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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Eigenwerte » 3x3-Matrix diagonalisieren mit Variablen
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Universität/Hochschule J 3x3-Matrix diagonalisieren mit Variablen
shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-20


Guten Abend,

Ich versuche der Zeit  folgende Aufgabe zu lösen

fed-Code einblenden

Bestimmen Sie alle a aus R für die, die Matrix diagonalisierbar ist.

Ich weiß, dass zum Beispiel für a=1 die Matrix diagonalisierbar ist, da es dann eine Symmetrische Matrix ist.
Außerdem muss damit eine Matrix diagonalisierbar ist, das charakt. Polynom zerfällt vollständig und die alg. Vielf. entspricht der geo. Vielf.
Jedoch scheitere ich daran das charakteristische Polynom zu bestimmen, da ich dann fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
bekomme und damit nicht weiterkomme

Ich hoffe ihr könnt mir helfen



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-20


Hey shirox und willkommen!

Wenn du die hinteren beiden Summanden zusammenfast erhältst du \(2a(\lambda+1)= - 2a(-1-\lambda)\). Siehst du nun, wie man fortfahren könnte?



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-20


Achso,oh man das hätte ich sehen können.

Vielen Dank.

Kann ich jetzt einfach fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
ausklammern und dann kann ich eine Eigenwert ablesen und bei den zweiten Faktor
fed-Code einblenden
benutze ich einfach die P-q Formel?



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-20


-2a.

Und ja, ausklammern und wie du den Rest dann löst, kannst du dir aussuchen (pq-Formel geht natürlich).



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-20


Sehr cool, vielen Dank

es gibt noch zwei weitere Aufgaben, und zwar
b) für welche a es eine Jordannormalform gibt

das wären ja dann die gleichen a's wie zuvor und zusätzlich noch diese, bei welchen die Determinante verschwindet, da jetzt ja auch die algeb. Viel. jetzt auch größer der geom. Vielfach sein kann, oder?
Ich muss nur drauf achten, dass die Eigenwerte reel sind

c) soll ich dann eben angeben für welche a's es keine Jordannormalform gibt und eine reele Jordannormalform angeben, das wären doch diese a's für die der Wert unter der Determinante negativ wird, also a>-1 da dann ja das char. Polynom über R nicht vollständig in Linearfaktoren zerfällt, oder?



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-08-20


meinst du Diskriminante? Wenn ja, dann ja.

Die Matrix besitzt eine JNF, falls das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Da braucht man sich gar nicht um irgendwelche Vielfachheiten kümmern. Wobei es hier selbst bei der Diagonalisierbarkeit nicht so wild ist.

Bei c): wie kommst du denn auf \(a>-1\)?
Und ja, wenn das char. Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt, dann gibt es keine JNF, man kann aber eine sog. reelle JNF angeben.



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-20


ja, ich meinte Diskriminante, sorry


und zu c)
dann ist doch die Diskriminante nicht reel und somit kann es auch keine JNF über R geben oder nicht, weil das charakteristische Polynom   nicht 3 NST hat



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-08-20


2019-08-20 21:24 - shirox im Themenstart schreibt:
Guten Abend,

Ich versuche der Zeit  folgende Aufgabe zu lösen

fed-Code einblenden

Bestimmen Sie alle a aus R für die, die Matrix diagonalisierbar ist.



Gauss algorithmus

$\begin {pmatrix}
1 &  a & 0 \\
1 & -1 & a \\
0 &  1 & -1
\end {pmatrix}$

II-I
$\begin {pmatrix}
1 &  a   &  0 \\
0 & -1-a &  a \\
0 &  1   & -1
\end {pmatrix}$

III+II

$\begin {pmatrix}
1 &  a    &  0  \\
0 & -1-a  &  a  \\
0 &  -a   &  a-1
\end {pmatrix}$

II-I
$\begin {pmatrix}
1 &  a   &  0   \\
0 & -1   &  a  \\
0 &  -a  &  a-1
\end {pmatrix}$

I+III

$\begin {pmatrix}
1 &  0   &  a-1  \\
0 & -1   &  a  \\
0 &  0   &  a-1
\end {pmatrix}$

II-III
$\begin {pmatrix}
1 &  0   &  a-1  \\
0 & -1   &  1  \\
0 &  0   &  1
\end {pmatrix}$

I +III

$\begin {pmatrix}
1 &  0   &  a  \\
0 & -1   &  1  \\
0 &  0   &  1
\end {pmatrix}$

I-IIIa
$\begin {pmatrix}
1 &  0   &  0  \\
0 & -1   &  1  \\
0 &  0   &  1
\end {pmatrix}$

II-III

$\begin {pmatrix}
1 &  0   &  0  \\
0 & -1   &  0  \\
0 &  0   &  1
\end {pmatrix}$


immer diagonalisierbar a unabhaengig ?!

wenn nicht verrechnet  eek

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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ligning
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Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2726
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-08-21


2019-08-20 23:56 - juergenX in Beitrag No. 7 schreibt:
wenn nicht verrechnet  eek
Nö, nur mal wieder keine Ahnung vom Thema.

Ich lass den Beitrag stehen, weil m.E. keine Gefahr besteht, übermäßige Verwirrung zu stiften.


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-08-21


Also ich bekomme als Diskriminante \(2a\) raus, dann hast du im Fall \(a>0\) drei verschiedene Nullstellen, bei \(a=0\) eine dreifache Nullstelle und bei \(a<0\) eine Nullstelle und einen irreduziblen Faktor zweiten Grades...

Deswegen wundert mich das "\(a>-1\)"



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-21


Ja, das stimmt ich habe mich gestern Abend einfach nur verrechnet
Vielen Dank



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shirox hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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