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Schulmathematik » Stochastik und Kombinatorik » Zweierteams bilden
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Schule Zweierteams bilden
Lollie
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 23.08.2019
Mitteilungen: 2
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-23


Hallo,
es ist wirkich nichts Schwieriges, aber trotzdem ist hier irgendwo ein Denkfehler drin:
Aus 6 Personen A,B,C,D,E,F sollen Zweierteams gebildet werden. bin(6,2)*bin(4,2)*bin(2,2)=120. Da die Teams nicht geordnet sind, muss ich die 120 noch durch 3! DIVIDIEREN, erhalte also 20. Nun habe ich mal die Möglichkeiten ausgeschrieben, komme aber nur auf 15:

AB CD EF | AB CE DF | AB CF DE |
AC BD EF | AC BF DE | AC BE DF |
AD BC EF | AD BE CF | AD BF CE |
AE BC DF | AE BD CF | AE BF CD |
AF BC DE | AF BD CE | AF BE CD |


Grüße Lollie



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1807
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-23

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo Lollie und herzlich Willkommen hier auf Matroids Matheplanet!

Deine Vorgehensweisen sind eigentlich durchgehend richtig, bis auf einen Rechenfehler:

\[{6 \choose 2}\cdot{4 \choose 2}\cdot{2 \choose 2}=15\cdot 6\cdot 1=90\]
Und da kommst du dann mit der Division durch \(3!=6\) genau bei deinen korrekt aufgezählten 15 Fällen an.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Lollie
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 23.08.2019
Mitteilungen: 2
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-23


Das darf nicht wahr sein! Vielen Dank Diophant!!!



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4952
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-23


@Lollie

Es geht aber auch so, dass du die 6 Leute in irgendeiner Reihenfolge antreten lässt, was auf 6! Arten geht, dann bildest du aus den Personen 1-2, 3-4, 5-6 jeweils ein Team, d.h., du unterscheidest innerhalb dieser Zweiergruppen nicht mehr bezüglich der Reihenfolge, was einer dreimaligen Division durch $2!$ gleichkommt und zum Schluss machst du auch keinen Unterschied mehr in der Reihenfolge der 2-er Gruppen, genauso wie auch bei deiner Überlegung, was einer Division durch $3!$ gleichkommt. Diese Rechnung ergibt dann ebenfalls
\[\frac{6!}{2!\,2!\,2!\,3!}=15\] was hoffentlich nicht überrascht.  wink



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1807
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-23


Hallo weird,

etwas um die Ecke gedacht, aber auch eine gute Idee.

Ich veschiebe dann mal nach Schulmathematik (dies ist auch der eigentliche Zweck meiner Senf-Beigabe hier).  smile


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Stochastik und Statistik' in Forum 'Stochastik und Kombinatorik' von Diophant]



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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1624
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-08-23

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Oder so:
Die Personen stellen sich alphabetisch in einer Reihe auf.
$A$ kann sich ein Teammitglied aussuchen und hat dafür 5 Möglichkeiten. Von den vier restlichen Personen hat die vorderste in der Reihe dann noch 3 Optionen. Die verbliebenen zwei Personen bilden das dritte Team.
Insgesamt gibt es also $5\cdot 3=15$ Möglichkeiten.
\(\endgroup\)


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JoeM
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 536
Aus: Oberpfalz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-08-27 01:39


Hallo,

man kann die Anzahl Zweierteams aus 6 Personen ( A - F ) auch so herleiten :

Person A kann aus 5 Personen ( B - F ) auswählen ;
Person B kann aus 4 Personen ( C - F ) auswählen ;
Person C kann aus 3 Personen ( D - F ) auswählen ; ...
etc.

--> Anzahl Teams : a = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 = 6*5/2 ;

Für Zweierteams aus n Personen gilt allg. : a = n*(n-1)/2 ;

viele Grüße

JoeM




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Orthonom
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 02.09.2010
Mitteilungen: 549
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-08-27 06:38


@JoeM
Für n=4 Personen sollte es 3 Möglichkeiten
geben, diese in Zweier-Teams aufzuteilen
(etwa nach #5 oder #3).
Deine Formel n(n-1)/2 ergäbe aber 6 ....
Was Du berechnest, das ist die Anzahl der
Möglichkeiten, 2 Personen aus n Personen auszuwählen
und das war nicht die eigentliche Fragestellung.
Genau für n=2 und n=6 ergeben diese unterschiedlichen
Fragestellungen die selbe Lösung, nämlich 1 und 15.



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JoeM
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 536
Aus: Oberpfalz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-08-28 01:26


Hallo,

Orthonom schreibt ....

>Für n=4 Personen sollte es 3 Möglichkeiten
geben, diese in Zweier-Teams aufzuteilen
(etwa nach #5 oder #3).
.....
Was Du berechnest, das ist die Anzahl der
Möglichkeiten, 2 Personen aus n Personen auszuwählen. <

Ich sehe die Aufgabe so :

Wie viele 2- er- Teams ( jeweils Team aus 2 Personen ) kann man aus n Personen bilden ?

Für n = 4 Personen ( A, B, C, D ) komm ich auf a = 6 Teams:

AB, AC, AD, BC, BD, CD ;

Warum soll es nur 3 Möglichkeiten geben  ( welche ) ?

Ich denke:

Die Anzahl der Möglichkeiten, 2 Personen aus n Personen auszuwählen,
ist die gleiche Anzahl, wie 2-er- Teams aus n Personen auszuwählen.
 
Was sehe ich falsch ?

viele Grüße

JoeM

 



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weird
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Mitteilungen: 4952
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-08-28 06:49


2019-08-28 01:26 - JoeM in Beitrag No. 8 schreibt:
Für n = 4 Personen ( A, B, C, D ) komm ich auf a = 6 Teams:

AB, AC, AD, BC, BD, CD ;

Warum soll es nur 3 Möglichkeiten geben  ( welche ) ?  

Du hast da eine völlig falsche Aufgabe vor Augen, die für $n=6$ nur zufälligerweise auf das gleiche Ergebnis führt, wie schon von Orthonom ausgeführt.

Nehmen wir also den Fall $n=4$ und denken wir an die Dauer eines mehrtägiges Schachturnier, bei dem nicht nur jeder gegen jeden mindestens einmal (also nicht genau einmal!) spielen soll, sondern vor allem auch alle "Gruppierungen" von 2-er Teams tatsächlich genau einmal auftreten sollen. So würde bei dir das Turnier dann 6 Tage dauern, da nur ein Match pro Tag ausgetragen wird, die restlichen beiden Spieler aber einen "Ruhetag" haben, tatsächlich dauert es aber nur 3 Tage entsprechend dem folgenden Spielplan ohne "Ruhetage":

1.Tag: AB und CD.
2.Tag: AC und BD.
3.Tag: AD und BC.

Für $n=6$ würde man zwar auch nach deiner Methode auf die gleiche Anzahl von 15 Spieltagen kommen, es würde aber bei dem "richtigen" Spielplan mit 3 Partien pro Tag statt nur einer auch jeder an 3 Tagen den gleichen Spielpartner haben, bei dir aber nur einmal, was natürlich ein himmelhoher Unterschied ist. Alles klar?  cool



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JoeM
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Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 536
Aus: Oberpfalz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-08-30 04:30


Hallo,

in der Aufgabe ist nur gefragt nach der Anzahl a der 2-er Taems, die man aus n = 6 Personen bilden kann.

Sonst nix !

Das sind a = 15 Teams; allg. a = n*(n-1)/2 ;

Die Aufgabe sollte man besser so, oder so ähnlich formulieren :

> An einem Wettkampf nehmen 6 Spieler teil. Es spielen jeweils 2 Paare gegeneinander. Wie viele Duelle finden in der 1. Runde statt ? <

Dann gilt allgemein :


viele Grüße

JoeM



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weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4952
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-08-30 08:11


2019-08-30 04:30 - JoeM in Beitrag No. 10 schreibt:
Hallo,

in der Aufgabe ist nur gefragt nach der Anzahl a der 2-er Taems, die man aus n = 6 Personen bilden kann.

Sonst nix !

Das sind a = 15 Teams; allg. a = n*(n-1)/2 ;

Die Aufgabe sollte man besser so, oder so ähnlich formulieren :

> An einem Wettkampf nehmen 6 Spieler teil. Es spielen jeweils 2 Paare gegeneinander. Wie viele Duelle finden in der 1. Runde statt ? <

Dann gilt allgemein :


viele Grüße

JoeM

Wie die Aufgabenstellung wirklich genau aussieht, wissen wir streng genommen gar nicht, da der Originaltext dazu ja nicht angegeben wurde. Deren Interpretation durch Lollie im Startposting, an welche wir uns alle mit Ausnahme von dir hier gehalten haben, lässt aber in dieser Hinsicht mit der kompletten Aufstellung aller Möglichkeiten für $n=6$ wohl keine Zweifel offen.

Und ja, deine allgemeine Formel oben für ein gerades $n\in\mathbb N^*$ könnte man noch durch den Nenner kürzen, wenn man will, was dann auf die einfachere Darstellung
\[a=(n-1)!!\left(=\prod\limits_{k=1}^{\frac n2} (n-2k+1)\right)\] führt, auf welche man auch direkt durch einfache kombinatorische Überlegungen kommen könnte, wie dies in #5 von Nuramon für $n=6$ auch sehr schön ausgeführt wurde.  wink



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