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Funktionentheorie » Holomorphie » Funktionentheorie Maximumsprinzip
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Autor
Universität/Hochschule Funktionentheorie Maximumsprinzip
Sid123
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.08.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-08


Hallo :)

Ich lerne gerade für Funktionentheorie und habe folgende Aufgabe:

Gibt es ein f holomorph auf U1(0) mit f(0)=1 und |f(z)|<1 für alle z element U1(0)\{0} ?


Als erstes habe ich an das Maximumsprinzip gedacht: wenn |f(z)| ein lokales Maximum in U1(0) hat, dann ist es konstant...Das ist hier doch der Fall, oder? Oder ist es ein Problem, dass bei f(0)=1 kein Betrag drum ist?

Aber dann kann ich auch immer noch nicht wirklich die Frage beantworten...

Kann mir vielleicht jemand helfen?



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targon
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.04.2016
Mitteilungen: 114
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-08

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\norm}[1]{\mathop{}\left\lVert\,#1\,\right\rVert} \newcommand{\abs}[1]{\mathop{}\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{\eins}[1]{\textbf{1}_{\left\{ #1 \right\}}}\)
Hallo Sid123,

dass bei <math>f(0)=1</math> kein Betrag drum ist bedeutet einfach, dass <math>1</math> raus kommt. Stünde da <math>\vert f(0) \vert=1</math> wäre beispielsweise <math>f(0)=i</math> auch möglich. Macht hier aber kein Problem, denn <math>\vert f(0) \vert=1</math> gilt ja trotzdem.
Du hast eigentlich schon alles beantwortet; wir haben <math>\vert f(0) \vert=1</math> und <math>\vert f(z) \vert<1</math> für <math>z \neq 0</math>, daher hat <math>|f|</math> in <math>0</math> ein lokales Maximum und muss nach dem Maximumprinzip konstant sein. Da eine konstante Funktion aber nicht in <math>0</math> den Wert <math>1</math> annehmen und sonst <math><1</math> sein kann, gibt es keine solche holomorphe Funktion.

Gruß
Targon
\(\endgroup\)


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Sid123
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.08.2019
Mitteilungen: 14
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-08


Danke für deine schnelle Antwort. Ich denke ich habe verstanden warum es keine solche holomorphe Funktion geben kann.

Nur das mit dem Betrag ist mir nicht ganz klar. Wie kommst du darauf, dass |f(0)| auch i sein könnte?
 
Gruß
Sid



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
targon
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.04.2016
Mitteilungen: 114
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-09

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\norm}[1]{\mathop{}\left\lVert\,#1\,\right\rVert} \newcommand{\abs}[1]{\mathop{}\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{\eins}[1]{\textbf{1}_{\left\{ #1 \right\}}}\)
Da habe ich mich auch etwas kryptisch ausgedrückt. Ich wollte darauf eingehen, dass du fragtest, ob's ein Problem ist, dass da bei <math>f(0)=1</math> kein Betrag steht.
Ich wollte nur sagen: dadurch dass da kein Betrag steht, gewinnst du mehr Info, als wenn da ein Betrag steht. Ändert aber an der Lösung der Aufgabe nix.
Für die Anwendung des Maximumprinzip brauchst du, dass <math>\vert f\vert</math> an der Stelle <math>0</math> ein lokales Maximum annimmt, und das bekommen wir; denn insbesondere folgt aus <math>f(0)=1</math> natürlich auch <math>\vert f(0)\vert = 1</math>. Daher kann hier das Maximumsprinzip angewandt werden.
\(\endgroup\)


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