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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Lineares Gleichungssytem
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Universität/Hochschule Lineares Gleichungssytem
shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-10 20:19


Guten Abend :)

ich versuche folgende Aufgabe zu lösen

Gegeben seien die euklidischen Vektorräume R^n und R^p mit dem Standardskalarprodukt und das lineare Gleichungssystem

(G) Ax = b

mit einem b in R^p und einer Matrix A in R^(n,p), deren Zeilen a1, ..., ap linear unabhängig sind (n,p in N). Beweisen Sie:
(a) die Determinante von C := AAT ist positiv, C also invertierbar,
(b) für B := A^TC^–1 ist Bb eine Lösung des Systems (G),
(c) die Spalten von B sind linear unabhängig.

Meine Überlegung zu a)

det (C) = det(AA^T) = det(A)det(A^T) = det(A)det(A)^T= det(A)^2 und das ist echt größer Null da Zeilen von A lin. unab. somit ist det(C) positiv also ungleich 0 und C ist invertierbar

bei b) und c) habe ich leider keine Ahnung




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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-10 21:51


Hi shirox,

es sollte wohl \(C:=AA^{T}\) heißen? In diesem Fall ist dein Beweis bei a) falsch, da det(A) für nicht quadratische Matrizen gar nicht definiert ist. Kennst du den Begriff "positiv definit"?  Falls ja, dann kann man unter Benutzung der linearen Unabhängigkeit leicht zeigen, dass \(y^{T}Cy>0\) für alle \(y \in \mathbb{R}^n\setminus\left\{0\right\}\). Dann kann man die Tatsache benutzen, dass positiv definite Matrizen strikt positive Determinanten haben.

Bei b) setzt man einfach \(x=Bb\) in die Gleichung ein und rechnet sie nach.

Bei c) benutze, dass Spalten von B gerade Zeilen von \(B^{T}\) sind.


lg Wladimir



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-11 12:07


Erstmal vielen Dank für die Antwort

a) Stimmt mein Beweis funktioniert natürlich nur für quadratische Matrizen, also ist er hier falsch, leider weiß ich nicht wie ich zeigen kann, dass C positiv definit ist, bzw wie ich die Eigenschaft der linear unabhängigen Zeilen dazu nutzen kann

b) hab ich jetzt danke

c) muss ich auch noch weiter überlegen da hab ich jetzt erstmal hingeschrieben was B^T ist mit B^T=((A^TC^-1))T= (C^-1)^T*A=(C^T)^-1*A
=(AA^T)^-1*A und hier weiß ich nicht weiter



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-11 12:14


Hi shirox,

zu a)
\(y^{T}Cy=y^{T}AA^{T}y=(A^{T}y)^{T}(A^{T}y)\). Kannst du jetzt den Beweis beenden?

zu c). Die Zeilen von \(B^T\) sind genau dann linear unabhängig, wenn die Matrix injektiv ihr Kern also Null ist. Nehmen wir ein \(y \neq 0\), dann ist aber auch \(Ay\neq 0\), da A injektiv und damit auch \((C^{-1})^TAy\neq 0\), da C invertierbar und damit injektiv.

lg Wladimir



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-11 13:10


Ich hab leider noch keine richtige Idee den Beweis zu beenden, also ich muss jetzt doch die Information benutzen, dass A linear unabhängig ,aber jetzt bin ich etwas verwirrt, kann ich daraus schließen, dass es nur die triviale Lösung hat oder verwechsel ich da jetzt Sachen?
Bzw bringt mir die Information gerade gar nichts?

Ich will ja zeigen, dass (A^Ty)^T(A^Ty)>0
dazu müssen ja  beide Faktoren ungleich 0 sein
und entweder beide echt kleiner 0 oder echt größer



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-11 16:10


Hallo,

es gilt ja \((A^Ty)^T(A^Ty)=<Ay,Ay>=||Ay||^2\ge 0\) mit dem üblichen euklidischen Skalarprodukt. Eine Norm ist nichtnegativ und genau dann Null wenn der Vektor Null ist, andererseits ist A aber injektiv und damit haben wir \(Ay\neq 0\), da \(y \neq 0\) und damit gilt \(||Ay||^2>0\).

lg Wladimir



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-11 18:37


Oh man es tut mir wirklich leid, also ich will mich auch nicht dumm anstellen, aber wieso gilt (A^Ty)^T(Ay)=<Ay,Ay>=||Ay||2≥0

und wenn A injektiv ist bedeutet dass doch, dass der Kern nur aus dem Nullvektor besteht, wieso gilt dann Ay fed-Code einblenden

Sorry vielleicht stehe ich gerade einfach auf dem Schlauch



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-12 09:07


2019-09-11 18:37 - shirox in Beitrag No. 6 schreibt:
Oh man es tut mir wirklich leid, also ich will mich auch nicht dumm anstellen, aber wieso gilt (A^Ty)^T(Ay)=<Ay,Ay>=||Ay||2≥0

Was ist denn die Definition des Skalarprodukts <.,.> und der Norm ||.||2? Mehr braucht man da nicht.



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-12 10:36


Ahh jetzt hab ich es verstanden, das Skalarprodukt ist ja Elementweise multiplizieren und dann addieren und dann ist es ja egal, wenn es Transponiert ist weil es ja nur eine andere Reihenfolge ist



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-09-15 20:31


Ich habe mir die Beiträge #5 und #6 nochmal angesehen und hier fehlen jeweils Transponiert-Zeichen, was mir aber nicht aufgefallen ist, weil man halt gerne genau das sieht, was man zu sehen erwartet.

Richtig ist es so:
$(A^Ty)^T(A^Ty)=<A^Ty,A^Ty>=||A^Ty||^2\ge 0$. Damit brauchst Du auch die (i.A. falsche) Argumentation aus #8 auch nicht mehr.



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