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Lineare Algebra » Eigenwerte » Aus dem Minimalpolynom die Jordannormalform herleiten
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Universität/Hochschule Aus dem Minimalpolynom die Jordannormalform herleiten
kuckuck3
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 57
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-14


Hallo,

komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Sei \( A\in M_{6 \times 6} (\mathbb{C}) \) eine Matrix mit folgenden Eigenschaften:
1. Das Minimalpolynom von A ist \( m(T) = (T-1)^2(T-2)^3\),
2. Es ist \(dim \ ker(2\cdot I_6 - A) = 1 \)
Bestimmen Sie die Jordannormalform von A.


Ich weiß, dass nach dem Minimalpolynom folgende JNF in Frage kommen:

\( \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix} \)

Ich tippe auf die erste Matrix, habe das aber nur durch Probieren herausgefunden und suche nun einen konkreten Lösungsweg.

Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Viele Grüße
kuckuck 3



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-14


Ich tippe auf die erste Matrix, habe das aber nur durch Probieren herausgefunden und suche nun einen konkreten Lösungsweg.
Das würd ich noch einmal überdenken. Du kannst natürlich \(\ker(2\cdot I_6 - A)\) für beide Matrizen ausrechnen oder(!): Die Dimension des Kerns ist gerade die Dimension des Eigenraums zu $2$ und das ist gleichzeitig die Anzahl der Jordankästchen zum Eigenwert 2...



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Fabi
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Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4503
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-14


Hi kuckuck,

Du kannst für deine beiden Matrizen recht einfach $\dim(\ker(2*I_6-A))$ ausrechnen und dann schauen, welche der beiden Matrizen die zweite Bedingung erfüllt.

Es gibt auch eine allgemeine Aussage, die $\dim(\ker(2*I_6-A))$ und die Anzahl der Jordanblöcke für 2 miteinander verbindet und die ihr vielleicht schon gesehen habt - im Prinzip ist das Ausrechnen des Kerns aber genau der Beweis dafür.

vG,
Fabi



[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
"There would be the mathematical equivalent of worldwide rioting." (P.C.)

Willst du Hamburg oben sehen, musst du die Tabelle drehen.



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kuckuck3
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Dabei seit: 27.10.2018
Mitteilungen: 57
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-14


Aber nach der Aussage

Das würd ich noch einmal überdenken. Du kannst natürlich \(\ker(2\cdot I_6 - A)\) für beide Matrizen ausrechnen oder(!): Die Dimension des Kerns ist gerade die Dimension des Eigenraums zu $2$ und das ist gleichzeitig die Anzahl der Jordankästchen zum Eigenwert 2...

muss es ja dann diese Matrix

\(\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}\)

sein oder? Weil hier ja genau 1 Jordankästchen zum Eigenwert 2 vorkommt.

Oder verstehe ich da was falsch?

Viele Grüße
kuckuck3



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-14


Oder verstehe ich da was falsch?
Mein Fehler. Irgendwie habe ich dim...=2 gelesen und es nicht weiter beachtet. Für dim...=1 ist es natürlich die erste Matrix.



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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 716
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-15


2019-09-14 23:56 - TomTom314 in Beitrag No. 4 schreibt:
Für dim...=1 ist es natürlich die erste Matrix.

Eine $\color{red}1$ würde ich noch streichen:

2019-09-14 22:23 - kuckuck3 im Themenstart schreibt:
\(\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 &\color{red}1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}\)



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kuckuck3
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.10.2018
Mitteilungen: 57
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-15


Ok, dann verstehe ich das soweit.

2019-09-15 00:07 - zippy in Beitrag No. 5 schreibt:

Eine $\color{red}1$ würde ich noch streichen:

Das ist klar, da war ich wohl etwas schlampig.

Könnt ihr mir bitte noch begründen warum die Dimension des Kerns gerade die Dimension des Eigenraums zu 2 ist und das gleichzeitig die Anzahl der Jordankästchen zum Eigenwert 2 ist?



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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1630
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-15


Hallo,

2019-09-15 00:19 - kuckuck3 in Beitrag No. 6 schreibt:
Könnt ihr mir bitte noch begründen warum die Dimension des Kerns gerade die Dimension des Eigenraums zu 2 ist
Das folgt unmittelbar aus der Definition des Eigenraums.


und das gleichzeitig die Anzahl der Jordankästchen zum Eigenwert 2 ist?
Zu jedem Jordankästchen gehört genau ein Eigenvektor in der Jordanbasis.
Überlege dir, wie man an der Jordannormalform die Eigenvektoren (nicht nur die Eigenwerte!) ablesen kann.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-09-15


 die Dimension des Kerns gerade die Dimension des Eigenraums zu 2 ist ...
Der Eigenraum ist die Lösung des LGS $Ax=\lambda x \iff (A-\lambda I)x=0$. Die zweite Gleichung beschreibt gerade $\ker(A-\lambda I)$.

... das gleichzeitig die Anzahl der Jordankästchen zum Eigenwert 2 ist?
Eine Beweisskizze im Schnellvorlauf:

Für eine Blockdiagonalmatrix
$ \varphi_M:\IC^n\to \IC^n, \ M =
\begin{pmatrix}
A & 0 \\
0 & B \\
\end{pmatrix}
$
haben wir $\IC^n=\IC^r\oplus \IC^s$ mit $\varphi_A:\IC^r\to \IC^r; \varphi_B:\IC^s\to \IC^s$, d.h. $A,B$ bleiben jeweils in ihren Unterräumen und wir können für ein $\lambda$ die Eigenräume $E_\lambda(\cdot)$ getrennt berechnen: $E_\lambda(M)=E_\lambda(A)\oplus E_\lambda(B)$, insbesondere addieren sich die Dimensionen. Für ein Jordankästen
$
\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 \\
0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda \\
\end{pmatrix}
$
Ist der Eigenraum zu $\lambda$ gerade der von $(1,0,\ldots)$ erzeugte Unterraum, also dim=1. Beides zusammen ergibt dann $\dim E_\lambda(\cdot)=$Anzahl der Jordankästchen zu $\lambda$.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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kuckuck3
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.10.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-15


Ok, danke euch allen, nun hab ichs verstanden :)

Denkt ihr ich darf das bei dieser Aufgabe einfach so verwenden oder muss ich das beweisen?



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-09-15


2019-09-15 11:22 - kuckuck3 in Beitrag No. 9 schreibt:
Denkt ihr ich darf das bei dieser Aufgabe einfach so verwenden oder muss ich das beweisen?
Grundsätzlich ja. Es gehört auf jeden Fall zum nützlichen Wissen über JNFs.



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kuckuck3 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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