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Mathematik » Stochastik und Statistik » Fragen zur Binomialverteilung
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Schule Fragen zur Binomialverteilung
mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-10 13:53


Hi,

ich habe ein paar Fragen, stelle aber erstmal nur eine, damit sie nacheinander geklärt werden :-)

Wir würfeln 120 mal mit einem fairen sechsseitigen Würfel.
X:="Anzahl der gewürfelten Sechsen"
E(X) = 120 * 1/6 = 20.
P(X=k) = (n über k)*p^k*(1-p)^(n-k)   [Bernoulli-Formel]

Bei desmos graphing kann man P(X=k) plotten. Man würde ja ein Maximum bei 20 erwarten; schaut man sich nur die natürlichen k an, passt das auch. desmos plottet aber eine Funktion IR -> IR, daher sieht man, dass das Maximum eigentlich bei etwa 19,7 liegt.
Woran liegt das? :-)



Liebe Grüße und Danke schonmal
M. Hipp



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-10 14:07

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo mhipp,

zunächst einmal zur Begriffsklärung: was du hier betrachtest ist eine Binomialverteilung. Es gibt zwar den Begriff Bernoulliverteilung, in der Regel spricht man dabei meist nur von einem Bernoulli-Experiment. Im Prinzip handelt es sich dabei um eine Binomialverteilung mit \(n=1\), also eine einmalige Durchführung eines Zufallsexperiments mit zwei möglichen Ergebnissen.

Zu deiner eigentlichen Frage würde ich spontan sagen (ohne jetzt die von dir erwähnte Seite herauszusuchen): der Plotter hat vermutlich die Binomialverteilung durch eine Gauß'sche Normalverteilung approximiert.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-10 14:25


Hallo,

ok, danke für die Begriffsklärung.

das heißt, das Maximum sollte schon bei 20 sein, das ist einfach dem Runden geschuldet, richig?

Ok, nächste Frage:
2) Hab kein Sigma, sei o(X) die Standardabweichung ;-)
Man schaut sich ja immer gern E(X) +/- o(X) an (sind z.B. übermäßig viele Werte außerhalb dieser Grenzen, kann man z.B. von gezinkten Würfeln ausgehen etc.).
Binomialverteilungen sind ja für gewöhnlich nicht achsensymmetrisch, v.a. nicht mit x=E(X) als Achse. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass X in [E(X)-o(x);E(X)] liegt ist nicht zwingend gleich die W'keit, dass X in [E(X); E(X)+o(X)] liegt, richtig?



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-10 15:30

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

2019-09-10 14:25 - mhipp in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo,

ok, danke für die Begriffsklärung.

das heißt, das Maximum sollte schon bei 20 sein, das ist einfach dem Runden geschuldet, richig?

Ja, richtig. Mit \(P(X=20)\approx 0.0973\)

2019-09-10 14:25 - mhipp in Beitrag No. 2 schreibt:
Ok, nächste Frage:
2) Hab kein Sigma, sei o(X) die Standardabweichung ;-)
Man schaut sich ja immer gern E(X) +/- o(X) an (sind z.B. übermäßig viele Werte außerhalb dieser Grenzen, kann man z.B. von gezinkten Würfeln ausgehen etc.).

Das tut 'man' eigentlich nicht generell, sondern eben aus Symmetriegründen bei normalverteilten Zufallsvariablen.

2019-09-10 14:25 - mhipp in Beitrag No. 2 schreibt:
Binomialverteilungen sind ja für gewöhnlich nicht achsensymmetrisch, v.a. nicht mit x=E(X) als Achse. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass X in [E(X)-o(x);E(X)] liegt ist nicht zwingend gleich die W'keit, dass X in [E(X); E(X)+o(X)] liegt, richtig?

Richtig. Symmetrisch wäre die Binomialverteilung nur im Fall \(p=\frac{1}{2}\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-10 17:53


Ok, mach Sinn.

Und wie geht das dann mit o(X), wenn p nicht 1/2 ist? :-)



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-10 18:13

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

wie meinst du das? Wie man die Standardabweichung der Binomialverteilung berechnet? Das kannst du jeder einigermaßen brauchbaren Formelsammlung entnehmen:  wink

\[\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\]
Hier die Herleitung über die Definition der Varianz.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-10 19:34


Ja, die Formel kenne ich, aber aufgrund der Asymmetrie kann doch o(X) nicht auf beiden Seiten von E(X) gleich sein, oder?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-10 20:09


Hallo,

meinst du mit o(x) immer noch die Standardabweichung?

Falls ja: Varianz und Standardabweichung sind Streuungsmaße, die eben nicht berücksichtigen, in welche Richtung die Daten streuen.

Ich glaube, du solltest dich einmal mit diesem Konzept beschäftigen um einzusehen, dass deine obige Frage keinen Sinn ergibt.


Gruß, Diophant



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mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-10 21:07


o(x) ist nach wie vor die Standardabweichung.

Ja, ein (Streu-)maß, wie genau E(X) ist.

Geht man aber von E(X) in beide Richtungen + 1o(X), dann ist es aufgrund der Asymmetrie nicht gleich wahrscheinlich, dass X>E(X) oder X<E(X), oder nicht?

Aber wir hatten ja gesagt, dass das rechts/links-Vorgehen nur für p=1/2 klappt, aber was bringt mir dann o(X) im genannten Würfelexperiment? E(X) = 20, o(X)=4.
Da für mich bisher, dass 16-24 mal eine Sechs würfeln im Bereich einer Standardabw. liegt, aber das stimmt ja jetzt scheinbar nicht?

Ich bin verwirrt...



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-09-10 22:04

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

heute Abend habe ich leider nicht mehr die Zeit für eine ausführliche Antwort. Daher hier nur einige kurze Anmerkungen:
  • Der Erwartungswert \(E(X)=\mu\) ist kein Streuungsmaß, sondern ein Lagemaß.
  • Die Standardabweichung sagt i.a. nichts darüber aus, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Realisierung der ZV im Intervall \([\mu-\sigma,\mu+\sigma]\) liegt. Das ist eine spezifische Eigenschaft der Normalverteilung.

Ich weiß nicht, was du mit dem angesprochenen Würfelexperiment tun möchtest. Es liest sich aber ein wenig in Richtung eines Hypothesentests.

Wenn du allerdings unbedingt mit einer solchen symmetrischen \(\sigma\)-Umgebung arbeiten möchtest, dann solltest du deine Binomialverteilung zunächst durch eine geeignete Normalverteilung approximieren. Das sollte mit den vorliegenden Parametern kein Problem sein.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-11 07:05


Ok, danke, dann mache ich es heute Abend mal so.
Aber: Was sagt dann die Standardabweichung aus, wenn p ungleich 0.5? :-)



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-09-11 08:48


Hallo nochmals,

2019-09-11 07:05 - mhipp in Beitrag No. 10 schreibt:
Aber: Was sagt dann die Standardabweichung aus, wenn p ungleich 0.5? :-)

ich denke, du hast eine völlig falsche Vorstellung von dem Konzept von Varianz und Standardabweichung.

Die Varianz ist die gemittelte Summe der Quadrate der Einzelfehler. Dieses Konzept zur Beschreibung eines Gesamtfehlers geht auf C. F. Gauß zurück. Es ist jedem anderen Konzept zur Fehlermessung überlegen bis auf einen Punkt: wenn die Messgrößen Einheiten besitzen, dann liefert die Varianz eine Größe, die das Quadrat dieser Einheit als Maßeinheit hat. Das ist der praktische Grund, warum man nun durch Ziehen der Quadratwurzel ein  neues Streuungsmaß 'kreiert': die Standardabweichung. Diese hat dann in der Praxis wieder die gleiche Einheit wie die Messgröße (es gibt aber auch innermathematische Gründe, die die Standardabweichung nahelegen).

Vielleicht hilft dir dieser kurze Gedankengang dabei, einen Denkfehler abzustellen: die Standardabweichung wie die Varianz sagen, als Zahl gesehen, überhaupt nichts aus. Sprich: diese Zahlenwerte haben keine greifbare Bedeutung.

In der Stochastik ist die Standardabweichung vor allem durch die (wichtige) Normalverteilung 'zu Ruhm und Ehre' gekommen, weil sie dort als einer von zwei Parametern dient, über die eine solche Normalverteilung festgelegt wird (viele andere Verteilungen sind schon allein durch ihren Erwartungswert eindeutig bestimmt).

In der Statistik kann man die Standardabweichung natürlich zu Vergleichszwecken heranziehen. Wenn man bspw. im Rahmen einer Qualitätskontrolle die gleiche stichprobenartige Messung regelmäßig durchführt, dann bedeutet ein Anstieg der Standardabweichung, dass die Messgröße damit begonnen hat, stärker zu streuen. Aber auch hier sagt der absolute Zahlenwert nichts aus.

Ich denke, wenn du auf die ganzen Fragen, die du hier gestellt hast, wirklich zielführende Antworten haben möchtest, solltest du zwei Dinge tun:
  • Arbeite dich in das Konzept der Binomialverteilung einmal richtig ein, inkl. der Approximation durch eine Normalverteilung (Satz von Moivre-Laplace).
  • Erläutere dein Würfelexperiment. Also nicht das Experiment, das scheint klar zu sein (120 Würfe, betrachtet wird die Anzahl gefallener Sechsen). Sondern die Fragestellung, mit der du das betrachtest. Diese ist für mich bisher nicht klar geworden.


Gruß, Diophant



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mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-11 16:31


Hallo,

Vielen Dank, das genannte werde ich dann mal durcharbeiten.

Zum Experiment:
Ich wollte eigentlich nur wissen, was die Standardabweichung in diesem Zusammenhang (n=120; k=variabel; p=1/6) aussagt, aber scheinbar nichts, oder? :-)



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-09-11 17:07

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo mhipp,

2019-09-11 16:31 - mhipp in Beitrag No. 12 schreibt:
Zum Experiment:
Ich wollte eigentlich nur wissen, was die Standardabweichung in diesem Zusammenhang (n=120; k=variabel; p=1/6) aussagt, aber scheinbar nichts, oder? :-)

Wenn du den konkreten Wert

\[\sigma=\sqrt{120\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}\approx 4.08\]
meinst, dann nein.

Man kann ja die bekannte Faustregel für die Güte einer Annäherung durch die Normalverteilung mit den enstprechenden Parametern \(\mu=20,\ \sigma=4.08\) einmal durchrechnen:

\[\sigma^2=np(1-p)=\frac{50}{3}\ge 9\]
Also kann man sagen, dass diese Näherung hinreichend gut ist. Damit kannst du schon Pi mal Daumen sagen, dass in knapp 70% der Fälle, in denen man das geschilderte Experiment durchführt, die Anzahl der erzielten Sechsen zwischen 16 und 24 liegen sollte.


Gruß, Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-11 17:28


Von der Aussage her hilft das sehr, aber:

Was genau hat dieses o^2 = ... >/= 9 zu sagen?

Und woher kommen diese 70%?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-09-11 17:37

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

hier mal ein Link zum Zusammenhang zwischen Varianz und Standardabweichung. \(\sigma^2\) ist also die Varianz deiner Binomialverteilung.

Es ist eine Faustregel, dass die Annäherung einer Binomialverteilung durch eine Gauß'sche Normalverteilung als hinreichend gut angesehen wird, wenn \(\sigma^2\ge 9\) ist.

Allerdings (bevor du jetzt nachfragst  wink ): niemand weiß so genau den Ursprung dieser Faustregel, das war hier im Forum über die Jahre auch schon desöfteren Thema, wenn ich mich recht erinnere.

Die \(70\%\) sind eine grob aufgerundete Variante der ca. \(p=68.27\%\), mit der eine normalverteilte Zufallsvariable einen Wert aus dem \(1\sigma\)-Intervall annimmt (darauf wolltest du doch anfangs hinaus).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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