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Mathematik » Zahlentheorie » Reziprozitätsgesetze, warum relevant?
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Autor
Universität/Hochschule J Reziprozitätsgesetze, warum relevant?
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 542
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-06 09:25


Hallo,
so wie ich es mitbekommen habe sind die (quadratischen, kubischen, ...) Reziprozitätsgesetze eins der wichtigsten Resultate der algebraischen Zahlentheorie und man strebt immer Verallgemeinerung davon an.
-Aber was macht diese Gesetze so wichtig?
-Kann man Problemstellungen damit lösen, wenn ja welche (etwa dass eine bestimmte Gleichung keine Lösung haben kann in den ganzen Zahlen)?
-Geben die Beweise einen tieferen Einblick in die Zahlentheorie und andere Gebiet?
-Gibt es ähnliche relevanten Resultate in der Zahlentheorie?

Danke für eure Antworten.

Red_



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-06 09:50


Nun, z.B. zeigt man damit leicht, dass 3 kein quadratischer Rest, und damit Erzeuger der multiplikativne Gruppe modulo Fermat-Primzahlen ( >3 ) ist, also ein schneller Primzahltest für Fermat-Zahlen ist, ob
<math>3^{\tfrac{F_n-1}{2}} \equiv -1 \pmod{F_n}</math>
ist.

Dies fällt mir als eine von vielen Anwendungen ein. Es ist einfach ein gutes Werkzeug, da man die Eigenschaft, quadratischer (Nicht-)Rest zu sein, recht einfach dadurch berechnen kann.

Cyrix



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qwertzusername
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.06.2015
Mitteilungen: 1315
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-06 09:58


Hallo,

eine der Fragestellungen mit denen sich die algebraischen Zahlentheorie beschäftigt ist die Lösbarkeit diophantischer Gleichungen, d.h. polynomiellen Gleichungen mit Koeffizienten aus den ganzen Zahlen.

Eine quadratische Gleichung ist genau lösbar wenn die Diskriminante ein Quadrat ist (macht man in der Schule im Fall der reellen Zahlen).
Damit kann man mittels quadr. Reziprizitätsgesetz relativ schnell bestimmen ob eine quadratische Gleichung modulo p (bzw. sogar beliebiges m) lösbar ist.
Und ja, aus den Löösungen modulo p kann u.U. auf ganzzahlige Lösungen zurückgeschlossen werden (Lokal-Global-Prinzip)

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4952
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-06 10:21


Das quadratische Reziprozitäsgesetz verwendet man u.a. für eine effiziente Berechnung des Jacobi-Symbols, welches seinerseits für verschiedene Primzahltests und Faktorisierungsverfahren eingesetzt wird und damit für Zwecke der modernen Kryptographie von großer Bedeutung ist.



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Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 542
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-06 22:23


Irgendwie hauen mich die Antworten nicht um.
Es muss doch irgendetwas ''krasses'' noch geben, es wird ja nicht immer umsonst erwähnt, dass bestimmte Personen die Reziprozitätsgesetze verallgemeinern (wie etwa Peter Scholze es getan hat).



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kurtg
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Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1188
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-11 16:12


Eine Motivation: Das Artinsche Reziprozitätsgesetz (Klassenkörpertheorie, Verallgemeinerung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes) übersetzt sich in eine Gleichheit von Hecke-L-Reihen und 1-dimensionaler Artinscher L-Reihen. Die Holomorphie aller Artinscher L-Reihen für nichttriviale irreduzible Galoisdarstellungen folgte aus der Langlands-Vermutung.*) Für höherdimensionale Schemata ist der Modularitätssatz auch als die Gleichheit der Hasse-Weil-L-Funktion abelscher Varietäten vom GL_2-Typ mit der L-Funktion einer Neuform äquivalent. Letztere ist offensichtlich holomorph, daher auch nichttrivialerweise die erstere.**) Das erlaubt überhaupt erst die Formulierung der Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung. Bei (Taylor-)Wiles wird ausgehend von einer Galoisdarstellung mit auflösbarem Bild (in GL_2(IF_3)), für deren Modularität verwendet man Langlands-Tunnel und Klassenkörpertheorie, bewiesen, dass alle hinreichend guten Lifts modular sind. Das hat bekanntlich weitreichende Konsequenzen.  ;)

Einführungen:
*) Neukirch, Ansichten über die Langlands-Vermutung.
**) Diamond-Shurman



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Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 542
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-11 20:49


Danke kurtg, ich bin immer wieder erstaunt von deinem Wissen.
Ich habe auf Stackexchange hier auch sehr gute Antworten gesehen, falls jemand das lesen möchte.

Red_



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Saki17
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Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 612
Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-22 22:35


Hallo Red,

ich hatte eine ähnliche Frage wie deine. Nach Hinweis auf "math stackexchange" habe ich einen Artikel www.jstor.org/stable/2317083 gefunden - mit Titel "What is a Reciprocity Law?" Die Sichtweise dieses Artikels zur Frage ist wohl nicht so modern wie kurtgs Antwort. Aber m.M.n. wäre er auch eine gute (und zugängliche) Einführung in die Thematik.

Mitbekommen habe ich noch das Buch von Franz Lemmermeyer: www.mathi.uni-heidelberg.de/~flemmermeyer/rec.html , ich würde es aber erst später einlesen.



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Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 542
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-22 23:30


Hi Saki,
vielen Dank für deine Antwort. Ich werde mir das Skript demnächst durchlesen und das Buch eventuell mal bald aufschlagen :)

Red_



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Red_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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