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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Nicht-triviale Lösungen und Matrixprodukte
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Universität/Hochschule Nicht-triviale Lösungen und Matrixprodukte
Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-01


Ich habe eine Frage. Ich soll zeigen, ob die Aussage wahr oder falsch ist.
Seien A,B zwei invertierbare nxn Matrizen. Wenn das homogene lineare Gleichungssystem Ax=0 eine nicht triviale Lösung hat, so hat auch das lineare Gleichungssystem (BA)x=0 eine nicht triviale Lösung.

Meiner Meinung nach ist die Aussage war.
Ax=0 hat eine nicht triviale Lösung, d.h. x ist nicht der Nullvektor.
Dann ist (BA)x'= B(Ax')=0
und wie kann ich jetzt zeigen, dass auch x' nicht null ist?




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-01

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo Bibi90,

ich kann irgendwie nicht so recht glauben, dass die Aufgabe so lautet wie oben: wenn A eine invertierbare \(nxn\)-Matrix ist, bedeutet das doch eben genau, dass das LGS \(Ax=0\) eine eindeutige und damit in diesem Fall triviale Lösung besitzt.

Kann es sein, dass du die Eigenschaft invertierbar hier irgendwie selbst versehentlich ins Spiel gebracht hast?


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Matrizenrechnung' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-01


Oh ja stimmt, da bin ich wohl verrutscht. Es sollen A,B zwei nxn Matrizen sein. Der Rest müsste so stimmen



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-01

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

nichttriviale Lösungen bedeuten hier ja, dass die Matrix A jedenfalls keinen vollen Rang hat. So, Frage: kann \(rang(B\cdot A)>rang(A)\) sein?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-01


Es ist rang(BA)=rang(AB)< min{rang(A),rang(B)}.
Da man über den rang(B) nur weiß dass er kleiner oder gleich n ist gilt min{rang(A),rang(B)}= rang(A) und da rang(A)<n gilt muss auch rang(BA)<n sein und damit besitzt (BA)x auch eine nichttriviale Lösung.

Stimmt das so?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-01

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

der von dir verwendete Teil der Sylvester-Ungleichung ist nicht ganz richtig, das muss

\[rang(AB)\le\min(rang(A),rang(B))\]
heißen.

Der Rest deiner Argumentation ist aber völlig falsch gelaufen. Mit \(rang(A)< n\) und \(rang(B)\le n\) sollte es aber nicht allzu schwierig sein, eine saubere Argumentation zu basteln. Denn die Grundidee, also \(rang(BA)<n\) zu zeigen, die ist natürlich richtig.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-01


Ok dann auf ein Neues: Sei rang(A)<n und rang (B)<=n
Dann ist rang(BA)<=min{rang(A),rang(B)} = rang(A)<n oder
rang(BA)<=min{rang(A),rang(B)} = rang(B)<= n
Insgesamt gilt also
rang(BA)<n.

Stimmt es so?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-01

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

nein, noch nicht ganz. Machen wir es mal verbal: Der Rang des Produkts \(BA\) ist kleinergleich dem Minimum der Ränge von \(A\) und \(B\). Wir wissen, dass \(rang(A)<n\). Ist \(rang(B)=n\) dann folgt \(rang(BA)<n\), im anderen Fall ebenso. Was zu zeigen war.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-01


Ok dann muss ich also eine Fallunterscheidung machen. Ich versuche es nochmal schriftlich:
A besitzt eine nichttriviale Lösung, also ist Rang(A)<n
1. Fall:
Sei Rang (B)=n. Dann gilt:
rang(BA)<=min{rang(A),rang(B)} = rang(A)<n

2.Fall:
Sei Rang(B)<n. Da rang(A)<n muss auch rang(BA)<n sein Dann gilt:
rang(BA)<=min{rang(A),rang(B)} <= n

stimmt das so?

Und kann ich den Beweis dann auch äquivalent anwenden um zu zeigen, dass ABx=0 eine nichttriviale Lösung besitzt?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-09-01

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

2019-09-01 18:51 - Bibi90 in Beitrag No. 8 schreibt:
Ok dann muss ich also eine Fallunterscheidung machen. Ich versuche es nochmal schriftlich:
A besitzt eine nichttriviale Lösung, also ist Rang(A)<n
1. Fall:
Sei Rang (B)=n. Dann gilt:
rang(BA)<=min{rang(A),rang(B)} = rang(A)<n

2.Fall:
Sei Rang(B)<n. Da rang(A)<n muss auch rang(BA)<n sein Dann gilt:
rang(BA)<=min{rang(A),rang(B)} <= n

stimmt das so?

Fast alles richtig. Nur am Ende muss es ebenfalls wieder \(\min(rang(A),rang(B)) < n\) heißen.

2019-09-01 18:51 - Bibi90 in Beitrag No. 8 schreibt:
Und kann ich den Beweis dann auch äquivalent anwenden um zu zeigen, dass ABx=0 eine nichttriviale Lösung besitzt?

\(BA\) ist die Koeffizientenmatrix von \(BAx=0\) mit \(rang(BA)<n\), wie wir jetzt wissen. Also besitzt das LGS nichttriviale Lösungen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-01


Danke für deine Hilfe!! Das hab ich jetzt so echt verstanden.

Und um zu zeigen dass (AB)x =0 nichttriviale Lösungen besizt kann ich gleich vorgehen oder? Also wenn ich wieder weiß, dass Ax=0 nichttriviale Lösungen hat.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-09-01

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

ja. die Lage ist jetzt etwas anders, denn du musst schon mit dem LGS \(Bx=0\) beginnen, und das kann nach Voraussetzung immerhin eindeutig lösbar sein - also nur die triviale Lösung besitzen. Aber die Überlegung zum Rang von \(AB\) läuft ähnlich ab, und das Resultat ist dann natürlich ebenfalls wieder \(rang(AB)<n\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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