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Analysis » Topologie » Fundamentalsatz der Analysis
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Universität/Hochschule Fundamentalsatz der Analysis
Mathnoob27
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-19


Liebes Forum

ich bin im 2ten Semester Mathe und lerne gerade Mannigfaltigkeiten und beschäftige mich in den letzten Tagen mit dem Satz von Stokes.
Dieser verallgemeinert ja den Fundamentalsatz der Analysis auf Differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.
Was ich nicht verstehe ist der Satz von Gauss verallgemeinert den Satz ja für Kompakta mit glattem Rand, gibt es Mannigfaltigkeiten die keine Kompakta mit glattem Rand sind?
Und muss bei diesen Sätzen mein Kompakta oder meine (Unter)Mannigfaltigkeit immer in einem Umliegenden Raum eingebettet sein? Und bringen diese Sätze auch was in einem Skalarfeld oder um nur die Fläche oder dass Volumen zu berechnen?

Ich hoffe es sind nicht zuviele Fragen und sie sind nicht zu verwirrend formuliert. Ich bin um jede Hilfe froh die mir mehr Struktur zu diesem Thema vermittelt. Ist mein erste Beitrag in diesem Forum.

mfg



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doglover
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-20


Hallo Mathnoob27,

und willkommen auf dem Matheplaneten!

Zunächst einmal gibt es zwei Konzepte:

1. Mannigfaltigkeiten: Hier hat jeder Punkt eine Umgebung die homöomorph zum $\mathbb{R}^n$ ist.

2. Mannigfaltigkeiten mit Rand: Jeder Punkt besitzt eine Umgebung die homöomorph zum $\mathbb{R}^n$ ist oder zum Halbraum $\mathbb{H}^n=\{\vec{x}\in \mathbb{R}^n|x_n\geq 0\}$.

Fordert man zusätzlich, dass die Kartenwechselabbildungen Diffeomorphismen sind, so kommt man zu den Begriffen glatte Mannigfaltigkeit und glatte Mannigfaltigkeit mit (glattem) Rand.
Erstere sind ein Spezialfall von letzterem, wenn nämlich alle Punkte eine Umgebung besitzen, die homöomorph zu $\mathbb{R}^n$ ist. Wenn $M$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist, so unterscheidet man zwischen Inneren Punkten (Punkte die eine Umgebung besitzen, die homöomorph zu $\mathbb{R}^n$ sind) und Randpunkten (alle restlichen Punkte bzw. alle Punkte, die zwar eine Umgebung besitzen, die homöomorph zu $\mathbb{H}^n$ ist, aber keine Umgebung besitzen, die homöomorph zu $\mathbb{R}^n$ ist). Die Menge der Inneren Punkte von $M$ wird mit $\text{int}(M)$ bezeichnet und die Menge der Randpunkte mit $\partial M$. Wenn $M$ glatt ist, kann man zeigen, dass $\text{int}(M)$ eine glatte Mannigfaltigkeit der Dimension $n$ (im Sinne von 1.) ist. Dagegen ist $\partial M$ zwar auch eine glatte Mannigfaltigkeit (im Sinne von 1.), aber von der Dimension $n-1$. Die Inklusionsabbildung $\iota:\partial M\rightarrow M, p\mapsto p$ wird dadurch zu einer glatten Abbildung. Wenn nun $\omega$ eine (glatte) $(n-1)$-Form auf $M$ definiert, so definiert die via $\iota$ zurückgezogene Form $\iota^{\#}\omega$ eine (glatte) $(n-1)$-Form auf $\partial M$. Wenn nun $M$ zusätzlich orientiert ist, so ist auch $\partial M$ orientierbar. Der Satz von Stokes besagt dann, dass wenn man die Orientierung von $\partial M$ geeignet wählt, gilt:
$\int_{\partial M}\iota^{\#}\omega=\int_Md\omega$,
wobei $d$ die äußere Ableitung bezeichnet. Insbesondere ist $d\omega$ eine (glatte) $n$-Form auf $M$ und daher macht das Integral auf beiden Seiten Sinn. Für die Formulierung des Satzes muss $M$ nicht in irgendeinen anderen 'schönen' Raum eingebettet sein.

Nun kommen wir zu Kompakta mit glattem Rand. Wenn $\Omega\subseteq \mathbb{R}^n$ ein beschränktes Gebiet mit glattem Rand ist, so kann man $\overline{\Omega}$ (der Abschluss von $\Omega$ in $\mathbb{R}^n$) mit einem Atlas ausstatten, der $\overline{\Omega}$ zu einer glatten Mannigfaltigkeit mit Rand (im Sinne von 2.) macht. Darauf kann dann der Satz von Stokes angewendet werden, um den Gausschen Integralsatz daraus zu gewinnen.

Der Satz von Stokes ist aber eine echte Verallgemeinerung des Satzes von Gauß. Zum einen gilt er für $n$-dimensionale Mannigfaltigkeiten, während der 'klassische' Satz von Gauß nur für ($n$-dimensionale) Gebiete im $\mathbb{R}^n$ gilt. Insbesondere gibt es $n$-dimensionale Mannigfaltigkeiten, die sich nicht (glatt) in den $\mathbb{R}^n$ einbetten lassen (beispielsweise lässt sich die $n$-Sphäre $S^n$ nicht einbetten). Der Satz von Stokes gilt außerdem auch für Mannigfaltigkeiten mit leerem Rand (also Mannigfaltigkeiten der Kategorie 1.). Dabei wird das 'Randintegral' einfach zu $0$. Der Satz von Gauß lässt so eine Situation gar nicht zu, da der Rand von $\overline{\Omega}$ für jedes beschränkte Gebiet $\Omega$ nicht leer ist.

Um auf deine Frage nach Mannigfaltigkeiten, die keine Kompakta mit glattem Rand sind zu antworten: Es gibt sehr viele. Zum Beispiel der $\mathbb{R}^n$ oder $S^n$ ($S^n$ lässt sich zwar in den $\mathbb{R}^{n+1}$ einbetten, aber es ist dann als Teilmenge des $\mathbb{R}^{n+1}$ kein Gebiet mit glattem Rand).

Der Satz von Gauß ist denke ich nicht sehr hilfreich beim Berechnen von Oberflächen und Volumina (aber ich lasse mich gerne eines besseren belehren). Ein etwas konstruiertes Beispiel wäre: Sei $B_1(0)$ der offene Einheitsball und $\vec{x}=(x,y,z)$, so gilt nach Gauß:
$3\cdot vol(B_1(0))=3\int_{B_1(0)}dV=\int_{B_1(0)}\text{div}(\vec{x})dV=\int_{S^2}\vec{x}\cdot \vec{n}dS=\text{Fläche}(S^2)$,

wobei im letzten Schritt benutzt wird, dass $\vec{x}$ gerade der äußere Normaleneinheitsvektor von $S^2$ am Punkt $(x,y,z)$ ist und daher $\vec{x}\cdot \vec{n}=|\vec{n}|^2=1$. Daher lässt sich in diesem Fall das Volumen berechnen, sofern man die Oberfläche kennt und umgekehrt.

PS: Du schreibst du bist im 2.ten Semester, aber bei uns an der Uni hat man Differentialtopologie/-geometrie nach Plan frühestens Ende des 3.ten Semester gemacht. Deshalb weiß ich nicht, wie viel genau ihr gemacht habt und was an Vorwissen ich voraussetzen kann. Ich hoffe das war vom Niveau her angemessen und nicht zu viel auf einmal.

Viele Grüße

doglover



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Mathnoob27
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-21


Danke vielmals, alle meine Fragen beantwortet und mehr. Vielen Dank



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