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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Integration » Integration im IR^n » Integration über die Oberfläche eines durch Kurven berandeten Gebietes
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Universität/Hochschule Integration über die Oberfläche eines durch Kurven berandeten Gebietes
benjuy
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.08.2017
Mitteilungen: 4
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-08


Einen schönen guten Nachmittag allerseits.

Ich möchte die Gausskrümmung \(K\) über die Oberfläche eines Vierecks \(V\) bestimmen, welches durch 4 Kurven berandet ist beziehungsweise bilden die Bilder der 4 Kurven eine Fläche \(S\). Es will mir einfach nicht so recht einfallen, wie ich dies anstellen könnte.

Die 4 Kurven wären die folgenden:

$\left(2\cos(t),2\sin(t),0\right)~ : ~t\in \left[0,\pi\right]$
$\left(\cos(t),\sin(t),1\right)~ : ~t\in \left[0,\pi\right]$
$\left(t^4-2t^2+2,0,t\right)~ : ~t\in \left[0,1\right]$
$\left(-t^4+2t^2-2,0,t\right)~ : ~t\in \left[0,1\right]$

Die Fläche sieht wie folgt aus:



Geplottet mit Mathematica:
ParametricPlot3D[{{2 Cos[t], 2 Sin[t], 0}, {Cos[t], Sin[t],1}, {x^4 - 2 x^2 + 2, 0, x}, {-x^4 + 2 x^2 - 2, 0, x}}, {t,0, \[Pi]}, {x, 0, 1}]

Ich habe mir überlegt, dass der Auf- und Abgang (Funktionen 3 und 4) doch recht symmetrisch aussehen und die Fläche eigentlich eine Rotation dieser ist. Deshalb könnte ich allenfalls in Funktion 3 $t$ durch $v$ als Variable ersetzen und so eine Parametrisierung erhalten die einer Rotation eines Funktionengraphes um die z-Achse entspricht. Aber so schlüssig wurde ich mir nun doch noch nicht, wie ich denn nun ein Integral über diese Fläche aufstellen kann. :-?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3345
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-14


Hallo benjuy,
eine Oberfläche ist allein durch den Rand nicht eindeutig bestimmt und es ist in dem Fall auch nicht so, dass das gesuchte Integral bei gegebenen Rand unabhängig vom Verlauf der Oberfläche ist: Bei gegebener Kreislinie als Rand ist die Gaußkrümmung Null, wenn man als Oberfläche die Kreisfläche nimmt, und ungleich Null, wenn man eine Halbkugel als Oberfläche nimmt als Beispiel. Du hast aber bereits einen Hinweis gegeben, dass die Oberfläche diejenige sein soll, wenn man den dritten Abschnitt der Randkurve rotiert. Das kann man als Definition der Oberfläche verwenden. Dann kann man deren Gauss- und Totalkrümmung bestimmen (eventuell auch mit dem Satz von Gauß-Bonnet).

Viele Grüße,
  Stefan



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