Polynomringe_in_endlich_vielen_Ver%C3%A4nderlichen

Hab ich mìch so vertan oder ist der schlicht falsch?
Beim abschreiben hast Du entscheidende Teile der Definition einfach weggelassen. Im Wikipedia-Artikel werden alle Komponente der Formel vorher definiert.

Die schreibweise $\displaystyle \sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}})b_{1}^{i_{1}}b_{2}^{i_{2}}\dots b_{n}^{i_{n}}$ kommt mir aber tatsaechlich merkwuerdig vor... Was soll $\displaystyle \varphi (a_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}})$ genau sein?
Was ist Variable und was Koeffizient?
$\displaystyle\varphi$ auf das Tupel $\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})$ angewandt? Was wird da genau wo eingesetzt?
$a_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}$ und $(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})$ sind verschieden mathematische Objekte. Auch das habe ich schon weiter oben bemängelt. $i_{1}i_{2}\dots i_{n}$ ist ein Multiindex.

Aus einem Polynomring in einen anderen Ring hier Koerper $\mathbb Q(\omega)$ ist ja ein Ring kann doch nicht so schwer nierderzuschreiben sein... ;-)
Deine Beispiel sinnd ja alles Ringhomorpismen oder?
Dann schreib' es hin. Wahlweise zeigst Du mit der (Mini-) Aufgabe, das Du mit einem Einsetzungshomorphismus in einer Variable umgehen kannst. Es sind Ringhomomorphismen und die Definition dieser ist nicht vollständig. Diese zu vervollständigen ist Teil der Aufgabe und die ganze Aufgabe sollte für alle 5 Abbildungen nicht länger als eine Stunde in Anspruch nehmen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-08-13


2019-08-13 23:16 - juergenX in Beitrag No. 14 schreibt:
$\varphi_1:\IQ[X]\to\IC:  ax+b\to a+b$. (?)
$\varphi_{\sqrt 2}:\IQ[X]\to \IC:  ax^2+bx+c\to 2a+b\sqrt 2+c, a,b,c \in \IQ$ (?)
oder
$\varphi_{\sqrt 2}:\IQ[X]\to \IC:  ax+b\to \sqrt 2\cdot a+b, a,b \in \IQ$ (?)
So in etwas. Das sind Beispiele aber kein vollständige Abbildungsvorschrift. Und schon wieder wenn wenn du $\IQ[X]$ schreibst, heißt das Polynom $aX+b$ und nicht $ax+b$.
$\psi_{\sqrt 2}:\IR[X]\to \IC: \sqrt 2 \to a\sqrt 2+b, a,b \in \IR$.(?)
Das sollte dann
$\psi_{\sqrt 2}(aX+b ) = a\sqrt 2+b; a,b \in \IR$
heißen.



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-13


"$a_{i,i_2,…,i_n} und $(a1,a2,a3,...,an)$ sind verschieden mathematische Objekte. Auch das habe ich schon weiter oben bemängelt. i1i2…in ist ein Multiindex."

Was ist ein Multiindex?
ich hoer mal auf heute wenn man sich zuviel mit was beschaeftigt..
Danke

Die beiden Zeilen in de.wikipedia.org/wiki/Einsetzungshomomorphismus#Polynomringe_in_endlich_vielen_Ver%C3%A4nderlichen

die eine Polynom.. abbildet auf.....$b_n^{i_n}$

stehen sind zusammen genommen richtig ja?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2019-08-13


Ein Multiindex kannst Du bei Wikipedia nachschlagen. Der Abschnitt zu Potenzreihen ist genau der, der auch für Polynome in mehreren Variablen relevant ist.



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-13


2019-08-13 23:28 - TomTom314 in Beitrag No. 16 schreibt:
Das sollte dann
$\psi_{\sqrt 2}(aX+b ) = a\sqrt 2+b; a,b \in \IR$
heißen.

Ja, der $ker(\psi_{\sqrt 2})$ ist dann das Pärchen $(\sqrt2,-2)$ und alle vielfachen diese dupels $\lambda (\sqrt2,-2)$.
Quasi ist esauch die "Gerade" im $V^1$ der Richtung $(\sqrt2,-2) = \lambda (\sqrt2,-2) \in Ker(\psi)$.
man kann ja an sich Polynome als Vektorraeume auffassen..
aber das führt hier weg, auch Körperautomorphismen kann man als lineare Abbildung auffassen die den Nullstellenvektor $\vec x_0 =
\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\..\\xn \end{pmatrix}$ und  $\lambda \vec x_0$
auf den Nullvector abbilden.
Und wenn die $x_i \in \mathbb Q$ liegen, und ihr Bild der  Nullvector ist den Eigenraum der zum Q-Automorphismus gehoerenden Matrix bilden.

Edit: ich meinte ein Q-Automorphismus haelt Elemente aus $\mathbb Q$ fest,  und auch Vektoren aus $\mathbb Q^n$.

So erstmal gut..
Die Basisfrage war: was aud dem Polynomraum $\mathbb Q[X_1,...,X_n]$ wird in welches Bildelement in einen $\mathbb Q(\omega)$ durch einen $\varphi^{b}$ wie abgebildet?
Was von $\varphi^{b}, b \in \mathbb Q[X_1,...,X_n]$ ist Kern, Bild, Urbild und wie sind die richtigen Bezeichner.
Also dein Beitrag 12.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2019-08-14


2019-08-13 23:55 - juergenX in Beitrag No. 19 schreibt:

Ja, der $ker(\psi_{\sqrt 2})$ ist dann das Pärchen $(\sqrt2,-2)$ und alle vielfachen diese dupels $\lambda (\sqrt2,-2)$.
Quasi ist auch die gerade im $V^1$ der Richtung $(\sqrt2,-2) = \lambda (\sqrt2,-2) \in Ker(\psi)$.
Nein! $(\sqrt2,-2)$ ist nicht einmal Element des Polynomrings!!!

auch Körperautomorphismen...
Hier kann ich nicht einmal raten, was Du meinen könntest.

Hier ist schon wieder (!!!) mit $V^1$ eine Bezeichung die einfach vom Himmel fällt. Gewöhne Dir endlich an, die Buchstaben, die Du verwendest auch zu defninieren.



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-14


Ok dann is der $ker(\psi_{\sqrt 2})$ nur (0,0).
V^1 ist ein eindimensionaler Vektorraum mit einem Kernelement als Basis.


$Ker(\psi_{\sqrt 2}:\IR[X]\to \IC =(\sqrt2,-2)$.

$\varphi^{i}: \IR[X]\to \IC : ai+b$
$Ker(\varphi^{i})=(i,1)$. Und auch wenn $\lambda\in \mathbb \IR:$
$Ker(\varphi^{i})=\lambda(i,1)$ also ein Ideal $I=(i,1) \subset Q[X_1], I$ kein Hauptideal.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2019-08-14


Der Beitrag 21 besteht aus 6 Zeilen. In 5 davon machst Du elementare Fehler.  Die Erklärung zu $V^1$ ergibt für mich keinen Sinn.
Z.B.:
... Ideal $I=(i,1) \subset Q[X_1], I$ kein Hauptideal.
Du hast zum Thema Ideale und Ringe schon einige längere Threads hinter dir und ich bin mir sicher, dass dort auch mehr als einmal erwähnt wurde, dass $\IQ[X]$ ein Hauptidealring ist. Wie Du auf die Idee $i\in\IQ[X]$ kommst ist völlig unklar. Anscheinend ist Dir auch nicht klar, welche Konsequenz $1\in I$ hat.

Es macht keinen Sinn hier noch weiter Inhalte zu besprechen, wenn Du es nicht schaffst, eine einfache mathematische Aussage halbwegs fehlerfrei aufzuschreiben. Nimm Dir irgendein einfaches Buch zur elementaren Zahlentheorie oder Mengenlehre oder was auch immer für ein Student im ersten Semester geeignet sein könnte. Wichtig ist, dass Du lernst, mathematisch halbwegs richtig zu formulieren und kleine einfache Beweise selbstständig und ohne Fehler zu formulieren.



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-14


2019-08-13 22:12 - TomTom314 in Beitrag No. 12 schreibt:
Das passt einfach so nicht zusammen.
Ein $\displaystyle \varphi _{(b_{1},\dots ,b_{n})}(f):=\sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}})b_{1}^{i_{1}}b_{2}^{i_{2}}\dots b_{n}^{i_{n}}$
Das ist so keine vollständig Definition. Solange es Dir nicht gelingt die Definition sauber hinzuschreiben und auch auf eine andere Situation zu übertragen, kannst Du nicht einfach Teile weglassen.


Ja gut. Danke anyway.
Eine Frage noch wieso ist obiges was ich 1 zu 1 aus wiki abschrieb nicht vollstaendig? Es is doch durch das ":=" eine Defintion eines Einsetzungshomomorphismus n verschiedener b´s in f.

oder so:

,so lässt sich zu jedem n-Tupel in B $\displaystyle (b_{1},\dots ,b_{n})$ eine Abbildung:
$\displaystyle \varphi _{(b_{1},\dots ,b_{n})}\colon A[X_{1},\dots ,X_{n}]\to B$ definieren, die ein Polynom $\displaystyle f=\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}\geq 0}a_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}X_{1}^{i_{1}}X_{2}^{i_{2}}\dots X_{n}^{i_{n}}$

abbildet auf $\displaystyle \varphi _{(b_{1},\dots ,b_{n})}(f):=\sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}})b_{1}^{i_{1}}b_{2}^{i_{2}}\dots b_{n}^{i_{n}}$

So ist es vollstaendig?

in dem $\sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}})b_{1}^{i_{1}}b_{2}^{i_{2}}\dots b_{n}^{i_{n}}$ muesste ja hinter  $\varphi$ was "hochgestellt" sein..

J.

und ist folgendes richtig?

$Ker(\psi_{\sqrt 2}:\IR[X]\to \IC =(\sqrt2,-2)$.

$\varphi^{i}: \IC[X]\to \IC : ai+b$
$Ker(\varphi^{i})=(i,1)$. Und auch wenn $\lambda\in \mathbb \IR:$
$Ker(\varphi^{i})=\lambda(i,1)$ also ein Ideal $I=(i,1) \subset \IC[X_1]$.




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2019-08-14


oder so:

,so lässt sich zu jedem n-Tupel in B $\displaystyle (b_{1},\dots ,b_{n})$ eine Abbildung:
$\displaystyle \varphi _{(b_{1},\dots ,b_{n})}\colon A[X_{1},\dots ,X_{n}]\to B$ definieren, die ein Polynom $\displaystyle f=\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}\geq 0}a_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}X_{1}^{i_{1}}X_{2}^{i_{2}}\dots X_{n}^{i_{n}}$

abbildet auf $\displaystyle \varphi _{(b_{1},\dots ,b_{n})}(f):=\sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}})b_{1}^{i_{1}}b_{2}^{i_{2}}\dots b_{n}^{i_{n}}$

So ist es vollstaendig?

in dem $\sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}})b_{1}^{i_{1}}b_{2}^{i_{2}}\dots b_{n}^{i_{n}}$ muesste ja hinter  $\varphi$ was "hochgestellt" sein..
Zur Vollständigkeit gehört noch $\varphi:A\to B$ Ringhomomorphismus. Was soll dieses "hochgestellt" sein? Diese Frage habe ich mittlerweile bei fast jeder Antwort gestellt und Du hast dazu keine Erklärung dazu gegeben. Wenn Du irgendeine Schreibweise verwenden möchtest, gehört dazu immer(!!!) eine Definition.

und ist folgendes richtig?

$Ker(\psi_{\sqrt 2}:\IR[X]\to \IC =(\sqrt2,-2)$.

$\varphi^{i}: \IC[X]\to \IC : ai+b$
$Ker(\varphi^{i})=(i,1)$. Und auch wenn $\lambda\in \mathbb \IR:$
$Ker(\varphi^{i})=\lambda(i,1)$ also ein Ideal $I=(i,1) \subset \IC[X_1]$.


Das ist nicht nur einfach falsch, sonder richtig katastrophal übel falsch. Anscheinend sollt $(\sqrt2,-2)$ irgendein Vektor sein, was nicht einmal in dem Ring $\IR[X]$ liegt. Der Kern ist ein Ideal in $\IR[X]$. Selbst wenn ich $(\sqrt2,-2)$ wohlwollend als Ideal interpretiere ist es immer noch falsch.
$\varphi^{i}: \IC[X]\to \IC : ai+b$ ergibt überhaupt keinen Sinn. Was soll $ai+b$ sein? Schon wieder ein frei schwebende Variable (ungefähr 1000 mal vorher schon bemängelt). Was soll der Exponent $i$ bei $\varphi^i$ bedeuten? Und dann die Verwendung des Gleichheitszeichens: $Ker(\varphi^{i})=(i,1)$ und $Ker(\varphi^{i})=\lambda(i,1)$, also $(i,1)=\lambda(i,1)$. Was soll das sein?
ein Ideal $I=(i,1) \subset \IC[X_1]$
Jetzt hast Du $\IC$ statt $\IR$ geschrieben, was es nicht wirklich besser macht. Immer noch falsch.



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juergenX
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einfacher so ?

Zu einem Polynom $\displaystyle p \in \mathbb Q[X_i]:
a_{1}\cdot X_{1}^{i_{1}}+a_{2}\cdot X_{2}^{i_{2}}+\dots +a_{n}\cdot X_{n}^{i_{n}}, a_i \in Q$ und einem n_tupel $\displaystyle b =(b_1,\dots ,b_n)$ ist der Einsetzungshomomorphismus
$\varphi^{b}=a_{1}\cdot b_{1}^{i_{1}}+a_{2}\cdot b_{2}^{i_{2}}+\dots +a_{n}\cdot b_{n}^{i_{n}}$ definiert.

(hat sich mit deinem letzten Post  ueberschnitten)
ich habe als Einsetzungshomomorphismus mal $\varphi_b$ mal $\varphi^b$ gelesen.
Ich denke $\varphi_b$ is gebraeuchlich. bei wiki steht einmal einfach $\varphi(b)$ falsch?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.23 begonnen.]



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2019-08-14


Ich bin hier jetzt raus. Das bringt nichts.



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-14


2019-08-13 22:12 - TomTom314 in Beitrag No. 12 schreibt:
Bestimme zu den folgenden Einsetzungshomomorphismen bitte Kern und Bild, ggf. ein paar typische Beispiel was worauf abgebildte wird:
\[\varphi_1:\IQ[X]\to\IC \\
\varphi_{\sqrt 2}:\IQ[X]\to \IC\\
\psi_{\sqrt 2}:\IR[X]\to \IC\\
\varphi_{\pi}:\IR[X]\to \IC\\
\varphi_{i}:\IQ[X]\to \IC\\
\psi_{i}:\IQ(i)[X]\to \IC\\
\] Die Bezeichungskonvention ist nun dieselbe wie im Wikipedia-Artikel.

Bsp.:
$\psi_{\sqrt 2}:\IR[X]\to \IC$
das grundeliegende p(X) Polynom aus $\IR[X]$ kann ja 1,2,.. haben summanden haben
$p1=aX,
p2=aX+b,
p3=aX^2+bX+c...$

Die Einsetzung vom $\sqrt2$ an Stelle von der Variablen X gibt unterschiedliche Werte $\beta\in\mathbb Q(\sqrt2)$.
Nur $\lambda\sqrt2$ fuer X in p1 sind im Bild also Wertebereich also $ker(\psi_{\sqrt 2})$ besteht  nur aus dem 0 Polynom.
Nur die 2-Tupel $\lambda(\sqrt2,-2)$  fuer X in p2 sind im Wertebereich also $ker(\psi_{\sqrt 2})=\lambda(\sqrt2,-2)$  
analoges gilt fuer 3-Tupel in p3.

Das $(\sqrt2,-2)$ ist kein Ring oder Ringelement aber kann als Vektor $vec(a)=(\sqrt2,-2)$ aufgefasst werden mit der üblichen Skalarmultiplikation.
$p2(\sqrt2)=a\sqrt2+b, a,b \in \IR$.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.25 begonnen.]



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Saki17
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2019-08-13 22:12 - TomTom314 in Beitrag No. 12 schreibt:
Bestimme zu den folgenden Einsetzungshomomorphismen bitte Kern und Bild, ggf. ein paar typische Beispiel was worauf abgebildte wird:
\[\varphi_1:\IQ[X]\to\IC \\
\varphi_{\sqrt 2}:\IQ[X]\to \IC\\
\psi_{\sqrt 2}:\IR[X]\to \IC\\
\varphi_{\pi}:\IR[X]\to \IC\\
\varphi_{i}:\IQ[X]\to \IC\\
\psi_{i}:\IQ(i)[X]\to \IC\\
\] Die Bezeichungskonvention ist nun dieselbe wie im Wikipedia-Artikel.

Nur zum Spaß mache ich mal mit. Es soll gelten
$$\ker\varphi_1=(X-1),\\ \ker\varphi_{\sqrt 2}=(X^2-2),\\ \ker\psi_{\sqrt 2}=(X-\sqrt{2}),\\ \ker\varphi_{\pi}=(X-\pi),\\ \ker\varphi_{i}=(X^2+1),\\ \ker\psi_i= (X-i).$$ Im Obigen sind "$\supset$" jeweils offensichtlich; Für die anderen Inklusionen (Im Falle $\varphi_{\sqrt{2}},~ \varphi_i$) kann man z.B. euklidischen Algorithmus / Polynomdivision verwenden.



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juergenX
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geloescht



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juergenX
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2019-08-18 21:21 - juergenX in Beitrag No. 29 schreibt:


Damit liegt auch das ganze Ideal $I=(x_1^2-x_2^2+x_3^2-x_4^2)\in Ker(\varphi_{t3})$.


Was ist nun aber das b in $\displaystyle f(x)=x^4-3$ und  $\displaystyle \varphi_{b}$, wenn $\displaystyle p(x1,x2,x3,x4)= x_1\cdot x_2 +x_3\cdot x_4=0$?

Da nun $\displaystyle p(x1,x2,x3,x4)=x_1\cdot x_2+x_3\cdot x_4=0$
und $\displaystyle \sigma=(12)(34)$ dann  
$\displaystyle
x_{\sigma(1)}\cdot
x_{\sigma(2)}+
x_{\sigma(3)}+\cdot
x_{\sigma(4)}=0$, was soviel heisst wie
$\displaystyle p(x1,x2,x3,x4)=p(x1,x2,x3,x4)^\sigma=0$ und $\displaystyle x_1\cdot x_2+x_3\cdot x_4=0$ unser p also $\sigma$-invariant ist und im Kern vom Einsetzungs-Homomorphismus
$\displaystyle \varphi_{b}$ liegt
Damit ist auch das Ideal $\displaystyle (x_1\cdot x_2+x_3\cdot x_4)$ vollstaendig enthalten im Kern des $\displaystyle \varphi_{b}$.
der Index b zu $\displaystyle \varphi_{b}$ ist also ein Polynom hier $\displaystyle p(x1,x2,x3,x4)$ und erzeugt ein maximales Ideal $\displaystyle I=\varphi_{b}$ aus unendlich vielen Polynomen.

$\displaystyle \varphi_{b}$ ist der Name eines speziellen Einsetzungs-Homomorphismus $\displaystyle Q[X_1,X_2,X_3,X_4] \to \mathbb Q(\sqrt3,i)$.
Was genau ist aber das b, hier als Argument von $\displaystyle \varphi$ geschrieben?
Denn hier ist $\displaystyle\mathbb Q[X_1,X_2,X_3,X_4]$ eingeschraenkt auf $\displaystyle\mathbb Q[X_1\cdot X_2,X_3\cdot X_4]$. Ich hoffe das Wort eingeschraenkt ist richtig gebraucht...?
oder ist b einfach das ganze $\displaystyle x_1\cdot x_2+x_3\cdot x_4$
und auch alle $\displaystyle q(x_1\cdot x_2+x_3\cdot x_4), q \in \mathbb Q$. (Hier fehlt irgendwie das Wort "Tupel".)

Ob dies "zufaellig" gewählte $\displaystyle\sigma$ ist nicht zwingend Element der Galoisgruppe von $f(x)=x^4-3$.
Dies bedarf genauerer Betrachtung...
z.B. wird $\displaystyle x1+x2+x3+x4$ durch
$\displaystyle \epsilon =(123): x_{\epsilon(1)}+x_{\epsilon(2)}+x_{\epsilon(3)}+x_{\epsilon(4)}$ auf 0 festgehalten.
$\displaystyle \epsilon$ ist aber keine Permutation, die sich zu einem KA erweitern liesse.
Siehe zur Auswahl nachhaltiger invarianter Polynome LinkSubnormalreihen in S_8 beitrag 45

Thx






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juergenX
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Schade
interessantes Thema tieferggehend als ich hier nur andeuten konnte.
Galois ist ja an sich die tiefste Erkenntnis aus "Wirkung von symmetrischen Gruppen auf Mengen" hier Elemente aus Polynomringen mit vorgegeben Variablen $x_i$, den Nullstellen von einem n-Gradigen Polynom in x.



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juergenX
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2019-08-11 23:01 - TomTom314 in Beitrag No. 8 schreibt:

Jetzt koennen wir einen Polynomring in 4 Variablen $G=Q[X_0,X_1,X_2,X_3]$ ueber dem Grundring $Q$ definiieren. Ein beliebiges Element dieses Polynomringes sei $g(x_0,x_1,x_2,x_3)$ z.b. $ax_0+bx_1+cx_2+dx_3$.
1) Ein Polynomring existiert unabhängig von f.
2) Wenn Du die rationalen Zahlen meinst, schreibe auch $\IQ$
3) Wenn $x_0,x_1,x_2,x_3$ die Nullstellen eine Polynom sind, können diese nicht wieder als Variablen für $g(x_0,x_1,x_2,x_3)$ verwendet werden.


letzte Frage
1 ist klar
2 ist klar

Wie nennst du denn Ausdrücke wie $ax_0+bx_1+cx_2+dx_3$, wenn die $x_i$ feste Nullstellen von irgendwas also feste Werte sind und $a,b,c,d \Rightarrow K$ Abbildungen in irgendeinem  Koerper K sind? Für bestimmte a,b,c,d ist der Term 0.
An sich sind ja die a,b,c,d Variabel? Und die $x_i$ sind fest vorgegebn.
ist  $ax_0+bx_1+cx_2+dx_3$ nicht Element eines Polynomringes? wie sieht denn der aus?
Was  sind die Variablen und was die Koeffizienten?
$\IQ[a,b,c,d]$ klingt auch falsch.





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