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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Mathematik » Analysis » Grenzwert einer Potenzreihe
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Autor
Universität/Hochschule J Grenzwert einer Potenzreihe
WagW
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Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 123
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-11 01:05


Hallo zusammen,

ich versuche mich an folgender Aufgabe:

Zeige, dass gilt

$\sum^{\infty}_{n=k}n(n-1)...(n-k+1)x^{n-k}=\frac{k!}{(1-x)^{k+1}}$, mit $\vert x\vert < 1 $.


Mein Ansatz:

Ich betrachte zunächst: $\sum^{\infty}_{n=0}x^{n}$, was für alle $ \vert x \vert < 1$ einfach eine geometrische Reihe ist und daher punktweise konvergiert. Weiterhin sind die Partialsummen der Potenzreihe unendlich oft stetig differenzierbar (da alle Summanden bloß Polynome sind). Als nächstes betrachte ich die Potenzreihe, die aus den $k$-mal abgeleiteten Partialsummen besteht: $lim_{m \to \infty}\sum^{m}_{n=0}\frac{d^k}{dx^k}x^{n}=lim_{m \to \infty}\sum^{m}_{n=k}n(n-1)...(n-k+1)x^{n-k}$, da die ersten $k$-vielen Summanden $0$ sind. Um diese Reihe auf punktweise Konvergenz zu untersuchen, benutze ich das Quotientenkriterium, wobei $n \geq k$ gilt und erhalte:

$$lim ~sup_{n\to \infty} \bigg| \frac{(n+1)n(n-1)...(n-k+2)x^{n+1-k}}{n(n-1)...(n-k+1)x^{n-k}}\bigg| =lim ~sup_{n\to \infty}\bigg|\frac{n+ 1}{n-k +1}x\bigg|=x.$$ Der Konvergenzradius $R$ ist dann: $\vert x\vert < 1=:R$, mit $R \in \mathbb{R}$.

Wenn ich jetzt weiß, dass meine Potenzreihe punktweise innerhalb des Konvergenzradius $R$ konvergiert, so wissen wir, dass sie auf jedem kompakten Intervall $[\alpha, \beta] \subseteq ~]-R, +R[$, mit $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ gleichmäßig konvergiert.

Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz dürfen wir Ableitungsoperator und Grenzwert vertauschen: $\sum^{\infty}_{n=0}\frac{d^k}{dx^k}x^{n}=\frac{d^k}{dx^k}\sum^{\infty}_{n=0}x^{n}=\frac{d^k}{dx^k}~lim_{n \to \infty}\frac{1-x^{n}}{1-x}= \frac{d^k}{dx^k}~\frac{1}{1-x}$. Daraus ergibt sich dann per Induktion sofort: $\frac{d^k}{dx^k}~\frac{1}{1-x}= \frac{k!}{(1-x)^{k+1}}$.


Daraus folgt dann aber auch, dass eben nicht für alle $\vert x \vert < 1$ die Aussage gilt, sondern nur für diejenigen $x$ in dem kompakten Intervall, welches ich dann so groß wie möglich wähle. q.e.d.

Ich hoffe das ist jetzt  nicht zu durcheinander, aber vielleicht könnt ihr mir ja sagen was da falsch und was richtig ist an meinem Beweis.

viele Grüße
WagW



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Squire
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Dabei seit: 18.08.2015
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-11 09:55


Servus WagW!
k ist fest, also gilt
$$\lim_{n\to \infty}\bigg|\frac{n+1}{n-k+1}x\bigg|=|x|$$
oder übersehe ich etwas?
Grüße Squire



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WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-11 13:26


Hi Squire,

ja k ist fest, aber ich suche doch das Supremum, also  $$\lim \sup_{n\to \infty}~\bigg|\frac{n+1}{n-k+1}x\bigg|=|x|$$ und nicht einfach den Grenzwert $\lim_{n\to \infty}$.

viele Grüße
WagW



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-11 14:20


Nein, du suchst den Limes superior. Das ist der größte Häufungspunkt einer Folge. Dieser ist offenbar gleich dem Limes, falls der Limes existiert.



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WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-11 14:38


Ah okay, Danke. Da hatte ich wohl etwas falsch verstanden :S. Ich habe das im Anfangspost angepasst. Passt dann der Beweis?



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Kampfpudel
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Mitteilungen: 1595
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-11 15:18


Ja, das passt so.

Zu deinen Bedenken am Ende mit den kompakten Intervallen:

Du musst ja kein kompaktes Intervall in \((-1,1)\) finden, indem jedes \(x\) mit \(|x|<1\) drin liegt, sondern andersrum:

Zu jedem \(x\) mit \(|x|<1\) musst du ein kompaktes Intervall \(I\) in \((-1,1)\) finden, sodass \(x \in I\) gilt. Und das geht ja ohne Probleme



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WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-11 16:40


Aber folgende Aussage wäre doch dann falsch, oder?

$\sum^{\infty}_{n=k}n(n-1)...(n-k+1)x^{n-k}$ konvergiert gleichmäßig auf $M:=\{x \in \mathbb{R} ~\vert ~~\vert x\vert < 1 \}$ mit Grenzwert $=\frac{k!}{(1-x)^{k+1}}$.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-11 19:23


Nach deiner Beweisführung wäre das nicht richtig, aber das ist ja so auch nicht gefragt



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WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-11 19:27


Ah ok, Ich glaube dann hatte ich zu Beginn die Aufgabe einfach falsch verstanden. Danke und viele Grüße
WagW



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