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Analysis » Differentiation » Differentialquotient und die eigentliche Bedeutung
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Universität/Hochschule Differentialquotient und die eigentliche Bedeutung
eu271828
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 04.09.2019
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-04


Guten Tag,

Ich bin Student mittleren Semesters und bin über folgendes gestolpert: Letztens sollte ich jemandem erklären was genau die Ableitung ist, bzw diese angibt und dachte eben sofort an Steigung. An der Universität wird mithilfe der Ableitung das Problem der Definition der Tangente gelöst, wohingegen in der Schule von einer Art "Punktsteigung" gesprochen wird. Nun habe ich mich aber nie gefragt, ob der Begriff Steigung der Funktion f oder gar "Punktsteigung"/Steigung in der "Nähe" überhaupt stimmt oder gerechtfertigt ist. Hat der Ausdruck f'(x0)=2 eine Bedeutung außerhalb der Tangentensteigung? Der Zusammenhang mit der Tangentensteigung als Grenzwert der Sekantenfolge ist mir bewusst. Betrachte ich nämlich den Differentialquotienten, so ist dies ja der Grenzwert von den Sekantensteigungen für beliebig klein werdende Abstände von x und x0. Nun muss ja aber dabei rein theoretisch erstmal keine Steigung rauskommen (Grenzwert kann nicht existieren etc.). Ein anderes Beispiel: Hat man eine Folge von Brüchen die gegen Pi konvergiert, so ist der Grenzwert ja auch kein Bruch, also müsste der Grenzwert von Steigungen zunächst ja nicht unbedingt eine Steigung sein. Ich hoffe es wird deutlich, was mein Problem ist. Meine Vermutung wäre nun, dass man die Ableitung als Vergleichswert heranziehen kann, um zu sehen, welchem Wert sich die Steigung in der "Nähe" annähert, und diesen mit anderen Werten vergleichen kann. Ist der Grenzwert hoch, so müssen ja die Werte in der unmittelbaren Umgebung ebenso vergleichsweise hoch sein. Um meine Frage vielleicht etwas zu konkretisieren, geht es mir darum welche Interpretation ich genau aus dem Differentialquotienten ziehen kann und welche eben mathematisch ungenau ist oder sogar nicht stimmt.

Falls meine Problematik noch nicht ganz deutlich geworden ist, hier noch ein anderes Beispiel: In der Ökonomie wird der Begriff der Punktelastizität meines Wissens nach als f'(x0)*x0/y0 definiert, was der Grenzwert der Elastizitäten zwischen zwei Punkten ist. Doch Welche Aussagekraft hat das dann wirklich? Im Prinzip habe ich durch die Höhe des Werts der Punktelastizität ja nur eine Antwort auf die Frage: "Wogegen konvergieren die Elastizitäten für beliebig klein werdenden Abstand von x zu x0?" und könnte damit vielleicht verschiedene Punktelastizitäten vergleichen. Die einzige Interpretation die mir das jedoch liefert, ist doch folgende : in der "Nähe" von x0 konvergieren die Nähern die Elastizitäten sich einem höheren Wert an, als in der "Nähe" von x1.

Ich hoffe alles von mir gesagte ist korrekt und nicht allzu verwirrend. Vielen Dank im voraus!



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1951
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-04


Hallo eu271828 und herzlich Willkommen hier auf Matroids EulerMatheplanet!  wink

Hm, schon in der Schule verwendet man ja den Begriff der momentanen Änderungsrate. Und der sagt ja eigentlich auf der sprachlichen Ebene schon einiges aus über das Wesen des Differentialquotienten. Wenn wir mal eindimensionale Funktionen der Zeit betrachten, etwa irgendwelche Wachstumsvorgänge: dann sagt der Differentialquotient aus, wie sich in einem einzigen betrachteten Moment die Änderung der betrachteten Größe verhält. Und dem entspricht dann eben in der Geometrie genau die Tangentensteigung, die sicherlich (vor allem bei Leibniz) bei der Entwicklung der Analysis, insbesondere der Schreibweisen, als Veranschaulichung eine große Rolle gespielt hat.

Zu den ökonomischen Anwendungen kann ich leider nichts sagen, das ist bei mir (viel zu) lange her...


Gruß, Diophant  


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Differentiation' von Diophant]



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eu271828
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 04.09.2019
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-04


Hallo Diophant,

zunächst danke für deine Antwort! Der ökonomische Teil sollte ohnehin nur ein zusätzliches Beispiel sein, also alles gut. Ich frage mich allerdings, warum der Begriff der lokalen/momentanen Änderung bzw. der Änderung bei unendlich kleinen Abständen von x zu x0 berechtigt ist. Wenn ich nämlich den Grenzwert bilde, für x gegen x0, so wird dieser Abstand ja "beliebig/unendlich klein" und man schaut sich an, zu welchem Wert (dem Grenzwert, falls existent) der Abstand beliebig klein wird. Dann hätte ich allerdings in der beliebig kleinen Umgebung noch einen Abstand zwischen dem Grenzwert und den Wert den ich anschaue, zwar einen beliebig kleinen, aber dennoch existenten. Falls ich mich täusche, dann tut es mir leid, allerdings ist das der Gedanke, der mich bei dem Begriff stört.

Viele Grüße,

eu271828



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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1630
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-04

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

ich bin mir nicht sicher, ob die Frage richtig verstehe, aber hilft dir folgende Sichtweise?
Mit der Ableitung bestimmt man die beste lineare Approximation an eine Funktion. (Stichwort: Totale Differenzierbarkeit)

Affin lineare Abbildungen $\IR\to \IR$ sind wiederum durch ihre Steigung und einen Funktionswert festgelegt. Insofern gibt also die Ableitung die Steigung der besten linearen Approximation an.
\(\endgroup\)


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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1951
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-04


Hallo nochmal,

2019-09-04 14:46 - eu271828 in Beitrag No. 2 schreibt:
...Wenn ich nämlich den Grenzwert bilde, für x gegen x0, so wird dieser Abstand ja "beliebig/unendlich klein" und man schaut sich an, zu welchem Wert (dem Grenzwert, falls existent) der Abstand beliebig klein wird. Dann hätte ich allerdings in der beliebig kleinen Umgebung noch einen Abstand zwischen dem Grenzwert und den Wert den ich anschaue, zwar einen beliebig kleinen, aber dennoch existenten...

Nun, was ist schon existent? wink

Vielleicht hilft dir folgender historische Verweis (ich habe gerade keine Zeit, nach Quellen zu suchen): Leibniz selbst hat ja die Differentiale sinngemäß so erklärt haben, dass sie "unendlich klein, aber von Null verschieden" seien.

Der Witz an der Sache ist der, dass man eigentlich genaugenommen an dieser Sichtweise bis heute herumdoktert. Und letztendlich ist genau dieses Problem - zumindest meines Wissens nach - der Ausgangangspunkt für all das, was man heutzutage unter dem Oberbegriff Non-Standard-Analysis so macht.

Du bist mit deiner Frage also durchaus in (illustrer) Gesellschaft.  smile


Gruß, Diophant



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eu271828
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 04.09.2019
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-04


Danke für eure Antworten!

Hallo Nuramon,
soweit ich das richtig verstehe, beschreibst du den Zusammenhang zwischen Ableitung und Tangentensteigung. Dieser war aber leider nicht die Antwort auf meine Frage, danke trotzdem für die Erklärung.

Hallo Diophant,
also verstehe ich das richtig, dass der doch sehr geläufige Begriff der "Punktsteigung" bzw. "lokalen Änderung/Steigung" der soweit ich weiß in der Physik, Ökonomie sowie zahlreichen Schulbüchern verwendet wird, umstritten ist? Ich finde das etwas unbefriedigend, wenn er dann so oft benutzt wird. Ich für meinen Teil muss sagen, dass ich momentan nicht mit dem Begriff klar komme, bzw. die Rechtfertigung nicht sehe, ihn also durchaus ungenau finde.

Falls eine weitere Rechtfertigung bekannt ist, so würde ich mich natürlich sehr über eine Erklärung freuen, da dieser Begriff wie gesagt ja doch sehr häufig benutzt wird, gerade in der Schule. Bisher sehe ich allerdings in der Ableitung der Funktion nicht mehr als die Steigung der Tangente in dem Punkt.

Viele Grüße,

eu271828



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1951
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-09-04


Hallo,

2019-09-04 19:00 - eu271828 in Beitrag No. 5 schreibt:
Hallo Diophant,
also verstehe ich das richtig, dass der doch sehr geläufige Begriff der "Punktsteigung" bzw. "lokalen Änderung/Steigung" der soweit ich weiß in der Physik, Ökonomie sowie zahlreichen Schulbüchern verwendet wird, umstritten ist? Ich finde das etwas unbefriedigend, wenn er dann so oft benutzt wird. Ich für meinen Teil muss sagen, dass ich momentan nicht mit dem Begriff klar komme, bzw. die Rechtfertigung nicht sehe, ihn also durchaus ungenau finde.

Doch, natürlich liefert die Ableitung die exakte Tangensteigung. Außerdem kann ich die obigen Begriffe so aus der Schulmathematik nicht bestätigen (heißt: ich habe noch nie erlebt, dass das so benannt wurde). Definitiv verwendet wird in der Schule wie schon gesagt der Begriff der momentanen Änderungsrate.

Vielleicht suchst du da ja auch nach Anschaulichkeit, wo es keine solche gibt. Das ist nunmal Mathematik, und Mathematik ist abstrakt. Nicht umsonst wurde das Konzept erst Ende des 17. Jahrhunderts so weit entwickelt, wie wir es heute kennen.

Was ich oben gemeint hatte war nicht der Differentialquotient, sondern die Differentiale jeweils für sich betrachtet. Da kann man etwas flapsig so tun, als wären beide gleich Null und man sagt dann halt etwa "man dividiert bei der Ableitung Null durch Null und der Grenzwert ist die Ableitung". Oder etwas in der Art. Es sollte klar sein, dass das nicht zufriedenstellend und nicht wissenschaftlich exakt ist.

Und das ist eben die Frage, an der bis heute in Form der Nichtstandard-Analysis weitergeforscht wird.

2019-09-04 19:00 - eu271828 in Beitrag No. 5 schreibt:
Falls eine weitere Rechtfertigung bekannt ist, so würde ich mich natürlich sehr über eine Erklärung freuen, da dieser Begriff wie gesagt ja doch sehr häufig benutzt wird, gerade in der Schule. Bisher sehe ich allerdings in der Ableitung der Funktion nicht mehr als die Steigung der Tangente in dem Punkt.

Vielleicht identifizierst du einfach Funktionen zu stark mit ihren Graphen? Versuche einmal, schon die Funktion als rein abstraktes Gebilde anzusehen. Dann wird das Verständnis für den Begriff 'momentane Änderungsrate' vielleicht einfacher.


Gruß, Diophant



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eu271828
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-04


Hallo Diophant,

dass die Ableitung die Tangentensteigung liefert ist mir bewusst. Den Begriff der momentanen/lokalen Änderungsrate kenne ich auch aus der Schule/Büchern. Momentane Änderung untersucht doch, wie sich bei minimaler Änderung von x0 die Funktion ändert und ist eben als der Differentialquotient definiert. Wie bereits gesagt, würde das für mich bedeuten, dass dieser Wert, bei minimaler Änderung von x0 auch minimal vom Grenzwert abweichen müsste, weshalb ich eben diese Definition nicht verstehe. Würde man diesen minimalen Unterschied zum Grenzwert vernachlässigen, so würde ich mit der Definition übereinstimmen, aber ich wüsste nicht, warum man das einfach so tun kann.

Viele Grüße,

eu271828



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-09-04

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

wie gesagt: du hängst zu sehr an der Alltagsbedeutung der Begriffe. Betrachte mal die momentane Änderungsrate als potentielle Änderung.

Du betrachtest ja eben nur den einen Punkt und das ist diese 'Änderung' eben etwas abstraktes, etwas was so sein könnte. Im nächsten Moment wird es in der Regel wieder anders sein.

Wie gut kennst du dich mit Differentialgleichungen aus? Betrachte einmal gewöhnliche DGLen 1. Ordnung und überlege, wie sie zustande kommen.

Was sagt bspw. die DGL

\[y'=k(S-y)\]
aus bzw. warum beschreibt sie für geeignete Werte \(k, S\) einen beschränkten Wachstums- bzw. Zerfallsvorgang?

Wenn man sich viel mit Anwendungen beschäftigt, stößt man oft (aber nicht immer) auf folgendes Prinzip: wenn man eine gegebene Größe durch eine Funktion beschreiben kann, dann ist die direkt verursachende Größe genau die erste Ableitung.

Die Zusammenhänge rund um Funktion und Ableitung gehen also weit über die Bedeutung der Ableitung als momentane Änderungsrate/Tangentensteigung hinaus.

2019-09-04 19:44 - eu271828 in Beitrag No. 7 schreibt:
...Wie bereits gesagt, würde das für mich bedeuten, dass dieser Wert, bei minimaler Änderung von x0 auch minimal vom Grenzwert abweichen müsste, weshalb ich eben diese Definition nicht verstehe. Würde man diesen minimalen Unterschied zum Grenzwert vernachlässigen, so würde ich mit der Definition übereinstimmen, aber ich wüsste nicht, warum man das einfach so tun kann.

Das ist vielleicht dein eigentlicher Denkfehler: da gibt es nichts, was abweichen kann, denn man betrachtet ja nur einen isolierten Punkt.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-09-04


2019-09-04 19:00 - eu271828 in Beitrag No. 5 schreibt:
Danke für eure Antworten!

Hallo Nuramon,
soweit ich das richtig verstehe, beschreibst du den Zusammenhang zwischen Ableitung und Tangentensteigung. Dieser war aber leider nicht die Antwort auf meine Frage, danke trotzdem für die Erklärung.

Ich wollte vor allem auf diesen Punkt eingehen:

Betrachte ich nämlich den Differentialquotienten, so ist dies ja der Grenzwert von den Sekantensteigungen für beliebig klein werdende Abstände von x und x0. Nun muss ja aber dabei rein theoretisch erstmal keine Steigung rauskommen (Grenzwert kann nicht existieren etc.). Ein anderes Beispiel: Hat man eine Folge von Brüchen die gegen Pi konvergiert, so ist der Grenzwert ja auch kein Bruch, also müsste der Grenzwert von Steigungen zunächst ja nicht unbedingt eine Steigung sein.
Wenn man die Definition der Ableitung durch die totale Differenzierbarkeit formuliert, dann ist die Ableitung nämlich kein Grenzwert von irgendeinem Prozess, sondern eine Funktion mit einer ganz bestimmten Eigenschaft (nämlich die "beste" lineare Näherung an der gegebenen Stelle zu sein).
Diese Eigenschaft sagt insbesondere anschaulich aus, dass die Ableitung die "Steigung in dem Punkt" angibt. Oder verwendest du eine konkrete Definition von "Steigung" auf die deine Frage bezogen ist?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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eu271828
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-04


Hallo Diophant,

vielleicht ist auch einfach meine Definition der lokalen Änderung falsch, aber wenn sie so ist, wie oben genannt, dann ändert sich bei minimaler Änderung doch durchaus etwas. Der Grenzwert untersucht doch, welchem Ausdruck der Differenzenquotient "beliebig nah" kommt, falls x dem Wert x0 "beliebig nah" kommt. Hat man nun einen beliebig kleinen aber dennoch existenten Abstand zu x0, so müsste doch selbiges für den Abstand vom Differenzenquotienten zum Grenzwert gelten - ich erreiche ihn ja nie, genauso wie ich x0 nie erreiche.

Hallo Nuramon,

ich weiß jetzt was du meinst, genau diese Eigenschaft ist ja durch die Tangente gegeben. Auch hier: vielleicht verstehe ich den Begriff "lokale Änderung" falsch. Nennt man dies nun doch die "Steigung im Punkt"? Und wenn ja, ist dies so, weil eben dieser Punkt auf der Tangente liegt und diese stets konstante Steigung, also auch "in dem Punkt" hat?

Ich scheine wohl etwas auf dem Schlauch zu stehen, tut mir leid.

Viele Grüße,

eu271828



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
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Hallo nochmals (ganz kurz),

vergiss doch mal die Umgebung um die fragliche Stelle, und vergiss den ganzen Weg bis zur Grenzwertbildung.

Dann fallen deine ganzen Einwände weg - und übrig bleibt vielleicht eine Ahnung der Bedeutung der Ableitung, auf die du dann deine weiteren Überlegungen aufbauen könntest.


Gruß, Diophant



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