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Universität/Hochschule Prädikatenlogik in natürlicher Sprache
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-07


Hallo,

ich hätte eine Frage bezüglich von Formulierungen der nat. Sprache in Prädikatnelogik.

Es geht mir um die Aussage: Alle Koenige sind Personen.

Nun gibt es ja die Möglichkeit diesen wie folgt zu formulieren.
fed-Code einblenden

Warum aber geht nicht?

fed-Code einblenden

Für die zweite Variante wird oft gesagt, wenn man fuer alle x etwas einsetzt z.b Pferd, dann ist Pferd ist Koenig falsch und Pferd ist Person falsch, damit waere die Aussage nicht fuer alle eingesetzten x richtig und somit falsch.
Dem ist zu entgegenen, dass die zweite Aussage ja nicht fuer alle eingesetzten x richtig sein soll, sondern nur für einen Koenig, der auch eine Person ist, oder nicht? Außerdem besteht bei der ersten Formulieren die Möglichkeit, dass bei jedem beliebig eingesetzten x die Implikation wahr ist. Auch wenn ich eine Person einsetzen würde, die kein König ist, dann wäre die Aussage dennoch wahr. Dann wird auch bezgl. der ersten Formulierung immer gesagt, für das einsetzen eines x, welches dafür sorgt, dass die Prämisse falsch ist, müsse man nicht beachten, da man ja ohnehin nur die richtigen Annahmen interessieren. Vor allem lässt die erste Formulierung zu, auch Implikationen wahr sind wie: Ein Pferd ist eine Person. Wenn das so ist dann sind docch beide Formulierungen gleich? Aber dennoch wird gesagt, sie seien ungleich, warum?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-07


2019-09-07 11:37 - te287 im Themenstart schreibt:
Dem ist zu entgegenen, dass die zweite Aussage ja nicht fuer alle eingesetzten x richtig sein soll ...

Die Aussage "$\forall x.A(x)$" bedeutet aber nunmal, dass $A(x)$ für alle eingesetzten $x$ richtig sein soll.

Du kannst also nicht deine Aussage so hinschreiben und dann sagen "ach, so war das aber gar nicht gemeint".

--zippy



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te287
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-07


Dann stellen sich für mich im Anschluss daran gleich zwei weitere Fragen.

Wenn ich folgenden Satz habe:
Alle Menschen haben eine gemeinsame Aufgabe:

fed-Code einblenden

Dieser Satz ist doch nur dann richtig, wenn man die Annahme trifft, dass sich fuer alle Menschen irgendeine beliebege Aufgabe finden lässt bzw. ein y, welches eingesetzt werden kann, sodass Mensch(x) -> hat(x,y) wahr werden kann, oder nicht? Zweitens bei dieser Formulierung ist doch der Abschnitt
nicht fuer alle x wahr, denn wenn x ein Mensch ist, welcher diese Aufgabe y nicht hat, dann ist doch dieser Teilabschnitt bzw. Teilaussage niemals immer für alle eingesetzten x wahr. Oder muss es durch den Existenzquantor nur fuer genau einen Fall wahr werden? Ich dachte, dass die komplette Aussage fuer nur ein y komplett wahr werden muss, aber die Teilaussage fuer alle x nach wie vor wahr sein muss. Und das ist ja nicht gegeben, wenn ich fuer x einen Menschen einsetze und fuer die Aufgabe irgendeine spezielle, die der eingesetzte Mensch nicht hat. Beispiel x ist Lehrer und y ist als Aufgabe irgendeine beliebige, welche er nicht hat, dann waere das ja von wahr nach falsch gefolgert und somit waere die Teilaussage flasch, da dort aber steht, dass die fuer alle x wahr sein muss kann doch dieser Teilabschnitt nicht korrekt formuliert sein?

Meine zweite Frage zu dem Satz:

Es gibt keinen Hasen, der nicht geliebt wird.

fed-Code einblenden

Hier muss dann fuer alle x die Aussage komplett falsch sein?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-08


2019-09-07 18:10 - te287 in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich dachte, dass die komplette Aussage fuer nur ein y komplett wahr werden muss, aber die Teilaussage fuer alle x nach wie vor wahr sein muss.

Damit $\exists y.A(y)$ wahr ist, muss es mindestens ein $y$ geben, für das $A(y)$ wahr ist. Daran ändert sich auch nichts, wenn in $A(y)$ ein Allquantor für eine andere Variable vorkommt.

In deinem Beispiel muss also $\text{Mensch}(x)\to\text{hat}(x,y)$ für das gerade betrachtete $y$ und alle $x$ wahr sein.

Wichtig ist die Reihenfolge: Erst wird ein bestimmtes $y$ ausgewählt, und dann muss die Aussage für alle $x$ gelten. Es geht nicht darum, dass man zu jedem $x$ ein passendes $y$ finden kann.

2019-09-07 18:10 - te287 in Beitrag No. 2 schreibt:
fed-Code einblenden

Hier muss dann fuer alle x die Aussage komplett falsch sein?

Ich weiss nicht, was du mit "komplett" sagen willst. Richtig ist: $\lnot\exists x.A(x)$ ist wahr, wenn $A(x)$ für alle $x$ falsch ist.



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te287
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-08



Wichtig ist die Reihenfolge: Erst wird ein bestimmtes y ausgewählt, und dann muss die Aussage für alle x gelten.

Ja aber das ausgewählte y muesste in dem schon die gemeinsame Aufgabe sein, die alle Menschen haben, damit dann die Aussage für alle x gilt.

Nehmen wir an die gemeinsame Aufgabe von allen Menschen wäre atmen. Nehme ich jetzt ein anderes y als atmen und setze ein z.B laufen, dannn muss die Aussage aber nicht fuer alle x wahr sein, kann sie ja auch nicht weil Menschen finden werde, die diese Aufgabe nicht haben werden, wodurch die Implikation falsch sein wird, da Mensch(x) wahr und hat(x,y) falsch und dadurch die Implikation falsch sein wird. Setze ich allerdings y ein, dann wird die Aussage auch fuer alle x richtig werden, da die Implikation dann immer wahr sein wird. Ist das so richtig?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-08


2019-09-08 09:09 - te287 in Beitrag No. 4 schreibt:
Wichtig ist die Reihenfolge: Erst wird ein bestimmtes y ausgewählt, und dann muss die Aussage für alle x gelten.

Ja aber das ausgewählte y muesste in dem schon die gemeinsame Aufgabe sein, die alle Menschen haben, damit dann die Aussage für alle x gilt.

Hier vermischt du zwei Ebenen:
* Um festzustellen, ob $A(y)\equiv\text{Aufgabe}(y)\land\forall x.\bigl(\text{Mensch}(x)\to\text{hat}(x,y)\bigr)$ wahr ist, musst du das $y$ einsetzten, das du gerade betrachtest. Für einige $y$ wird ist diese Aussage dann wahr sein, für andere nicht.
* Um festzustellen, ob $\exists y.A(y)$ wahr ist, musst du ein $y$ finden, dass $A(y)$ wahr macht.

2019-09-08 09:09 - te287 in Beitrag No. 4 schreibt:
Nehmen wir an die gemeinsame Aufgabe von allen Menschen wäre atmen. Nehme ich jetzt ein anderes y als atmen und setze ein z.B laufen, dannn muss die Aussage aber nicht fuer alle x wahr sein, kann sie ja auch nicht weil Menschen finden werde, die diese Aufgabe nicht haben werden, wodurch die Implikation falsch sein wird, da Mensch(x) wahr und hat(x,y) falsch und dadurch die Implikation falsch sein wird.

Ja. Das ist also eines der $y$, für die $A(y)$ nicht wahr ist.

2019-09-08 09:09 - te287 in Beitrag No. 4 schreibt:
Setze ich allerdings y ein, dann wird die Aussage auch fuer alle x richtig werden, da die Implikation dann immer wahr sein wird. Ist das so richtig?

Ja. Damit hättest du ein $y$ gefunden, das $A(y)$ wahr macht, und somit hättest du $\exists y.A(y)$ gezeigt.



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te287
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-09-08


Dann fuer das abschließende Verstaendnis:

Ich darf aber nicht: fed-Code einblenden

daraus machen, denn dann waere es möglich, dass wenn ich das y gefunden habe , welches die gemeinsame Aufgabe ist wie im vorherigen Beispiel atmen, dann waere die Aussage aber dennoch nicht fuer alle x wahr z.B wenn ich ein Tier einsetzen wuerde und somit waere es auch nicht fuer ein y wahr und diese Formulierung in Prädikatenlogik nicht richitg. Bzw. es wuerde nicht mehr ein y fuer alle x existieren. Stimmt die Begründung dafür dann so?



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zippy
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2019-09-08 10:51 - te287 in Beitrag No. 6 schreibt:
Ich darf aber nicht: fed-Code einblenden
daraus machen

Genau, diese Formulierung hätte das gleiche Problem, das wir für das Beispiel im Themenstart schon besprochen haben.

In welchem Zusammenhang beschäftigst du dich eigentlich mit der Prädikatenlogik?



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te287
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Vielen Dank, dann hab ich das jetzt verstanden.

Ich benötige das im Zusammenhang mit Prolog.



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