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Mathematik » Zahlentheorie » (paarweise) Teilerfremdheit
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Autor
Universität/Hochschule J (paarweise) Teilerfremdheit
LisaB
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.01.2018
Mitteilungen: 43
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-12


Hallo an alle,

ich habe folgende Frage:

\( \text{Seien }  x,y,z \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \}  \text{ mit } z = x+y. \text{ Dann sind } x,y,z \text{ teilerfremd, d.h. ggT(} x,y,z \text{)}= 1 \text{ genau dann, wenn }  x,y,z \text{ paarweise tellerfremd sind, also ggT(} x,y \text{)}=  \text{ggT(} y,z \text{)} = \text{ggT(} z,x \text{)} = 1 \).

Für jeden Hinweis bin ich sehr dankbar.



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trunx
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 16.08.2003
Mitteilungen: 2867
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-12


hallo lisa,

was hast du denn selbst probiert?

bye trunx


-----------------
das problem des menschen ist nicht, dass er fleisch von tieren isst, sondern dass er für sein wachstum KRIEG gegen alle anderen lebensformen führt. dieser krieg nennt sich (land)wirtschaft, seine ideologische legitimation kultur.



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6220
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-12


Versuche es mal mit den Ansätzen:
a) Angenommen x,y und z hätten einen gemeinsamen Teiler t>1, dann …
für die eine Richtung und
a) Angenommen x und y [die anderen Fälle sind ähnlich] hätten einen gemeinsamen Teiler t>1, dann …
für die andere Richtung.



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LisaB
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.01.2018
Mitteilungen: 43
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-12


\( \text{Angenommen ggT(} x,y,z \text{)} > 1 \text{, dann würde sofort folgen, dass der ggT(} x,y \text{), ggT(} y,z \text{) und ggT(} z,y \text{) echt größer 1 sind und wir erhalten einen Widerspruch.}  \)

\( \text{Für die andere Richtung nehmen wir an, dass } d= \text{ggT(} x,y \text{)} >1  \text{ (die anderen Fälle analog). Dann ist } d \text{ der Teiler von } x \text{ und } y \text{ und damit auch von } x+y = z. \text{ Folglich ist } d = \text{ggT(} x,y,z \text{)} >1 \text{ ,was ein Widerspruch ist.}  \)



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6220
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-12


Ja, genau. So kann man das machen.



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