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Mathematik » Kombinatorik & Graphentheorie » Rekursive Zahlenfolge
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Kein bestimmter Bereich Rekursive Zahlenfolge
AThimet
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-27


Hallo beisammen!

Gibt es eine geschlossene Formel zur Berechnung von P(x,y), das folgendermaßen rekursiv definiert ist:
P(x,y) = P(x-1,y) + P(x, y-1)
mit P(x,0) = 0
und P(0,y) = 1

Hier ein paar Werte:
        x  | y: 0     1     2     3     4     5     6     7     8     9
        ---+-----------------------------------------------------------
        0  |          1     1     1     1     1     1     1     1     1
        1  |    0     1     2     3     4     5     6     7     8     9
        2  |    0     1     3     6    10    15    21    28    36    45
        3  |    0     1     4    10    20    35    56    84   120   165
        4  |    0     1     5    15    35    70   126   210   330   495
        5  |    0     1     6    21    56   126   252   462   792  1287
        6  |    0     1     7    28    84   210   462   924  1716  3003
        7  |    0     1     8    36   120   330   792  1716  3432  6435
        8  |    0     1     9    45   165   495  1287  3003  6435 12870
        9  |    0     1    10    55   220   715  2002  5005 11440 24310

Danke!
Tony



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 5175
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-27


Hallo AThimet und willkommen auf dem Matheplaneten!

Das sieht doch sehr nach Binomialkoeffizienten aus.

Siehe auch: Pascal'sches Dreieck



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-08-27


P(x,y)=Binomial[y, x]

für x=6 die Zahlenfolge
A000579

usw...

explizit kann man auch schreiben:
Binom(x,y)=Gamma[1 + x]/(Gamma[1 + x - y] Gamma[1 + y])

und für x & y reelle und komplexe Zahlen verwenden.




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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-27


P(x,y) = P(x-1,y) + P(x, y-1)

P(x+1,y)=P(x,y) + P(x+1+y-1)... weitere bilden und ausrechnen und dann .... SP



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hyperG
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Mitteilungen: 767
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-28


Hier noch die Quelle zur lange bekannten "Identität",
nur dass jemand bei P(x,y) die Argumentenreichenfolge vertauscht hat:
Binomial identities

Binomial[n, k] + Binomial[n, k + 1] == Binomial[n + 1, k + 1]
Reihenfolge tauschen & Index um 1 verringern:
Binomial[n, k] = Binomial[n-1, k-1] + Binomial[n-1, k]

Achtung, die Startwerte sind anders:
zwar ist
Binom(x,0) = 1, ABER
Binom(0,y) = sin(Pi * y)/(Pi * y) und nicht wie bei P(x,0) = 0

außerdem verschiebt sich pro Zeile der Index, was man so kompensieren kann, damit beide absolut identisch sind:



Der Sonderpunkt 0,0  ist nicht EINDEUTIG in der Anfangs-Definition, ob nun 0 oder 1 sein soll!!!!



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