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Moderiert von John_Matrix PhysikRabe
Physik » Mathematische Physik » Zerlegung eines Mehrteilchen-Korrelationstensors
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Universität/Hochschule J Zerlegung eines Mehrteilchen-Korrelationstensors
Strange_Quark
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 24.10.2017
Mitteilungen: 11
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-09


Wir betrachten \(n\)-Teilchen Quantenzustände \(\rho\) die auf den Hilbertraum \(\mathcal{H}=\mathcal{H}_1\otimes...\otimes \mathcal{H}_2\) mit Dimension \(D=d_1....d_n\) wirken.

Seien nun \(\{\lambda_i^{(j)}\}_{i=1}^{d_j^2-1}\) die \(SU(d_j)\) die Erzeugenden von \(SU(d_j)\) und seien \(\lambda_0^{(j)}=\mathbb{I}_{d_j}\), welche zusammen eine orthogonale Basis des reelen Hilbert-Schmidt Raums der Hermit'schen Operatoren wirkend auf \(\mathcal{H}_j\) bilden (i.e. mit dem Inneren Produkt \( \langle A, B\rangle =\text{Tr}(AB)\)). Dann folgt daraus, dass dies auch für die Operatoren \(\left\{\bigotimes_{j=1}^{n}\left\{\lambda_{i}^{(j)}\right\}\right\}\) , wirkend auf \(\mathcal{H}\), gilt. Daher ist \(\rho\) vollständig bestimmt durch die Erwartungswerte \(\left\langle\lambda_{i_{1}}^{(1)} \otimes \cdots \otimes \lambda_{i_{n}}^{(n)}\right\rangle :=\mathcal{T}_{i_{1} \cdots i_{n}}\) mit \(i_j=0,1,...,d_j^2-1\).

Wir zerlegen den Tensor \(\mathcal{T}_{i_{1} \cdots i_{n}}\) in seine \(m\)-Teilchen Korrelationstensoren \(T_{i_{j}}^{(j)}, T_{i_{j} i_{k}}^{(j, k)}\)...etc., welche Tensoren der Ordnung \(m\) sind, was durch die Anzahl der hochgestellten Zeichen indiziert ist.

Wie genau wird der Tensor \(\mathcal{T}_{i_{1} \cdots i_{n}}\) hier in die \(m\)-Teilchen Korrelationstensoren \(T_{i_{j}}^{(j)}, T_{i_{j} i_{k}}^{(j, k)}\)...etc. zerlegt?



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PhysikRabe
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-10


Hallo Strange_Quark,

sehe ich das richtig, dass du dich mit deiner Frage auf das Paper "Multipartite entanglement detection from correlation tensors" von de Vicente & Huber beziehst? Falls ja, verstehst du die Konstruktion bzw. Bedeutung der "m-particle correlation tensors" in Abschnitt II.? Kannst du deine Frage vielleicht noch etwas präzisieren?

Grüße,
PhysikRabe


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"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca
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Strange_Quark
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Mitteilungen: 11
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-10


Hallo Rabe,
vielen Dank für deine Antwort!

2019-08-10 08:42 - PhysikRabe in Beitrag No. 1 schreibt:
sehe ich das richtig, dass du dich mit deiner Frage auf das Paper "Multipartite entanglement detection from correlation tensors" von de Vicente & Huber beziehst?

Ja, genau!

2019-08-10 08:42 - PhysikRabe in Beitrag No. 1 schreibt:
Falls ja, verstehst du die Konstruktion bzw. Bedeutung der "m-particle correlation tensors" in Abschnitt II.? Kannst du deine Frage vielleicht noch etwas präzisieren?

Ich verstehe, denke ich, die Konstruktion des vollen Korrelationstensors. Ich stütze mich hierbei u.A. auch auf "Correlation tensor criteria for genuine multiqubit entanglement" von Laskowski et. al.

Diese schreiben die Bloch-Darstellung eines \(n\)-qubit Zustandes um zu folgender Form (für \(d=2\)):

\[\rho=\frac{1}{2^{n}} \sum_{i_{1}, \ldots, i_{n}=0,1,2,3} \mathcal{T}_{i_{1}, \ldots, i_{n}} \sigma_{i_{1}} \otimes \ldots \otimes \sigma_{i_{n}}\]
mit \(\sigma_{i_k}\in \{\mathbb{I},\sigma_1, \sigma_2, \sigma_4\}\) und \(\mathcal{T}_{i_{1}, \ldots, i_{n}} \in [-1,1]\).

\(\mathcal{T}_{i_{1}, \ldots, i_{n}}\) sind dann gegeben durch
\[\mathcal{T}_{i_{1}, \ldots, i_{n}}=\left\langle\sigma_{i_{1}} \otimes \ldots \otimes \sigma_{i_{n}}\right\rangle_{\rho}=\operatorname{Tr}\left(\rho \;\;\sigma_{i_{1}} \otimes \ldots \otimes \sigma_{i_{n}}\right)\]
(Notation ist an das Paper von Vicente & Huber angepasst)

\(\mathcal{T}_{i_{1}, \ldots, i_{n}}\) ist dann der volle Korrelationstensor des \(n\)-Teilchen Systems.

Dieser volle Korrelationstensor wird dann zerlegt in \(m\)-Teilchen Korrelationstensoren, wobei \(m=1,2,...,n\). Was ich nicht verstehe ist, wie genau diese Zerlegung funktioniert. Ich kenne z.B. die Tensor Rank Decomposition eines Tensors. Hierbei wird der Tensor jedoch in eine Lienarkombination von Tensoren mit Rang \(1\) zerlegt. Da der Rang der \(m\)-Teilchen Korrelationstensoren jedoch \(m\) ist, kann diese Zerlegung nicht funktioneiren.

Wie wird der volle Korrelationstensor \(\mathcal{T}_{i_{1}, \ldots, i_{n}}\) also zerlegt in \(m\)-Teilchen Korrelationstensoren \(T_{i_{j}}^{(j)}, T_{i_{j} i_{k}}^{(j, k)}\)...etc.?

Danke!



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PhysikRabe
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-11


2019-08-10 12:39 - Strange_Quark in Beitrag No. 2 schreibt:
Wie wird der volle Korrelationstensor \(\mathcal{T}_{i_{1}, \ldots, i_{n}}\) also zerlegt in \(m\)-Teilchen Korrelationstensoren \(T_{i_{j}}^{(j)}, T_{i_{j} i_{k}}^{(j, k)}\)...etc.?

Das ist eine gute Frage... Leider kann ich das nicht mit Bestimmtheit beantworten. Aber wenn ich raten müsste würde ich sagen, es ist eine Art kombinatorische Zerlegung in Linearkombinationen von Tensorprodukten (Tensorrang $n$), die aus allen möglichen $m$-Teilchen-Korrelationen, $1\leq m \leq n$, in der Indexmenge $\{ i_1,\ldots,i_n \}$ zusammengesetzt werden. (Ein Term in der Zerlegung von \(\mathcal{T}_{i_{1}, \ldots, i_{n}}\) ist also z.B. das Tensorprodukt aller $1$-Teilchen Korrelationstensoren $T_{i_{1}}^{(1)} \otimes \ldots \otimes T_{i_{n}}^{(n)}$.) Hast du bereits vorige Arbeiten der Autoren konsultiert? Möglicherweise wird irgendwo im Detail darauf eingegangen (schließlich schreiben sie im Paper "let us briefly review [...]", das klingt also so, als ob das in einer früheren Arbeit genauer ausgearbeitet wurde).

Grüße,
PhysikRabe


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Strange_Quark
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-12


2019-08-11 10:40 - PhysikRabe in Beitrag No. 3 schreibt:
Das ist eine gute Frage... Leider kann ich das nicht mit Bestimmtheit beantworten.

Ok, vielen Dank für dein Mitdenken. Es beruhigt mich schon einmal, dass ich nicht irgendetwas offensichtliches übersehen habe.

2019-08-11 10:40 - PhysikRabe in Beitrag No. 3 schreibt:
Aber wenn ich raten müsste würde ich sagen, es ist eine Art kombinatorische Zerlegung in Linearkombinationen von Tensorprodukten (Tensorrang $n$), die aus allen möglichen $m$-Teilchen-Korrelationen, $1\leq m \leq n$, in der Indexmenge $\{ i_1,\ldots,i_n \}$ zusammengesetzt werden. (Ein Term in der Zerlegung von \(\mathcal{T}_{i_{1}, \ldots, i_{n}}\) ist also z.B. das Tensorprodukt aller $1$-Teilchen Korrelationstensoren $T_{i_{1}}^{(1)} \otimes \ldots \otimes T_{i_{n}}^{(n)}$.)

Ja, so oder so ähnlich muss es wohl gedacht sein. Ich müsste jedoch wissen, wie genau diese \(m\)-Teilchen-Korrelationstensoren konstruiert werden.

2019-08-11 10:40 - PhysikRabe in Beitrag No. 3 schreibt:
Hast du bereits vorige Arbeiten der Autoren konsultiert? Möglicherweise wird irgendwo im Detail darauf eingegangen (schließlich schreiben sie im Paper "let us briefly review [...]", das klingt also so, als ob das in einer früheren Arbeit genauer ausgearbeitet wurde).

Ja, zumindest oberflächlich habe ich das getan. Mir ist dabei nichts ins Auge gesprungen was die Zerlegung erklären würde. Aber ich werde noch einmal genauer in den früheren Papers der Autoren nachsehen. Danke für den Tipp!



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-08-12


2019-08-10 12:39 - Strange_Quark in Beitrag No. 2 schreibt:
Wie wird der volle Korrelationstensor \(\mathcal{T}_{i_{1}, \ldots, i_{n}}\) also zerlegt in \(m\)-Teilchen Korrelationstensoren \(T_{i_{j}}^{(j)}, T_{i_{j} i_{k}}^{(j, k)}\)...etc.?

Wo kommt denn eine solche Zerlegung in dem Artikel überhaupt vor?

Ich sehe nur, dass die $m$-Teilchen-Tensoren als Spezialfälle des vollen Tensors definiert werden. (Und dass man sich dann Fälle anschaut, in denen bestimmte Tensoren als Produkte anderer Tensoren geschrieben werden können.)

Aber eine Zerlegung im engeren Sinne (nämlich eine, die Tensoren liefert, aus denen man den vollen Tensor irgendwie rekonstruieren könnte) kann ich nicht entdecken.

Von daher verstehe ich leider gar nicht, welches Problem ihr eigentlich diskutiert.



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-08-12


2019-08-12 13:19 - zippy in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich sehe nur, dass die $m$-Teilchen-Tensoren als Spezialfälle des vollen Tensors definiert werden. (Und dass man sich dann Fälle anschaut, in denen bestimmte Tensoren als Produkte anderer Tensoren geschrieben werden können.)

Aber eine Zerlegung im engeren Sinne (nämlich eine, die Tensoren liefert, aus denen man den vollen Tensor irgendwie rekonstruieren könnte) kann ich nicht entdecken.

Ja, das stimmt, eine Zerlegung in diesem Sinne kommt nicht vor, das ist mir auch schon aufgefallen. Das deutet vielleicht darauf hin, dass das Wort "decompose" in der besagten "decomposition in $m$-particle correlation tensors" weniger streng zu interpretieren ist, nämlich (wie zippy schon schreibt) einfach als Definition von "kleineren" Bestandteilen des vollen Korrelationstensors, die Korrelationen zwischen Teilchen in allen möglichen Subsystemen beschreiben, wie auf Seite 2 (rechte Spalte, oben) illustriert. Eine Zerlegung des vollen Korrelationstensors in diese Bestandteile wird gar nicht benötigt.

@Strange_Quark: Gibt es einen Grund, dass du nach einer echten Zerlegung fragst? Ich bin kein Spezialist auf diesem Gebiet, also vielleicht übersehe ich da noch etwas und interpretiere die Dinge falsch.

Grüße,
PhysikRabe


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Strange_Quark
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-13


Ich hatte einfach das Gefühl, nicht zu verstehen wie die \(m\)-Teilchen Korrelationstensoren mit dem vollen Tensor zusammenspielen.

Ist es richtig, dass die \(m\)-Teilchen Korrelationstensoren durch partielle Spurbildung über die \(n-m\) verbleibenden Unterräume gebildet werden?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-08-13


2019-08-13 16:15 - Strange_Quark in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich hatte einfach das Gefühl, nicht zu verstehen wie die \(m\)-Teilchen Korrelationstensoren mit dem vollen Tensor zusammenspielen.

Man nimmt den vollen Tensor uns setzt alle Indizes, die nicht zu den $m$ Teilchen gehören, die einen interessieren, einfach auf den festen Wert 0.

Und das, was dabei herauskommt, ist (wegen $\sigma_0=1$) ein Erwartungswert in dem Zustand, der durch partielle Spurbildung über diese uninteressanten Teilchen entsteht.

2019-08-13 16:15 - Strange_Quark in Beitrag No. 7 schreibt:
Ist es richtig, dass die \(m\)-Teilchen Korrelationstensoren durch partielle Spurbildung über die \(n-m\) verbleibenden Unterräume gebildet werden?

Wie du oben siehst: Diese Fomulierung stimmt "so ungefähr".



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Strange_Quark
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-14


Vielen Dank Zippy und Rabe!



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