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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Injektive Selbstabbildung
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Autor
Universität/Hochschule J Injektive Selbstabbildung
WagW
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 123
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-24


Hallo zusammen,

folgende Aufgabe:

Sei \(n \in \mathbb{N}\). Zeige, dass jede injektive Selbstabbildung von \([n]\) bijektiv ist -  wobei \([n]:= \{1, 2, ..., n\}\).

Meine Lösung:

Sei $f$ eine beliebige injektive Selbstabbildung und \(\bigcup_{k=1}^n f^{-1}(\{k\})\) die Vereinigung aller Urbilder. Sei \(A_k:=f^{-1}(\{k\})\), also die Menge alle Urbilder von $k$. Es gilt ja per Definition \(\bigcup_{k=1}^n A_k \subseteq [n]\). Genauso gilt aber \(\bigcup_{k=1}^n A_k \supseteq [n]\), da ich \(f\) ja auf jedes Element in \([n]\) anwenden kann und damit alle Elemente in \([n]\) Urbilder sind.

Also gilt \(\bigcup_{k=1}^n A_k = [n]\) und \(\vert \bigcup_{k=1}^n A_k \vert = n\). Da alle \(A_k\) disjunkt sind gilt \(\sum_{k=1}^n \vert A_k \vert = n \) (dies haben wir schon in der VL bewiesen). Da \(f\) injektiv ist enthält jedes \(A_k\) höchstens ein Element. Damit aber \(\sum_{k=1}^n \vert A_k \vert = n \) erfüllt ist, muss jedes \(A_k\) genau ein Element enthalten, was ja nichts anderes als die Surjektivität von \(f\) bedeutet. Daher ist \(f\) bijektiv.

Ist das so korrekt?

viele Grüße
WagW



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StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3345
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-25


Hallo WagW,
das ist so korrekt und funktioniert auch für Abbildungen zwischen endlichen Mengen mit gleicher Anzahl von Elementen, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Bijektive_Funktion#Eigenschaften.

Viele Grüße,
  Stefan



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WagW
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 123
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-25


Danke Stefan,

viele Grüße
WagW



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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1630
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-25

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

rein formal stimmt es aber noch nicht:
2019-08-24 22:21 - WagW im Themenstart schreibt:
Sei $f$ eine beliebige injektive Selbstabbildung und \(\bigcup_{k=1}^n \{f^{-1}(k)\}\) die Vereinigung aller Urbilder. Sei \(A_k:=\{f^{-1}(k)\}\).
Du meinst sicherlich $A_k:= f^{-1}(k)$, was eine abkürzende Schreibweise für $f^{-1}(\{k\})=\{m\in[n]\mid f(m)\in\{k\}\} = \{m\in[n]\mid f(m)=k\}$ ist. $\{f^{-1}(k)\}$ ist hingegen eine einelementige Menge, die $f^{-1}(k)$ enthält.
\(\endgroup\)


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WagW
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 123
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-09


Hi Nuramon,

ich habe Deine Anmerkung in meinen Anfangspost eingebaut, Danke!

viele Grüße
WagW



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3858
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-10


Du kannst es auch so machen:

Sei $X$ eine endliche Menge und $f : X \to X$ injektiv. Die Verkettungen $f^0,f^1,f^2,\dotsc$ sind nicht paarweise verschieden, weil es nur endlich viele Abbildungen $X \to X$ gibt. Also gibt es $k<n$ mit $ f^k = f^n$, also $f^k \circ \mathrm{id} = f^k \circ f^{n-k}$. Nutzt man die Injektivität von $f^k$ aus, folgt hieraus $\mathrm{id} = f^{n-k}$. Also ist $f$ bijektiv mit Umkehrabbildung $f^{n-k-1}$.

Mit derselben Methode kann man beweisen, dass jede surjektive Abbildung $f : X \to X$ bereits bijektiv ist.

Verallgemeinerung: Sei $\mathcal{C}$ eine Kategorie und $X \in \mathcal{C}$ ein Objekt, für das $\mathrm{End}_{\mathcal{C}}(X)$ endlich ist. Dann ist jeder Monomorphismus $X \to X$ bereits ein Isomorphismus. Und aus dem Dualitätsprinzip folgt, dass das auch für Epimorphismen der Fall ist.



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weird
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Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4966
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-09-11


Ich würde jetzt auch sagen, dass in der Beweisführung im Startposting die einfache Grundidee in einem Wust von Formalismus "erstickt" wurde. Diese besteht einfach darin, dass in einem endlichen Monoid (und die Menge aller Selbstabbildungen einer endlichen Menge $X$ ist ja bezüglich $\circ$ ein solches) links- oder rechtsseitig kürzbare Elemente auch schon invertierbar sind.



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-16


2019-09-11 09:29 - weird in Beitrag No. 6 schreibt:
Ich würde jetzt auch sagen, dass in der Beweisführung im Startposting die einfache Grundidee in einem Wust von Formalismus "erstickt" wurde.

Der Beweis in Beitrag 0 ist einfach ein anderer Beweis als der, der über Kürzbarkeit argumentiert.



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