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Mathematik » Geometrie » Einfachste aperiodische Parkettierung?
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Universität/Hochschule Einfachste aperiodische Parkettierung?
Slash
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  Themenstart: 2019-09-07

Hi, ich habe folgende einfache Kacheln konstruiert. Nennen wir sie mal Figur und Blüte. Diese besitzen nur Einheitskanten und die Winkel sind so gewählt (ungleich 144 Grad), dass man mit Figuren allein die Ebene nicht parkettieren kann. Denn dies ginge nur mit 144 Grad Winkeln. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_2tiles_b.png Ohne Substitutionsregel ist eine einfache periodische Parkettierung möglich. Das gilt ja auch für die Penrose Kacheln Drachen und Pfeil, die zusammen eine Raute bilden. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_periodisch.png Doch sobald man an die erste Blüte zwei Figuren setzt, die nicht parallel sind, also mit den Köpfen in die gleiche Richtung zeigen, eribt sich zwanghaft eine 5er-Rotationssymmetrie. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_5stern.png https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_5sternsym.png Die Parkettierung kann man auch so aufbauen, dass die Figuren mit den Köpfen nach innen zeigen. Frage: Ist dies überhaupt eine aperiodische Parkettierung, obewohl das Sternelement nur einmal existiert? Wenn ja, geht es noch einfacher? Gruß, Slash

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Slash
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-07

Kombiniert man Figur und Blüte zu einem Baum, dann ergibt sich mit Baum und Blüte zwingend nur eine mögliche Parkettierung. Diese beiden Kacheln bilden daher ein "aperiodisches Set". Hier dürfen die Winkel sogar 144 Grad betragen. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_trees.png

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Slash
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-07

Hier eine dekorierte Monokachel, die man nur in eine Richtung, also ohne zu drehen oder spiegeln, aneinandersetzen muss. Da die Figur einem Schachköning ähnelt der Name "King", und für die andere Kachel der Name "Ufo". Die Monokachel besteht also aus einem King und drei Ufos. King und Ufo für sich erlauben einfache periodische Parkettierungen, aber auch noch diverse andere. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_decomonotile.png Das Ergebnis ist die aperiodische Parkettierung mit dem einen 5-Stern-Zentrum. Die Kings in Sternrichtung ergeben sich durch die Lücken (gaps) und sind violett gefärbt. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_monoking2.png Wegen der King-Lücken wäre es aber richtiger statt von Monokachel hier von einem Set aus zwei Kacheln (King & Ufo) zu sprechen. Dieses Set selbst ist aber nicht aperiodisch, da auch periodische Parkettierungen möglich sind. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_kingsufosperiodic.png Aber der King selbst kann als "echte Monokachel" benutzt werden, um die Ebene in 5er-Rotationssymmetrie aperiodisch zu parkettieren. Auch hier genügen zwei Kacheln (Kings) in unterschiedlicher Richtung, um die Parkettierung zu erzwingen. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_monoking5star2.png Ob "aperiodisch" hier richtig gewählt ist, sei weiterhin zur Diskussion gestellt. Gruß, Slash

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viertel
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-08

\quoteon(2019-09-07 22:17 - Slash in Beitrag No. 1) Kombiniert man Figur und Blüte zu einem Baum, dann ergibt sich mit Baum und Blüte zwingend nur eine mögliche Parkettierung. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_trees.png \quoteoff Warum sollte sich zwingend nur diese eine Möglichkeit ergeben? In dem von mir umrandeten Teil hast du es doch vorgemacht, wie sich daraus eine ganzer Wald von aufrecht(!) stehenden Bäumen ergibt: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/1781_Einfachste_aperiodische_Parkettierung_243434.png Das Muster kann beliebig so fortgesetzt werden. Oder hast du eine Vorgabe vergessen?

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Slash
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-08

Das Set besteht aus "beiden" Kacheln, nicht nur aus dem Baum. Es muss daher jede Kachel mindestens einmal in der Parkettierung verwendet werden. Mit dem Baum als einzige Kachel hast du natürlich recht.

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Slash
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-08

Es handelt sich wohl wirklich um aperiodische bzw. nichtperiodische Parkettierungen (noch richtiger: quasiperiodisch), wie im folgenden Link gezeigt: Nichtperiodische Fünfeck-Parkettierung Hier das Pendant mit kongruenten Fünfecken und 5er-Rotationssymmetrie. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_5-fold_rotational_symmetry.png Um das "EinStein-Problem" zu lösen, muss aber eine zwingende Aperiodizität vorliegen. Der "King" ist daher auch keine "aperiodische Monokachel".

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Slash
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-15

Korrektur zum Startbeitrag: Die Ebene lässt sich auch mit der Figur (keine 144 Grad Winkel) allein lückenlos parkettieren, aber nur auf zwei Arten. Mit einer 5er-Rotationssymmetrie und als Winkelparkett. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_figur2parkette.png Damit ist auch sofort klar, dass jede Monokachel die eine rotationssymmetrische Parkettierung zulässt, immer auch eine zweite Möglichkeit besitzt. Und dies ist die Parkettierung in den Symmetriebereichen. Die Baum- und Blütekacheln lassen sich noch mit einem regelmäßigen 10-Eck vereinfachen. Dieses Set aus zwei Kacheln besitzt aber nur dieses eine Parkett mit 5er-Rotationssymmetrie. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_baumundbl_te10eck.png

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Hutschi
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  Beitrag No.7, eingetragen 2023-03-24

Es scheint gute Neuigkeiten zu geben. David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, Chaim Goodman-Strauss: An aperiodic monotile, 2023, NewScientist: Mathematicians discover shape that can tile a wall and never repeat, Publikation: https://arxiv.org/abs/2303.10798 Danach wurde ein Stein für die Einstein-Parkettierung gefunden. Es ist allerdings noch nicht Peer-reviewed. Hier ist der Artikel: David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, Chaim Goodman-Strauss: An aperiodic monotile, 2023, NewScientist: Mathematicians discover shape that can tile a wall and never repeat, Publikation: https://arxiv.org/abs/2303.10798 https://de.wikipedia.org/wiki/Problem_der_monohedralen,_aperiodischen_Parkettierung#cite_note-1 Hier ist das Bild einer Kachelung mit einer Kachel. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/25/Smith_aperiodic_monotiling.svg/440px-Smith_aperiodic_monotiling.svg.png PS: Ich hoffe, dass es hier richtig ist.

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PhysikRabe
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  Beitrag No.8, eingetragen 2023-03-24

\quoteon(2023-03-24 15:11 - Hutschi in Beitrag No. 7) Es scheint gute Neuigkeiten zu geben. David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, Chaim Goodman-Strauss: An aperiodic monotile, 2023, NewScientist: Mathematicians discover shape that can tile a wall and never repeat, Publikation: https://arxiv.org/abs/2303.10798 Danach wurde ein Stein für die Einstein-Parkettierung gefunden. Es ist allerdings noch nicht Peer-reviewed. [...] PS: Ich hoffe, dass es hier richtig ist. \quoteoff Dazu gibt es bereits einen Thread: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=261971 Grüße, PhysikRabe

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