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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Komplexe Zahlen » Ist √(-1) = i?
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Universität/Hochschule J Ist √(-1) = i?
mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-05


Hi zusammen,

Wir wissen, dass i^2 ≔ -1, darüber besteht Konsens. Aber was ist i? Viele sagen, i  = ±√(-1). Manche sagen, man könne i nicht definieren. Ich denke folgendes darüber:                                      
Ja, i^2 ist -1, aber das darf man nicht als Gleichung sehen und ganz trocken auflösen, dann kommt nämlich i = ±√(-1) raus. Das wären dann die Lösungen dieser Gleichung, aber ich finde, i, die imaginäre EINheit, sollte nur EINen Wert haben. Ich sehe i^2 = -1 als EIGENSCHAFT von i. Ich sehe es so: i = √(-1). Die Gleichung x^2 = -1 hat dann die Lösungen i und -i. Es würde keinen Sinn machen, wenn i zwei Werte hätte, allein schon wegen der Beschriftung der „y-Achse“ der Gaußschen Zahlenebene.
Analogon: Wir definieren uns eine mysteriöse Zahl ԅ mit der Eigenschaft ԅ^2 = 4. Das heißt aber NICHT, dass ԅ 2 UND -2 ist, sondern ԅ ist ENTWEDER 2 ODER -2. Dann hat die Gleichung x^2 = 4 die Lösungen ԅ und -ԅ.

Also: Ist i = √(-1) oder nicht?

Ist vielleicht eher ein Diskussionsanstoß als 'ne Frage...


LG und Danke schonmal
M. Hipp :-)



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Benutzertheo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-05


Hi M. Hipp,

ich finde das mit i immer die positive Wert zu verstehen ist
da das plus minus nur für reelle Zahlen zu nehmen ist.

Grüße



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mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-05


Wie meinst du das genau? :-)



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-05


Hi,

vielleicht hilft dir die Riemannsche Zahlenkugel beim Verständnis von i. Der Wikiartikel ist aber realtiv kurz.

Gruß, Slash

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-05


Was ist daran bloß so schwierig.
Ich benutze mal Deinen Text, nur mit der reellen Einheit statt der imaginären, die ich mal "a" nenne, und schon wird Dir alles selbstverständlich vorkommen.
2019-09-05 13:58 - mhipp im Themenstart schreibt:
Wir wissen, dass a^2 ≔ 1, darüber besteht Konsens. Aber was ist a? Viele sagen, a  = ±1. Manche sagen, man könne a nicht definieren. Ich denke folgendes darüber:                                      
Ja, a^2 ist 1, aber das darf man nicht als Gleichung sehen und ganz trocken auflösen, dann kommt nämlich a = ±1 raus. Das wären dann die Lösungen dieser Gleichung, aber ich finde, a, die reelle EINheit, sollte nur EINen Wert haben. Ich sehe a^2 = 1 als EIGENSCHAFT von a. Ich sehe es so: a = √1. Die Gleichung x^2 = 1 hat dann die Lösungen a und -a. Es würde keinen Sinn machen, wenn a zwei Werte hätte, allein schon wegen der Beschriftung der „x-Achse“.

Ciao,

Thomas



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mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-05


Also habe ich das jetzt richtig verstanden, dass i eine der beiden Lösungen ist und die andere dann eben -i? :-)



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-09-05


Verstehst Du Deine eigene Aussage nicht? Ich habe extra Deinen text verwendet. :-)

Ich denke, wir sind uns einig, dass $\sqrt[3]8=2$ ist. Trotzdem ist $2$ nicht die einzige Lösung in $\mathbb C$ der Gleichung $x^3=8$. Es ist einfach nicht das gleiche. Verwechsle nicht Zahlen mit Lösungen einer Gleichung.
$i$ ist eben eine Einheit, nicht die Lösung einer Gleichung.

Ciao,

Thomas



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mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-05


Ich verstehe meinen Text schon, nur bin ich mir momentan nicht ganz sicher, was du mir mit der abgewandelten Version sagen willst :-)

Ich fasse mich kurz: Sqrt(-1) = i, genauso wie a = 1, richtig? :-)

(Man könnte natürlich auch argmentieren, dass sqrt(-1) = -i, das ist ja der Witz dabei, aber ich denke mal, die gängigen Definitionen (?) sagen sqrt(-1) = i.



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-09-05


Ich versuche Dir die ganze Zeit klar zu machen, dass Du Dir die Frage bei den reellen Zahlen gar nicht stellst, obwohl dort sinngemäß genau das gleiche "Problem" besteht. Das tust Du nur deshalb nicht, weil in den reellen Zahlen selbstverständlich und normal ist, dass die Einheit 1 ist, und nicht -1. Warum dann nicht die gleiche Selbstverständlichkeit bei i? Du kreierst ein Problem, wo keines ist.

Ciao,

Thomas



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mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-05


Ok, dann erstmal danke für die Antwort.

Warum ich ein Problem ,kreiere'? Hier die Antwort:
www.youtube.com/watch?v=xoEvlmZkNcg

Er, sagt kein Mathematker würde sagen, dass sqrt(-1) = i.
Fand ich persönlich nicht korrekt und wollte deshalb hier im Forum mal mehrere Meinungen einholen :-)


Edit: In dem Video wird z.B. gesagt, dass sqrt(-1) für Stress mit der Produktregel für Wurzeln sorgen würde. Das ist z.B. (wie ich finde) falsch, da man diese Regel nur für a,b>0 beweisen kann. Man kann also nicht erwarten, dass was Gescheites rauskommt, wenn a,b<0...



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mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-05


Klar ist es in den reellen zahlen eindeutig, weil da die Definition jeder akzeptiert: sqrt(x) ist die positive Lösung (k) von k^2=x. Wenn x=0, ist sqrt(x)=0. Einfach.

i ist eine ganz andere Sache und da hab ich im Internet einfach keinen klaren Konsens gefunden, siehe der Link ;-)



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-09-05

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Betrachte den Unterring $\C\colon\defeq \set{\pmatrix{a & c\\ b & d}\in \sc{M}_{2\tm 2}(\R)}{c+b=0,a-d=0}$ von $\sc{M}_{2\tm 2}(\R)$. Setze $\bb{1}\colon\defeq \pmatrix{1&0\\0&1}$ $\bb{i}\colon \defeq \pmatrix{0 &-1\\ 1&0}$. Dann ist $\C$ ein Körper und $i^2=-1$. Jedes Element hat die Form $a\pt \bb{1}+b\pt \bb{i}$.
Und jetzt will mal jemand behaupten $i$ existiert nicht?
Ich kann jetzt einfach $i\colon \defeq \bb{i}$ setzen.

Hoffe das hilft.

Alternativ kann man einfach $i$ als eine Nullstelle der Gleichung $X^2+1=0$ definieren$.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]


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"No talent, only hard work"
\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
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2019-09-05 15:21 - mhipp in Beitrag No. 9 schreibt:
Ok, dann erstmal danke für die Antwort.

Warum ich ein Problem ,kreiere'? Hier die Antwort:
www.youtube.com/watch?v=xoEvlmZkNcg

Er, sagt kein Mathematker würde sagen, dass sqrt(-1) = i.
Fand ich persönlich nicht korrekt und wollte deshalb hier im Forum mal mehrere Meinungen einholen :-)


Edit: In dem Video wird z.B. gesagt, dass sqrt(-1) für Stress mit der Produktregel für Wurzeln sorgen würde. Das ist z.B. (wie ich finde) falsch, da man diese Regel nur für a,b>0 beweisen kann. Man kann also nicht erwarten, dass was Gescheites rauskommt, wenn a,b<0...

In der Zahlentheorie untersucht man ständig Ringe wie $\Z[\sqrt{-5}]$. Ich sehe kein Problem darin $i=\sqrt{-1}$ zu schreiben. Nur weil es für Verwirrung sorgen kann ist diese Schreibweise doch nicht falsch. Wenn man weiß was man tut sehe ich kein Problem.

Man darf halt nicht auf $-1=i^2=\sqrt{-1}\pt \sqrt{-1}\overset{???}{=}\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$ reinfallen, aber es gibt auch keinen Grund dazu. $\sqrt{a}\pt \sqrt{b}=\sqrt{ab}$ gilt erstmal nur für positive Zahlen.
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wessi90
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Richtig ist, man muss mit Wurzeln aufpassen, wenn man auf $\mathbb{C}$ arbeitet. Wenn man aber die übliche Definition von $\sqrt{z}$ nutzt, dann ist $i=\sqrt{-1}$. Siehe Wikipedia für mehr Informationen und der konkrete Definition.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]



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MontyPythagoras
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@mhipp: Das entscheidende sagt der Genosse im Video bei 1:04. Dass die Taschenrechner beim Wurzelziehen diejenige Winkelhalbierende nehmen, die zur positiven reellen Achse einen kleineren Winkel aufweisen, ist vermutlich Konvention unter den Taschenrechner-Herstellern. Davon bekomme ich aber keine Kopfschmerzen, denn, oh Wunder, auch das negative dieses Wertes ist Lösung der Gleichung. Und daher noch einmal eindringlich: nicht "Zahlen" mit "Lösungen von Gleichungen" verwechseln! (Siehe meinen Beitrag #6).

Ciao,

Thomas

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]



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Okay, danke euch allen, dann kann ich ja in Zukunft i ohne Sorgen sqrt(-1) nennen :-)



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Buri
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Hi mhipp,
deine Frage wurde schon hier beantwortet.
Gruß Buri



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