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Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » Klassifikation DGL linear / nichtlinear / zeitvariant
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Universität/Hochschule Klassifikation DGL linear / nichtlinear / zeitvariant
Jambaleija
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-15


Ist die DGL 1 eine nichtlineare DGL, weil der Parameter K=f(v) oder ist die DGL 1 eine zeitvariante DGL, weil der Parameter K=f(v=f(t))also mit anderen Worten K=f(t)?




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rlk
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-15


Hallo Jambaleija,
der Koeffizient $K$ hängt von der Zeit $t$ ab, die Differentialgleichung DGL 1 ist daher zeitvariant.

Servus,
Roland



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Jambaleija
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-15


Danke.

Folgefrage:
Wenn ich nun die DGL 1 in den Laplace-Bereich transformiere, muss ich K(t) und u(t) falten. Gibt es eine Approximation, die es ermöglicht die Funktion K(t) als Parameter bei der Lösung der DGL zu betrachten d.h. keine Faltung durchführen zu müssen?

Aus dem angenommenen physikalischen Hintergrund der DGLs soll bekannt sein, dass sich die Größe v(t) in DGL 2 sehr langsam ändert (z.B. mechanisches System), während die Größe u(t) in DGL 1 sich im Vergleich dazu sehr schnell änder (z.B. elektrisches System).



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Jambaleija
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-15


Hab zwischenzeitlich in mehrer Dokumenten die Definition der zeitinvarianz durchgelesen. Zum Beispiel hier auf Seite 3 (bzw. Seite 23, weil das Dokument bei der Nummerierung nicht bei Null startet): info.tuwien.ac.at/tkiefer/downloads/SkriptumSystemtheorie1WS0809SB_Kap2.pdf
Dort steht, dass ein zeitinvariantes System bei einer verschobenen Aufschaltung der Eingangsgröße bzw. Anfangsbedingung mit der identischen Ausgangsgröße reagiert als wenn keine Verschiebung vorliegen würde. Nach dieser Definition ist das DGL-System zeitinvariant, schließlich ist K nicht von einer absoluten Zeitvariablen t abhängig (z.B. K=a*t^2+b) sondern nur implizit durch die Zustandsgröße v(t). v(t) ist zwar grundsätzlich eine Funktion der Zeit jedoch ist die Zeitvariable in der Zustandsvariablen "gekapselt".

Bei deiner Antwort hast du wohl zusehr an eine Differentialgleichung n-ter Ordnung gedacht. Dort findet man ja häufig die Schreibweise in Matrix-Darstellung A(t)*u(t) mit dem Zusatz, dass bei einer Abhängigkeit von A(t) von der Zeit zeitvarianz vorliegt (mit der impliziten Annahme, dass sich in A(t) nicht noch eine weitere Zustandsvariable verbirgt, sondern nur explizite Abhängigkeiten von der Zeit vorhanden sind).

Wenn das System also dann wohl doch zeitinvariant ist stellt sich noch die Frage nach der Linearität (vermutlich nichtlinear).

Meine Folgefrage von oben bleicht jedoch grundsätzlich bestehen.

Gibt es eine Approximation, die es ermöglicht die Funktion K(v) als Parameter bei der Lösung der DGL zu betrachten, die Nichtlinearität also nicht zu berücksichtigen, wenn ich die Laplace Transformation anwende?
Hintergrund meiner Frage ist, dass das dargestellt DGL-System stellvertretend für ein deutlich kompliziertes steht. Bei dem der Parameter K als konstant angenommen wurde und mit Hilfe einer Laplace Transfromation eine Lösung ermittelt wird. Diese Lösung würde ich gern weiterhin verwenden und einfach das konstante K durch das variable K(v) in der Lösung ersetzen. Meine Vermutung: Nein bzw. es ist der Mittelwert, Maxwert oder Minwert von K(v) einzusetzen, um eine Worst-Case Analyse durchzuführen.

Aus dem angenommenen physikalischen Hintergrund der DGLs soll bekannt sein, dass sich die Größe v(t) in DGL 2 sehr langsam ändert (z.B. mechanisches System), während die Größe u(t) in DGL 1 sich im Vergleich dazu sehr schnell änder (z.B. elektrisches System).



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-16


Hallo Jambaleija
2019-08-15 17:44 - Jambaleija in Beitrag No. 3 schreibt:
Hab zwischenzeitlich in mehrer Dokumenten die Definition der zeitinvarianz durchgelesen. Zum Beispiel hier auf Seite 3 (bzw. Seite 23, weil das Dokument bei der Nummerierung nicht bei Null startet): info.tuwien.ac.at/tkiefer/downloads/SkriptumSystemtheorie1WS0809SB_Kap2.pdf
Dort steht, dass ein zeitinvariantes System bei einer verschobenen Aufschaltung der Eingangsgröße bzw. Anfangsbedingung mit der identischen Ausgangsgröße reagiert als wenn keine Verschiebung vorliegen würde. Nach dieser Definition ist das DGL-System zeitinvariant, schließlich ist K nicht von einer absoluten Zeitvariablen t abhängig (z.B. K=a*t^2+b) sondern nur implizit durch die Zustandsgröße v(t). v(t) ist zwar grundsätzlich eine Funktion der Zeit jedoch ist die Zeitvariable in der Zustandsvariablen "gekapselt".
Du hast recht, dass das aus DGL 1 und DGL 2 gebildete System zeitinvariant ist. Weil $K$ von $v$ abhängt, ist das System nichtlinear.

2019-08-15 17:44 - Jambaleija in Beitrag No. 3 schreibt:
Bei deiner Antwort hast du wohl zusehr an eine Differentialgleichung n-ter Ordnung gedacht. Dort findet man ja häufig die Schreibweise in Matrix-Darstellung A(t)*u(t) mit dem Zusatz, dass bei einer Abhängigkeit von A(t) von der Zeit zeitvarianz vorliegt (mit der impliziten Annahme, dass sich in A(t) nicht noch eine weitere Zustandsvariable verbirgt, sondern nur explizite Abhängigkeiten von der Zeit vorhanden sind).
Ich habe nur die Gleichung DGL 1 (also den Fall n=1) betrachtet, diese ist linear und zeitvariant.

2019-08-15 17:44 - Jambaleija in Beitrag No. 3 schreibt:
Wenn das System also dann wohl doch zeitinvariant ist stellt sich noch die Frage nach der Linearität (vermutlich nichtlinear).
Ja, wegen des Produkts $u\cdot v$ in DGL 1 ist das System nichtlinear.
2019-08-15 17:44 - Jambaleija in Beitrag No. 3 schreibt:
Meine Folgefrage von oben bleicht jedoch grundsätzlich bestehen.

Gibt es eine Approximation, die es ermöglicht die Funktion K(v) als Parameter bei der Lösung der DGL zu betrachten, die Nichtlinearität also nicht zu berücksichtigen, wenn ich die Laplace Transformation anwende?
Hintergrund meiner Frage ist, dass das dargestellt DGL-System stellvertretend für ein deutlich kompliziertes steht. Bei dem der Parameter K als konstant angenommen wurde und mit Hilfe einer Laplace Transfromation eine Lösung ermittelt wird. Diese Lösung würde ich gern weiterhin verwenden und einfach das konstante K durch das variable K(v) in der Lösung ersetzen. Meine Vermutung: Nein bzw. es ist der Mittelwert, Maxwert oder Minwert von K(v) einzusetzen, um eine Worst-Case Analyse durchzuführen.
Bei weit auseinanderliegenden Zeitkonstanten kann man DGL 1 für konstantes $K$ lösen und dann in der Lösung $K(v(t))$ einsetzen. Ich weiß leider nicht, wie man den Fehler dieser Approximation ermitteln kann.

Servus,
Roland



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