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Strukturen und Algebra » Ringe » Noethersche Ringe (Äquivalenzen beweisen)
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Universität/Hochschule Noethersche Ringe (Äquivalenzen beweisen)
Moritz21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-14


Hallo! Ich gehe momentan alle Beweise vom Skript durch, um mich auf die Algebra - Klausur vorzubereiten. Das scheint auch recht gut zu klappen, nur bei einem Beweis komme ich seit einer Weile nicht weiter.

Und zwar kann ich folgende Aussage nicht beweisen:


______________________________________________________

Sei $R$ ein kommutativer Ring mit $1$. Dann sind äquivalent:

1) Jedes Ideal $I \subset R$ ist endlich erzeugt.

2) Jede aufsteigende Kette $I_{1} \subset I_{2} \subset I_{3} \subset \ldots$ von Idealen wird stationär, i.e. $\exists m$ mit $I_{m} = I_{m + 1} = I_{m + 2} = \ldots$

________________________________________________________



Im Skript steht der Beweis dazu, aber ich verstehe ihn überhaupt nicht. Der lautet so:









Dazu habe ich ein paar Fragen:




1. Frage
_________

Warum will man beweisen, dass $I = \bigcup\limits_{i = 1}^{\infty} I_{i}$ ein Ideal ist? Damit man zeigen kann, dass jedes Ideal endlich erzeugt ist?

Falls ja, warum folgt das daraus?



2. Frage
_________

Wie genau hat man bewiesen, dass $I = \bigcup\limits_{i = 1}^{\infty} I_{i}$ ein Ideal ist ? Ich verstehe den Beweis nicht ganz.



Eigentlich muss man zwei Sachen dafür zeigen:


$(i)$ $a + b \in I$ für alle $a, b \in I$

$(ii)$ $r \cdot a \in I$ für alle $r \in R, a \in I$



Zu (i)
______

Sei $a, b \in I$.

Wieso gibt es $j_{1}, j_{2} \in N: a \in I_{j1}, b \in I_{j2}$?

Also was genau sollen $I_{j1}$ und $I_{j2}$ sein? Das sieht so aus, als würde man sich ein Ideal $I_{j}$ nehmen und da zwischen $I_{j1}$ und $I_{j2}$ unterscheiden. Sind dann $I_{j1}$ und $I_{j2}$ Teilmengen von $I_{j}$ ?

Aber was bringt es,  $I_{j1}$ und $I_{j2}$ zu betrachten?

Und dann verstehe ich nicht, warum $für j_{1} \le j_{2}$ annehmen kann, dass $I_{j1} \subset I_{j2}$ gilt.



Zu (ii)
_______


Hier kann ich das nachvollziehen.

Man nimmt sich ein Element $a \in I$ heraus. Dieses $a$ stammt dann von einem Ideal $I_{j}$ ab.

Da $I_{j}$ ein Ideal ist, ist $r \cdot a \in I_{j}$ für $r \in R, a \in I_{j}$

Aber da $I_{j} \subset I$, ist $r \cdot a \in I$.





Und wenn man einmal gezeigt hat, dass $I$ ein Ideal ist, warum folgt dann daraus, dass $I = \langle a_{1}, \ldots, a_{n} \rangle$ endlich erzeugt ist?

Warum ist überhaupt $I = \langle a_{1}, \ldots, a_{n} \rangle$?

Ich bin da momentan ziemlich verwirrt. Soweit erst einmal zu meinen Fragen. Den Rest schaue ich mir jetzt wieder an, in der Hoffnung, das eine Lampe bei mir aufgeht.


Schönen Abend noch,

Moritz

 



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-14


Hallo Moritz,

der Teil, auf den sich deine Fragen beziehen, ist ja der Beweis der Implikation 1)=>2), das heißt, man setzt hir voraus, dass jedes Ideal endlich erzeugt ist, und will zeigen, dass jede aufsteigende Kette von Idealen stationär wird.

Zur ersten Frage: Wir nehmen eine aufsteigende Kette von Idealen. Warum wir zeigen wollen, dass die Vereinigung ein Ideal ist? Wenn wir das haben, können wir unsere Voraussetzung benutzen, nämlich, dass jedes Ideal endlich erzeugt ist, und die auf $I$, also die Vereinigung anwenden.

Zur zweiten Frage: Wir setzen voraus, dass $a, b \in I$. Wegen $a \in I$ gibt es ein $j \in \mathbb{N}$, sodass $a \in I_j$. Genauso gibt es wegen $b \in I$ ein $k \in \mathbb{N}$, sodass $b \in I_k$. (Das, was ich hier $j$ und $k$ genannt habe, sind in deinem Skript $j_1$ und $j_2$. Jetzt nehmen wir oE an, dass $j \leq k$. Dann ist $I_j \subseteq I_k$, weil die Ideale $I_1, I_2, \ldots$ ja eine aufsteigende Kette bilden.

Zur dritten Frage: Wir wissen jetzt, dass $I$ ein Ideal ist. Nach Voraussetzung (Aussage 1)) ist jedes Ideal, also auch $I$, endlich erzeugt. Das heißt, es gibt endlich viele Elemente in $I$, die $I$ erzeugen, und diese Elemente nennen wir jetzt $a_1, \ldots, a_n$.

Ich hoffe, damit konnte ich dir weiterhelfen.

Gruß,
David



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Moritz21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-14


Sehr vielen Dank für deine Antwort, denn sie war mega hilfreich!
Bis dahin habe ich alles verstanden.


Aber jetzt will ich trotzdem die genaue Intention von diesem $j_{i}$ herausfinden, weil damit wird auch noch später gearbeitet.

Ich habe das so interpretiert.

Sei $a_{1} \in I_{j 1}$. Für $ j = 1$ ist $I_{11}$ das kleinste Ideal, dass das Element $a$ enthält (also $\langle a_{1} \rangle$). Und $I_{21}$ wäre dann das nachfolgende Ideal, welches $I_{11}$ enthält und somit auch $a_{1}$ enthält. Und so geht das immer weiter.

Das heißt $I_{11} \subset I_{21} \subset I_{31} \subset \ldots$ wäre die aufsteigende Kette von Idealen, die das Element $a_{1}$ enthalten.


Ist das vielleicht so gemeint?



Denn das würde ich den Rest der Implikation $(1) \Rightarrow (2)$ so interpretieren.



Wir wissen, nach dem wir gezeigt haben, dass $I$ ein Ideal ist, dass

Da $a_{1}, \ldots, a_{n} \in I$.



Und jetzt gibt es $ji$ mit $a_{i} \in I_{ji}$ mit $i = 1, 2, \ldots, n$

Anschaulich:




Würde das so stimmen?

Und jetzt nimmt man $k := max\{\;  ji\; \vert\; i = 1,2, \ldots, n \}$


Aber geht dieses $j$ nicht bis unendlich? Weil wir ja unendlich viele aufsteigende Ideale haben. Oder hält man das $j$ fest?



Naja,  jedenfalls enthält $I_{k}$ dann logischerweise die Elemente $a_{1}, \ldots, a_{n}$


Da $I = \langle a_{1}, \ldots, a_{n} \rangle$ das kleinste Ideal ist, das die Elemente $a_{1}, \ldots, a_{n}$ enthält, ist $I \subseteq I_{k}$, da $I_{k}$ zufällig auch das kleinste Ideal sein kann, die die Elemente  enthält oder ein größeres Ideal.

Passt das so weit?


Falls ja, verstehe ich dann nicht ganz, warum man aus $I \subseteq I_{k}$ schlussfolgern kann, dass ab $k$ die aufsteigende Kette von Idealen stationär wird confused


Und kurz eine Frage zu (3):

Was meint man damit, dass jede nicht - leere Menge von Idealen bezüglich der Inklusion ein maximales Element besitzt?

Freue mich auf eine Rückmeldung! smile

Lg,

Moritz



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-14


Ich habe den Eindruck, dass du da ein bisschen die Notation durcheinanderbringst. Das ist nämlich kein $I_{ji}$, sondern $I_{j_i}$, das heißt, für jedes $a_i$ wählt man einen Index $j_i \in \mathbb{N}$, sodass $a_i \in I_{j_i}$. Deswegen ergibt es auch keinen Sinn, in $I_{j_i}$ für $j$ unabhängig von $i$ einen Wert einzusetzen, sondern für jedes $i$ hast du ein festes $j_i$.

Aussage 3) hast du in deinem Startbeitrag nirgendwo hingeschrieben, deswegen kann ich deine Frage dazu im Moment schlecht beantworten. (Ich denke, ich weiß aus dem Kontext ungefähr, wie die Aussage aussieht, es wäre aber trotzdem hilfreich, die genaue Formulierung zu haben.)



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Moritz21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-14


Oh, ich habe die Notation tatsächlich etwas durcheinander gebracht.Liegt aber daran, dass ich die Schrift nicht richtig lesen kann.

Würde dann unter diesen Umständen meine Interpretation bzw. meine "Skizze" zu dieser Notation trotzdem stimmen? Also von der Idee her?




Weil wenn ich kein Bild vor Augen habe, fällt es mir irgendwie schwer.


Und es macht Sinn, dass man ein $j$ fest hält, weil davon gibt es unendlich viele und man könnte dann kein Maximum bilden.



Und ich bitte um Verzeihung, dass ich die 3. Aussage nicht gepostet habe. Ich war mir sicher, dass ich sie abgetippt habe.

Ich schicke mal die ganze Aussage:






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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-08-15


2019-08-14 21:59 - Moritz21 in Beitrag No. 4 schreibt:

Würde dann unter diesen Umständen meine Interpretation bzw. meine "Skizze" zu dieser Notation trotzdem stimmen? Also von der Idee her?


Nein. Ein $I_{1_1}$ oder ähnliches gibt es nicht.
Wenn du deine Elemente $a_1, \ldots, a_n$ hast, machst du folgendes: Wegen $a_1 \in I$ ist es in einem der $I_j$ enthalten. Da heißt, es gibt eine natürliche Zahl, wir nennen sie $j_1$, sodass $a_1 \in I_{j_1}$. Genauso gibt es ein $j_2$, sodass $a_2 \in I_{j_2}$ und so weiter. Zunächst einmal muss nicht $j_1 \leq j_2$ sein. Man könnte das zwar annehmen, wir brauchen es aber nicht. Jetzt wählen wir $k$ als das Maximum von $j_1, \ldots, j_n$. Dann ist für jedes $i$ also $j_i \leq k$ und damit $I_{j_i} \subseteq I_k$.

Zu Aussage 3): Wir nehmen hier eine Menge von Idealen in $R$, nennen wir sie mal $\mathcal{M}$, die nicht leer ist. Ausgesagt wird jetzt, dass diese ein maximales Element $I$ bsitzt. Maximal bedeutet dabei "maximal bezüglich der Inklusion" und das heißt, dass es kein $J$ in $\mathcal{M}$ besitzt, das echt größer als $I$ ist, also für das $I \subsetneq J$ gilt. Dabei ist wichtig, dass das maximale Element $I$ tatsächlich in $\mathcal{M}$ liegt. Außerdem setzen wir nicht voraus, dass $J \subseteq I$ für jedes $J \in \mathcal{M}$ gilt: Ein $I$, für das das gilt, heißt ein größtes Element in $\mathcal{M}$ und ein solches gibt es im allgemeinen nicht (auch, wenn $R$ noethersch ist).



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Moritz21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-15


Genau, so oder so ähnlich meine ich das.


Angenommen $a_{1}, a_{2} \in I$. Dann sind $a_{1}, a_{2}$ jeweils in einem der $I_{j}$ enthalten.

Das heißt, es gibt eine natürliche Zahl $j_{1}$ mit $a_{1} \in I_{j_{1}}$

Z.B. kann $I_{j_{1}} = I_{5}$ sein.


Dann gibt es eine weitere natürliche Zahl $j_{2}$ mit $a_{2} \in I_{j_{2}}$


Z.B. kann $I_{j_{2}} = I_{35}$ sein.


Passt das so? Mich hat nur die Notation so verwirrt, weil ich dachte, dass das $j$ auch durchlaufen wird.

Kurz noch eine Frage:

Ist die aufsteigende Kette  $I_{1} \subset I_{2} \subset I_{3} \subset \ldots$ endlich? Also nehmen wir an, wir hätten unendlich viele Ideale und jedes Ideal ist größer  als das andere.

Dann wäre die aufsteigende Kette unendlich, oder?
Ich gehe mal davon aus, dass diese Kette unendlich ist und nehme mal
an, dass ein $a_{i}$ nicht  in $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ usw. liegt, sondern am "Ende" der aufsteigenden Kette $I_{1} \subset I_{2} \subset I_{3} \subset \ldots$.

Es gibt kein Ende, weil wir ja unendlich viele Ideale haben.

Aber weißt du, was ich meine? Dass $a_{i}$ sozusagen in "$I_{\infty}$" liegt. Wie soll man dann da das Maximum der Indizes bilden?

Vielleicht steigere ich mich da auch zu sehr hinein. Passiert mir öfter.


Wenn ich nun das Maximum $k$ gebildet habe, dann liegen  $a_{1}, \ldots, a_{n}$ in $I_{k}$.


Da $I = \langle a_{1}, \ldots, a_{n} \rangle$ das kleinste Ideal ist, das die Elemente $a_{1}, \ldots, a_{n}$ enthält, ist $I \subseteq I_{k}$, da $I_{k}$ zufällig auch das kleinste Ideal sein kann, die die Elemente  enthält oder ein größeres Ideal.


Die Vereinigung aller Ideale in $R$, also $I$, ist das größte Ideal in R, oder? Eigentlich schon.

Und wenn dann $I \subseteq I_{k}$ gilt, dann muss $I_{k}$ gleich dem $I$ sein, weil $I$ schon das größte Ideal ist.


Passt das, oder habe ich was übersehen?


lg, Moritz




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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-08-15


2019-08-15 12:11 - Moritz21 in Beitrag No. 6 schreibt:
Genau, so oder so ähnlich meine ich das.


Angenommen $a_{1}, a_{2} \in I$. Dann sind $a_{1}, a_{2}$ jeweils in einem der $I_{j}$ enthalten.

Das heißt, es gibt eine natürliche Zahl $j_{1}$ mit $a_{1} \in I_{j_{1}}$

Z.B. kann $I_{j_{1}} = I_{5}$ sein.


Dann gibt es eine weitere natürliche Zahl $j_{2}$ mit $a_{2} \in I_{j_{2}}$


Z.B. kann $I_{j_{2}} = I_{35}$ sein.


Passt das so? Mich hat nur die Notation so verwirrt, weil ich dachte, dass das $j$ auch durchlaufen wird.

Das sollte jetzt so passen.


Kurz noch eine Frage:

Ist die aufsteigende Kette  $I_{1} \subset I_{2} \subset I_{3} \subset \ldots$ endlich? Also nehmen wir an, wir hätten unendlich viele Ideale und jedes Ideal ist größer  als das andere.

Hier musst du aufpassen: Das $\subset$ ist als $\subseteq$ zu lesen, nicht als $\subsetneq$. Das heißt, du hast unendlich viele Ideale $I_1, I_2, ...$, die aber nicht paarweise verschieden sein müssen. Genauer wollen wir ja gerade zeigen, dass sie nicht paarweise verschieden sind, sondern sich ab einem bestimmten $I_k$ nichts mehr ändert, ich hoffe, du verstehst, was ich damit meine.


Ich gehe mal davon aus, dass diese Kette unendlich ist und nehme mal
an, dass ein $a_{i}$ nicht  in $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ usw. liegt, sondern am "Ende" der aufsteigenden Kette $I_{1} \subset I_{2} \subset I_{3} \subset \ldots$.

Es gibt kein Ende, weil wir ja unendlich viele Ideale haben.

Aber weißt du, was ich meine? Dass $a_{i}$ sozusagen in "$I_{\infty}$" liegt. Wie soll man dann da das Maximum der Indizes bilden?

Vielleicht steigere ich mich da auch zu sehr hinein. Passiert mir öfter.

Ich verstehe denke ich, was du meinst, aber du scheinst da einen Denkfehler zu haben: Jedes $a_i$ liegt in der Vereinigung der $I_j$, also in mindestens einem dieser Ideale, deswegen kann das, was du hier beschreibst, nicht passieren.


Die Vereinigung aller Ideale in $R$, also $I$, ist das größte Ideal in R, oder? Eigentlich schon.

Vorsicht: $I$ ist nicht die Vereinigung aller Ideale in $R$, sondern nur von $I_1, I_2, ...$.



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Moritz21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-15


Okay, mit der Notation bin ich beruhigt.

non

Ich verstehe denke ich, was du meinst, aber du scheinst da einen Denkfehler zu haben: Jedes $a_i$ liegt in der Vereinigung der $I_j$, also in mindestens einem dieser Ideale, deswegen kann das, was du hier beschreibst, nicht passieren.


Verzeihe mir, wenn ich diesen Knoten in meinem Kopf nicht los werde.
Jedes $a_{i}$ liegt in der Vereinigung der $I_{j}$.

Wir vereinigen unendlich viele davon.

Das heißt $ I = I_{1} \cup I_{2} \cup \ldots $.

Und da wir eine unendliche aufsteigende Kette $I_{1} \subseteq I_{2}
\subseteq \ldots$

haben, ist jedes nachfolgende Ideal größer oder gleich als sein Vorgänger (von der Mächtigkeit her)

Und wenn jetzt z.B. $a_{4}$ NUR im Ideal liegt, das größer ist, als alle anderen Ideale $I_{1}, I_{2}, \ldots$, die wir vereinigen (also $a_{4} \in \lim\limits_{j \rightarrow \infty} I_{j}$ sozusagen. Ist wahrscheinlich mathematisch nicht richtig), kann ich in diesem  Fall kein Maximum der Indizes bilden kann.

Aber ich weiß immer noch nicht, wo mein Fehler liegt... frown

lg, Moritz



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-08-15


2019-08-15 16:42 - Moritz21 in Beitrag No. 8 schreibt:
Okay, mit der Notation bin ich beruhigt.

non

Ich verstehe denke ich, was du meinst, aber du scheinst da einen Denkfehler zu haben: Jedes $a_i$ liegt in der Vereinigung der $I_j$, also in mindestens einem dieser Ideale, deswegen kann das, was du hier beschreibst, nicht passieren.


Verzeihe mir, wenn ich diesen Knoten in meinem Kopf nicht los werde.
Jedes $a_{i}$ liegt in der Vereinigung der $I_{j}$.

Wir vereinigen unendlich viele davon.

Das heißt $ I = I_{1} \cup I_{2} \cup \ldots $.

Und da wir eine unendliche aufsteigende Kette $I_{1} \subseteq I_{2}
\subseteq \ldots$

haben, ist jedes nachfolgende Ideal größer oder gleich als sein Vorgänger (von der Mächtigkeit her)


Richtig.



Und wenn jetzt z.B. $a_{4}$ NUR im Ideal liegt, das größer ist, als alle anderen Ideale $I_{1}, I_{2}, \ldots$, die wir vereinigen (also $a_{4} \in \lim\limits_{j \rightarrow \infty} I_{j}$ sozusagen. Ist wahrscheinlich mathematisch nicht richtig), kann ich in diesem  Fall kein Maximum der Indizes bilden kann.

Aber ich weiß immer noch nicht, wo mein Fehler liegt... :-(

lg, Moritz


Es gibt kein Ideal unter den $I_j$, das größer ist als alle anderen, insbesondere gibt es kein $I_\infty$ oder ähnliches, sondern es gibt nur zu jeder natürlichen Zahl $j$ ein Ideal $I_j$. In einem von denen ist z.B. $a_4$ enthalten, den Index von diesem Ideal nennen wir $j_4$. Damit ist $a_4$ natürlich auch in jedem $I_{j'}$ mit $j' \geq j_4$ enthalten.



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