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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Aus Nullstellen ein Polynom konstruieren
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Universität/Hochschule J Aus Nullstellen ein Polynom konstruieren
Lui
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-03





Hallo ihr Lieben,
ich lerne gerade für eine lineare Algebra Klausur und komme einfach nicht von dieser Aufgabe los. Vielleicht könnt ihr mir ja die Augen öffnen!:
Seien \(\mathbb{K} \) ein Körper, V ein n-dimensionaler
\(\mathbb{K} \)-Vektorraum;\(\sigma\in End_{\mathbb{K}}(V) \)
 und \(A \in\mathbb{K}^{n\times n}\). Ist \(f\in\mathbb{K}[x]
 \) ein Polynom mit \(f(x):=\sum\limits_{i=0}^m a_i*x^i\), dann definieren wir \(f(\sigma)=\sum\limits_{i=0}^m a_i\sigma^i\) und \(f(A)=\sum\limits_{i=0}^m a_i A^i\)
Nun zur Aufgabe:
Seien \(V:=<cos,sin>\subseteq\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\) und \(\sigma:V\to V\) gemäß \(\sigma(g)=g'\), wobei \(g'\) die erste Ableitung von g bezeichne.
Finden Sie ein nichttriviales Polynom \(f\in\mathbb{R}\) mit \(f(\sigma)=0\).

Man möchte hier also das ich \(\sigma\) als Nullstellen dieses Polynoms betrachte?
Leider scheitere ich hier schon an der Interpretation möchten man mir hier sagen, dass \(\sigma\) nur die Werte \(-\sin\) bzw. \(cos\)
annehmen kann?
Meine erste Idee war es zu sagen wir setzten \(f(\sigma)=\sum a^i*\sigma\)=0 und schauen nun wann die Werte \(-\sin\) bzw. \(cos\) Null werden... Aber wie definiere ich mir dann mein \(a_i\), sodass es aufgeht?? Oder ist dieser Ansatz komplett falsch gedacht?
Ich freue mich über jede Hilfe!
LG
Lui




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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-03


2019-09-03 16:01 - Lui im Themenstart schreibt:
Man möchte hier also das ich \(\sigma\) als Nullstellen dieses Polynoms betrachte?
Du sollst ein Polynom finden, für das $\sigma$ eine Nullstelle ist.


Leider scheitere ich hier schon an der Interpretation möchten man mir hier sagen, dass \(\sigma\) nur die Werte \(-\sin\) bzw. \(cos\)
annehmen kann?
Nein, auch Linearkombinationen davon.

Schau dir mal $f(\sigma)$ für einige einfache Polynome an, z.B. Monome $f(x)=x^n$. Schau dir $n=0,\ldots, 4$ an. Fällt dir etwas interessantes auf?



[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von ligning]


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⊗ ⊗ ⊗



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Lui
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-03


Also wenn ich von \(f(x)=x\) ausgehe, bekomme ich \(f(\sigma)=\sigma\), und so weiter, hier müsste ich ja nur das entsprechende x auf 0 setzen...
Heißt das ich muss mich mit den Nullstellen der Sinus- und Cosinus-Funktion auseinander setzen?



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-03


Du musst dich damit auseinandersetzen, was das Verhalten von $\sigma^n$ ist. Beispiel: $\phi = 4\cos - 3\sin$ ist ein Element von $V$. Was ist $\sigma(\phi)$? Was ist $\sigma^2(\phi)$? Usw.



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Lui
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-03


2019-09-03 16:36 - ligning in Beitrag No. 3 schreibt:
Du musst dich damit auseinandersetzen, was das Verhalten von $\sigma^n$ ist. Beispiel: $\phi = 4\cos - 3\sin$ ist ein Element von $V$. Was ist $\sigma(\phi)$? Was ist $\sigma^2(\phi)$? Usw.

Dann wär \(\sigma(\phi)=-4\sin-3\cos\), also die erste Ableitung. Wenn  ich \(\sigma\) quadriere, wird auch mein \(\phi\) quadriert, also \(\sigma^2(\phi)=16*\frac{1}{2}(1-\cos)+9*\frac{1}{2}(1+cos)=4-4\cos+\frac{9}{2}+\frac{9}{2}\cos\). Gehe ich in die nächst höhere Potenz bleibt mein \(\sin\) allerdings ein \(\sin\) wie kann ich diesen Wechsel mit berücksichtigen?



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-03


2019-09-03 16:58 - Lui in Beitrag No. 4 schreibt:
Dann wär \(\sigma(\phi)=-4\sin-3\cos\), also die erste Ableitung. Wenn  ich \(\sigma\) quadriere, wird auch mein \(\phi\) quadriert, also \(\sigma^2(\phi)=16*\frac{1}{2}(1-\cos)+9*\frac{1}{2}(1+cos)=4-4\cos+\frac{9}{2}+\frac{9}{2}\cos\).
Das kann ich nicht ganz nachvollziehen  confused Was rechnest du denn da? Einfach quadriert hast du es jedenfalls nicht ...

Vielleicht ist dir nicht klar, dass $\sigma^2 = \sigma\circ\sigma$ bedeutet, also die mehrfache Hintereinanderausführung von $\sigma$? Was ist denn die 2. Ableitung von $\phi$?



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Lui
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-03


2019-09-03 17:05 - ligning in Beitrag No. 5 schreibt:

Das kann ich nicht ganz nachvollziehen  confused Was rechnest du denn da? Einfach quadriert hast du es jedenfalls nicht ...

Vielleicht ist dir nicht klar, dass $\sigma^2 = \sigma\circ\sigma$ bedeutet, also die mehrfache Hintereinanderausführung von $\sigma$? Was ist denn die 2. Ableitung von $\phi$?

Ich hab mich wohl gerade selbst ins Aus gegoogelt.... Das war mir leider nicht so klar... Also muss ich hier wohl immer die Ableitung der Ableitung bestimmen?
Wär das hier der bessere Ansatz:
\(\sigma^2(\phi)=-4\cos+3\sin\) und dann
\(\sigma^3(\phi)=4\sin+3\cos\),
\(\sigma^4(\phi)=4cos-3\sin\), damit wären wir ja wieder in der Ausgangsgleichung ^^'



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-03


Hallo!

Da das noch nicht abgehakt wurde, scheinst du nicht weiterzukommen?
Der Ansatz ist gut.
Du hast $\sigma^4(\phi) = id(\phi)$. Schaffst du vielleicht auch $\sigma^4 = id$ auf $V$?

Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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Lui
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-03


2019-09-03 21:23 - Creasy in Beitrag No. 7 schreibt:
Hallo!

Da das noch nicht abgehakt wurde, scheinst du nicht weiterzukommen?
Der Ansatz ist gut.
Du hast $\sigma^4(\phi) = id(\phi)$. Schaffst du vielleicht auch $\sigma^4 = id$ auf $V$?

Grüße
Creasy
Wie genau meinst du das, also soll ich versuchen das allgemeiner zu fassen? Ich könnte ja sagen \(f(x)=x^4\), dann würde ja bei \(f(\sigma)=id\) rauskommen, oder bin ich falsch?
Und dann muss ich ja noch gucken wie ich das auf 0 setzen kann?
Ich hab mich glaube ein bisschen in den ganzen Definitionen verloren....



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-09-03


Falls du mit "allgemeiner" die Aussage: Kannst du $\sigma^4 = id$ auf $V$ zeigen   meinst, dann ja. Bisher hast du ja genau genommen nur für ein explizites $\phi \in V$ nachgerechnet, dass $\sigma^4(\phi) = id (\phi)$ ist.

Ja damit ist für das Polynom $f(x) = x^4$ also $f(\sigma)=\sigma^4 = id$. Das ist also noch nicht das gesuchte Polynom. Vielleicht hilft dir ja $id = \sigma^0$ weiter.

Grüße
Creasy

(du bist nah am Ziel :) )

Edit: Vielleicht hast du vergessen, was $V$ ist. $V$ ist der von Sinus und Cosinus erzeugte $\mathbb{R}$-VR. Um also zu zeigen, dass $\sigma^4 = id$ auf $V$ ist, genügt es zu zeigen, dass für alle $a,b\in \mathbb{R}$ bereits $\sigma^4(a \sin + b\cos) = a\sin + b\cos$ ist.
(Es würde auch genügen, $\sigma^4(cos)$ und $\sigma^4(sin)$ auszurechnen).



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Lui
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-03


2019-09-03 22:37 - Creasy in Beitrag No. 9 schreibt:
Falls du mit "allgemeiner" die Aussage: Kannst du $\sigma^4 = id$ auf $V$ zeigen   meinst, dann ja. Bisher hast du ja genau genommen nur für ein explizites $\phi \in V$ nachgerechnet, dass $\sigma^4(\phi) = id (\phi)$ ist.

Ja damit ist für das Polynom $f(x) = x^4$ also $f(\sigma)=\sigma^4 = id$. Das ist also noch nicht das gesuchte Polynom. Vielleicht hilft dir ja $id = \sigma^0$ weiter.

Grüße
Creasy

(du bist nah am Ziel :) )

Vielen Dank für die schnelle Antwort, ja so war das gemeint. Wenn ich jetz von \(id=\sigma^0\) ausgehe habe ich ja im Falle \(f(x)=x^0=1\) damit müsste ich doch nur noch ein -1 einbauen und würde auf die langersehnte 0 kommen(\(f(x)=id(x)-1\), so vielleicht?), oder ist das zu einfach gedacht?



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-09-03


2019-09-03 22:44 - Lui in Beitrag No. 10 schreibt:
(\(f(x)=id(x)-1\), so vielleicht?), oder ist das zu einfach gedacht?

Das ist etwas zu einfach gedacht. $f$ soll ja ein Polynom mit Koeffizienten in $\mathbb{R}$ sein, also sowas wie $f(x) = x^2-1$ oder so. Du wolltest vermutlich $f(x) = id - 1$ setzen, aber das liefert kein Polynom.

Ein nächster Versuch: Wiederholung: $\sigma^4 = id = \sigma^0$



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Lui
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2019-09-03 22:49 - Creasy in Beitrag No. 11 schreibt:

Ein nächster Versuch: Wiederholung: $\sigma^4 = id = \sigma^0$, mal mit einem $x$ ausgedrückt: $x^4 = 1 (= x^0)$


Dann also \(x^4-1\) sollte doch dann 0 ergeben?
Ich glaube ich stehe ein wenig auf dem Schlauch ^^'



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-09-03


Jau :)

$f(x) = x^4 -1$  tut es. Wenn du hier $\sigma$ einsetzt, ist $f(\sigma) =\sigma^4 - 1\cdot \sigma^0 = \sigma^4 - id = 0$.

Rechne das ruhig noch einmal von vorne durch und frage gerne nach.



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Lui
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-03


2019-09-03 22:55 - Creasy in Beitrag No. 13 schreibt:
Jau smile

$f(x) = x^4 -1$  tut es. Wenn du hier $\sigma$ einsetzt, ist $f(\sigma) =\sigma^4 - 1\cdot \sigma^0 = \sigma^4 - id = 0$.

Rechne das ruhig noch einmal von vorne durch und frage gerne nach.
Uff,
da habe ich es mir wohl doch komplizierter gemacht als es eigentlich hätte sein sollen,
viele lieben Dank für Eure Hilfe und Geduld!!!  smile



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