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Mathematik » Lineare Algebra » Ursprung und Transformation von Quadriken
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Universität/Hochschule Ursprung und Transformation von Quadriken
shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-22


Hallo,

Ich hab folgenden Quadrik gegeben

fed-Code einblenden

und habe dazu auch schon die affine Normalform bestimmt jetzt muss ich noch den Ursprung des Koordinatensystems  und die Transformation explizit angeben und die Quadrik im Standardkoordinatensystem skizzieren
Leider weiß ich nicht genau wie das funktioniert

Schon mal Vielen Dank



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hgseib
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-23


Hallo

Zum Zeichnen benützt man gerne Programme wie z.B. geogebra

hier: geogebra

Und so sieht deine Quadrik aus:


'per Hand' zeichnen:
x (von .. bis ..) einsetzen. Die Gleichung liefert für jede x-Position jeweils zwei y Werte (quadratisch eben).

mfg


-----------------
Die Dinge sind, wie sie sind. Ich beschreibe nur meine Sichtweise.



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rlk
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-08-23


Hallo shirox,
wie sieht die affine Normalform aus? Daraus solltest Du ablesen können, um welche Art von Kegelschnitt es sich handelt.

Servus,
Roland



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-25


Erstmal vielen Dank für die ganze Mühe mir das zu erklären, ich hätte dennoch noch ein paar Fragen, da ich erstmal so vorgegangen bin wie wir es in einem Musterbeispiel im Skript hatten:
Quadrik =xT⋅A⋅x+2bT⋅x+c


ALso zuerst bestimmt man die Transformationsmatrix und eine ONB die die Matrix A auf Diagonalgestalt bringt

Dann substituiert man bei Quadrik =xT⋅A⋅x+2bT⋅x+c

x=U⋅y mit U als Transformationsmatrix U^T⋅A⋅U=D mit D als Diagonalmatrix mit Eigenwerten auf Hauptdiagonalen

y^T⋅D⋅y+2b^T⋅U⋅y+C=0

das rechnet man aus und führt hier eine quadratische Ergänzung aus
hier hatte ich dann, auch wenn ich mich verrechnet habe
4(y1−1/2)^2+2(y2+2)^2−11
Wäre dann hier mein neuer Koordinatenursprung (1/2,−2)⋅ Transoformationsmatrix?

und dann habe ich nochmal substituiert
mit z1=y1−12 und z2=y2+2

ist das vorgehen so wie ich das mache richtig?
leider verstehe ich nämlich noch nicht alle Schritte, und weiß deswegen nämlich nicht wieso

Vielen Dank



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hgseib
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-25


Zum Verständnis:

So wie die Formel hier steht, erkennt man vielleicht den Zusammenhang mit dem Pascalschen Dreieck. Die Werte des Dreiecks sind in den Beiwerten enthalten.

Q(x,y) =
+a // parallel zur XY- Ebene
+b0x +b1y // Linear
+c0x2 +c1xy +c2y2 // quadratisch
(kann man sinngemäss fortsetzen)
+d0x3 +d1x2y +d2xy2 +d3y3 // kubisch
usw.

Q(x,y) = a +b0x +b1y +c0x2 +c1xy +c2y2
das ist eine Funktion (links die Bezeichnung mit den Variablen, rechts vom =Zeichen die Rechenvorschrift) und wegen den zwei Variablen beschreibt sie eine Fläche (2-Dimensional). Zu jeder x/y Position beschreibt die Formel deren eindeutige z-Position.

Q(x,y) = 0
Das ist eine Gleichung. Es gilt nur die Schnittmenge, die in beiden Seiten (Geometrieen) enthalten ist. Hier die Schnittmenge eines Paraboloids mit der XY-Ebene (hier die Null). Die Schnittmenge ist eine 1-Dimensionale Linie.

(kann man sinngemäss fortsetzen)
Q(x) = Polynome = Linie. Schnittmengen mit der x-Achse sind Punkte
Q(x,y,z) = sinngemäss die Formel aufbauen für Körper. Schnittmengen sind Flächen
usw.

Die Beiwerte bedeuten:

c0 in xz parabelförmig gebogen
c2 in yz parabelförmig gebogen
Sind beide Kurven gleich, dann ist die Schnittmenge (mit xy-Ebene) kreisförmig.
Sind die Kurven unterschiedlich, dann ist die Schnittmenge ellipsenförmig (Umfang).
Ist eine Kurve nach oben, die andere nach unten offen (Sattel), dann ist die Schnittmenge hyperbelförmig bzw. zwei sich kreuzende Geraden.

Ist z.B. nur c0 = Null, dann ist die Fläche ein 'Dach' mit parabelförmigem Profil.
Ist hierbei b0 = Null, dann ist die Schnittmenge zwei parallele Gerade,
Mit einem b0 = Schräge in y-Richtung ist die Schnittmenge eine Parabel.

c1 ist dieser Beiwert ungleich Null, dann ist das Gebilde um die z-Achse gedreht.

bn das Objekt ist in x- und y- Richtung verschoben.

Ist a gleich Null, dann wird der Paraboloid durch die XY-Ebene geschnitten.
Ist a ungleich null, dann wird der Schnitt weiter oben/ unten angesetzt.
Dadurch wird (hier) die Ellipse grösser bzw. kleiner.
Das Ergebnis entspricht einer Skalierung.

Die Terme entsprechen also den Transformationen: skalieren, translation und rotation.

fed-Code einblenden

Achtung, in der symmetrischen Matrix kommen die Beiwerte ungleich der Diagonale 2 mal vor. Also entsprechend duplizieren bzw. teilen. Soviel zur Quadrik mit zwei Variablen.

Matrixberechnung ist eine andere Sache. Ob deine Rechnerei richtig ist kannst du z.B. mit Geogebra überprüfen.

mfg



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