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Lineare Algebra » Eigenwerte » Jordan-Normalform
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Autor
Universität/Hochschule J Jordan-Normalform
PiJey100
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Dabei seit: 16.03.2019
Mitteilungen: 34
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-03


Wunderschönen guten Nachmittag :)


Ich habe ein kleines Problem zur folgenden Aufgabe:



Zu a):
Charakteristische Polynom ist gerade:

Die zugehörigen Eigenwerte lauten damit:

mit jeweils algebraischer Vielfachheit 1 für a nicht Null
Und die zugehörigen Eigenvektoren dann:

Mit jeweils geometrischer Vielfachheit 1

Damit ist die Matrix für alle a nicht Null diagonalisierbar, denn für den Fall a = 0 gilt:
Eigenwerte sind -1 mit algebraischer Vielfachheit 3, sowie lauten die zugehörige Eigenvektor

Mit geometrischer Vielfachheit 1
Und damit stimmt die algebraische Vielfachheit nicht mit der geometrischen Vielfachheit überein.


Damit ist die Diagonalmatrix gerade der Spann der Eigenvektoren:




Zu b) und c):
Die beiden Aufgabenstellungen implizieren dass imaginäre Eigenwerte vorliegen, was ja auch tatsächlich für a < 0 der Fall ist, weswegen ich mir unsicher bin ob meine a) richtig ist.

Wenn ich den Fall für a < 0 betrachte erhalte ich aber zwei WEITERE Eigenwerte, was aber nicht möglich ist weil diese Matrix keine 5 Eigenwerte besitzen kann?!



Hoffe dass mir da jmd diesbezüglich helfen kann, denn wenn mir nicht klar ist welche die imaginären Eigenwerte sind, kann ich ja auch schlecht die zugehörigen (reelle) Jordan-Normalform bestimmen..




Grüße

PiJey

P.S: Rechnungen wurden von Wolfram Alpha überprüft und sollten stimmen



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PiJey100
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-05


Kann mir da jemand weiterhelfen?

Bin echt am verzweifeln :(


Grüße

PiJey



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Creasy
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Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 373
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-05


2019-09-03 15:19 - PiJey100 im Themenstart schreibt:
Die zugehörigen Eigenwerte lauten damit:


Das sind nur die Eigenwerte, wenn $a\geq 0$ ist. Falls $a<0$ ist, so zerfällt das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren, und die Matrix ist damit nicht diagonalisierbar. An dieser Stelle wird nämlich eigentlich noch im reellen gerechnet und dort kannst du nicht $\sqrt{a}$ für $a<0$ hinschreiben.


Damit ist die Matrix für alle a nicht Null diagonalisierbar, denn für den Fall a = 0 gilt:
Für $a<0$ ist das nicht der Fall.


Damit ist die Diagonalmatrix gerade der Spann der Eigenvektoren:

Die Matrix, die du hier hinschreibst, ist die Basiswechselmatrix. Die Diagonalmatrix besteht aus den Eigenwerten auf der Diagonalen. Deine hingeschriebene Matrix hat ja auch keine Diagonalgestalt?


Zu b) und c):
Die beiden Aufgabenstellungen implizieren dass imaginäre Eigenwerte vorliegen, was ja auch tatsächlich für a < 0 der Fall ist, weswegen ich mir unsicher bin ob meine a) richtig ist.

Wenn ich den Fall für a < 0 betrachte erhalte ich aber zwei WEITERE Eigenwerte, was aber nicht möglich ist weil diese Matrix keine 5 Eigenwerte besitzen kann?!

.Du hast nun für $a>0$ festgestellt, dass die Matrix diagonalisierbar ist. Für $a<0$ zerfällt das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren. Daher kann auch hier keine reelle Jordansche Normalform existieren. Für $a=0$ gibt es diese allerdings, die sollst du in $b)$ bestimmen.

Für c) bleibt dann noch der Fall $a<0$. Wie du auf fünf Eigenwerte kommst, versteh ich hier aber nicht. Die Eigenwerte sind $-1$ und $-1 \pm i\sqrt{-2a}$ (-2a ist wieder positiv, wenn a negativ ist). Hierfür sollst du die komplexe Jordansche Normalform bestimmen.
Zumindest würde ich vermuten, dass man sich hier bei c) in der Aufgabenstellung vertan hat, und eigentlich meinte: Geben Sie für .. die komplexe Jordansche Normalform an (anstatt reell).

Das ist so nicht richtig. Ich kannte den Begriff "relle Jordansche Normalform" nicht. Hier ein Link.

Beste Grüße und weiterhin viel Erfolg
Creasy


-----------------
Smile (:



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Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 373
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-05


Ich habe meinen Post geändert, da ich den Begriff einer reellen Jordanschen Normalform nicht kannte. Damit du via Email benachrichtigt wirst und um es eventuell besser zusammenzufassen, hier nocheinmal von vorne:

Das Vorgehen ist also wie folgt: Berechne das charakteristische Polynom $\chi(\lambda) = 2a\lambda + 2a -\lambda^3 -3\lambda^2 -3\lambda -1$ und versuche dies in Linearfaktoren zu zerlegen. Es ist $\chi(\lambda) = - (\lambda + 1)( (\lambda +1)^2 -2a)$. Der zweite Term ist für $a\geq 0$ zerlegbar. Daher existiert hier die Jordannormalform (fällt unter b) ). Für $a>0$ sind die Linearfaktoren alle verschieden, daher ist die Matrix sogar diagonalisierbar. Für $a=0$ hast du gezeigt, dass es nur einen Eigenvektor gibt, und dass die geometrische Vielfachheit hier eins beträgt. Damit stimmen algebraische und geometrische Vielfachheit nicht überein, die Matrix ist also nicht diagonalisierbar. Da aber das charakteristische Polynom für $a\geq 0$ zerfällt gibt es eine Jordannormalform. Diese lässt sich direkt hinschreiben.

Nun zur Korrektur von c): In dem oben erwähnten Link findest du ein Vorgehen, wie die reelle Jordannormalform anhang von dem charakteristischen Polynom $-(\lambda + 1 ) ((\lambda +1 )^2 -2a)$ bestimmt wird. Hierbei ist zu beachten, dass $(\lambda + 1) ^2 - 2a $ für $a<0$ irreduzibel ist.

Beste Grüße
(und sorry für die eventuelle Verwirrung)
Creasy



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PiJey100
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-05


Alles klar dann weiß ich bescheid, danke :D



Grüße

PiJey



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PiJey100 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
PiJey100 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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