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Mathematik » Stochastik und Statistik » stationäre Verteilung von irreduziblen Komponenten
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Universität/Hochschule J stationäre Verteilung von irreduziblen Komponenten
tim123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-23 19:49


Hallo, ich habe folgende Aufgabenstellung gegeben und verstehe einfach nicht was diese $\pi(S_i)$ seien sollen.

"Für eine homogene MK sei P die ÜM und $\pi$ eine stationäre Verteilung und $S_1,S_2$.... seien die irreduziblen Komponenten des Zustandraumes S  
für $i\in I:=\{j\in \mathbb{N}|\pi(S_j)>0\}$ sei $\pi_i(x)=\pi(x)/\pi(S_i)$ falls $x\in S_i$ sonst $\pi_i(x)=0$. Zeigen Sie, dass die $\pi_i$ für alle $i\in I$ ergodische stationäre Verteilungen sind."

Was ich bisher verstanden habe , bzw denke zu verstehen ist, dass diese $S_j$ jeweils $s\in S_j$ enthalten , die ja irreduzibel sind. Folglich gibt es im reduziblem Fall mehrere stationäre Verteilungen, die vermutlich die $\pi_i$ darstellen sollen, wobei $\pi$ einfach eine beliebige dieser stationären Verteilungen seien soll. Nun komme ich leider nicht weiter, da ich nun an diesem $\pi(S_i)$ hängen bleibe.



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-23 21:03


Huhu tim123,

bist Du sicher, dass Du den Begriff der Irreduzibilität im Rahmen einer (zeitdiskreten, homogenen) Markovkette verstanden hast?

Ist $S$ der Zustandsraum eines solchen Prozesses $X$, so ist Irreduzibilität eine Eigenschaft von Teilmengen von $S$, nicht von Elementen. Eine Teilmenge $T\subset S$ heisst irreduzibel, wenn je zwei Zustände $s_1, s_2\in T$ miteinander kommunizieren, wenn also $\mathbb{P}[X_{n}={s_2}|X_0=s_1]>0$ für ein $n \in \mathbb{N}$ gilt (und umgekehrt $ \mathbb{P}[X_{n}={s_1}|X_0=s_2]>0$). Wenn man also von einem Zustand $s_1$ den Zustand $s_2$ erreichen kann (und umgekehrt).

Die Idee der Aussage ist nun, dass eine stationäre Verteilung $\pi$ des gesamten Prozesses jeweils eine stationäre Verteilung $\pi_i$ auf jeder irreduziblen Komponente des Zustandsraums induziert. Dies ist ziemlich einfach, es handelt sich hierbei lediglich um eine "Skalierung" der Einschränkung von $\pi$ auf die jeweilige Komponente.

Die Ergodizität ergibt sich aus der (hoffentlich) bekannten positiven Rekurrenz für solche Konstellationen.

lg, AK.



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tim123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-23 22:05


Hallo danke für die Antwort, mir ist leider davor nicht in den Sinn gekommen , dass es überhaupt den Zustand $\pi$ gibt, falls eine Kette reduzibel ist.



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tim123 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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