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Analysis » Topologie » Warum ist die Menge 0<=arg(z)<=pi/4 weder offen noch abgeschlossen?
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Universität/Hochschule Warum ist die Menge 0<=arg(z)<=pi/4 weder offen noch abgeschlossen?
Karankos99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-16


Hallo,

ich habe gelesen, dass die Menge $ \{z|0 \leq arg(z) \leq \frac{\pi}{4}\} $, $(z \neq 0)$ weder offen, noch abgeschlossen ist. Ich habe sie mir auch schon aufgemalt.
Aber warum gilt sie als weder offen noch abgeschlossen?




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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-16


2019-09-16 01:25 - Karankos99 im Themenstart schreibt:
ich habe gelesen, dass die Menge $ \{z|0 \leq arg(z) \leq \frac{\pi}{4}\} $, $(z \neq 0)$ weder offen, noch abgeschlossen ist. Ich habe sie mir auch schon aufgemalt.
Aber warum gilt sie als weder offen noch abgeschlossen?

Betrachte z.B. mal den Punkt $z=1$ in deiner Menge. Ist das deiner Meinung nach eine innerer Punkt oder ein Randpunkt für sie? Das sollte schon mal die Frage beantworten, ob deine Menge offen ist. Nun musst du dir für die Frage, ob sie abgeschlossen ist, noch einen anderen Punkt ansehen. Welchen genau?  cool



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Karankos99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-18


Hallo weird,

Danke!

Als anderen Punkt geht dann z.B. $z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$, oder? Denn wenn wir diesen Wert um ein beliebiges $\epsilon$ verschieben, sind die Werte mit kleinerem Realteil nicht mehr in der Menge enthalten....

Richtig?



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-18


2019-09-18 05:08 - Karankos99 in Beitrag No. 2 schreibt:
Als anderen Punkt geht dann z.B. $z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$, oder? Denn wenn wir diesen Wert um ein beliebiges $\epsilon$ verschieben, sind die Werte mit kleinerem Realteil nicht mehr in der Menge enthalten....

Nein, leider ganz falsch!  frown

Erstens sind es die Punkte mit größerem(!) Realteil als dein $z$, welche dann nicht mehr in der Menge liegen (edit: ne, Unsinn, das war natürlich noch richtig!), und zweitens zeigt eben schon der Punkt $z=1$, dass die Menge in ihr liegende Randpunkte besitzt und daher nicht offen sein kann. Hier fehlt also dann jetzt noch der Nachweis, dass die Menge auch nicht abgeschlossen ist. Dafür brauchst du aber einen Randpunkt, der nicht in der Menge liegt.

Ich fürchte, du musst hier noch ein paar Definitionen nachlesen und "verinnerlichen", wie z.B. die von innerer Punkt, Häufungspunkt und Randpunkt einer Teilmenge des $\mathbb R^2$ (bezogen auf dessen übliche Topologie), sowie generell auch die Bedeutung von offen und abgeschlossen.



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Karankos99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-18


Ist die Menge, die ich mir vorstelle richtig?

Hier ein Bild.


Ich dachte $z=1$ sei ein innerer Punkt, da es immer eine Epsilon-Umgebung gibt, die in der Menge enthalten ist. Und die habe ich mit grün markiert.
Da das Epsilon ja reell ist, kommen wir ja nicht in den darunter liegenden Quadranten...
Warum ist das denn dennoch ein Randpunkt?

Und dann benötige ich noch einen Randpunkt, der nicht in der Menge enthalten ist... Welcher ist das denn? Ich kann den gar nicht in der Menge erkennen und ich weiß auch gar nicht wie ich den finden könnte...





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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-18

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo Karankos99,

vielleicht haben wir den Knoten gefunden, der das ganze löst. :-)

In deiner Zeichnung hast du die \(\varepsilon\)-Umgebungen als Intervalle eingezeichnet. Im Fall einer zweidimensionalen Menge so wie hier sind \(\varepsilon\)-Umgebungen aber (offene) Kreise.

Hilft dir das einzusehen, warum bspw. \(z=1\) eben kein innerer Punkt sein kann?

Der nicht in der Menge enthaltene Randpunkt, den du suchst, ist in diesem Thread schon erwähnt worden (um nicht zu viel zu verraten)...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Karankos99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-18


Eigentlich stelle ich mir $\epsilon$-Umgebungen als Kreise vor, aber da wir im Komplexen sind und $\epsilon$ ja reell ist, habe ich das als Intervall eingezeichnet.... Aber gut. Wenn das $\epsilon$ 2-dimensional betrachtet wird, kann ich einsehen, dass es ein Kreis ist und, dass $z$ ein Randpunkt ist.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-18

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

dann stelle sie dir doch als Kreise* vor mit dem Radius \(r=\varepsilon\)...

* bzw.: natürlich als das Innere dieser Kreise.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-09-18


2019-09-18 09:35 - Karankos99 in Beitrag No. 6 schreibt:
Eigentlich stelle ich mir $\epsilon$-Umgebungen als Kreise vor, aber da wir im Komplexen sind und $\epsilon$ ja reell ist, habe ich das als Intervall eingezeichnet....

$\varepsilon$ bezieht sich auf den Radius des Kreises und der ist ja auch reell.

Ok, für welchen Punkt der Menge gilt also, dass der zwar nicht in der Menge liegt, aber jede seiner $\varepsilon$-Umgebungen Punkte der Menge enthält, womit er also dann ein Häufungspunkt der Menge ist?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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Karankos99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-18


Ah okay. Mit dem Radius ergibt das Sinn für mich. Danke.

Hmm. Wir haben doch nur $z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$ erwähnt. Das ist ein Randpunkt. Aber der ist doch auch in der Menge enthalten, weil ja gilt $arg(z)=\frac{\pi}{4}\leq \frac{\pi}{4}$. Oder warum nicht?

Ansonsten hatte ich nur in der Zeichnung $\frac{\sqrt{2}}{2}$ geschrieben, aber der ist ja auf jeden Fall nicht gesucht.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-09-18


Hallo,

wenn du immer noch auf der Suche nach diesem Randpunkt bist, dann musst du das ganze bildlich gesprochen einmal so richtig zuspitzen.

Außerdem nochmal zur Erinnerung: du suchst einen Randpunkt, der nicht in der Menge liegt. Hier eine verständliche Definition des Begriffs Randpunkt.


Gruß, Diophant



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-09-18


Ja, Hans Rosenthal hätte gesagt, das war Spitze! Aber ich will es ja nicht auf die Spitze treiben.  biggrin



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Karankos99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-18


Okay, Danke. :D Also 0 weil man als arg(0) auch Werte größer $\frac{\pi}{4}$ und kleiner $0$ wählen kann...



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-09-18

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

die Null ist der gesuchte Punkt. Aber deine Begründung passt noch nicht. Lege mal eine \(\varepsilon\)-Umgebung um die Null. Was stellst du fest, also was für Punkte enthält diese Umgebung denn so?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-09-18


2019-09-18 10:23 - Karankos99 in Beitrag No. 12 schreibt:
Okay, Danke. :D Also 0 weil man als arg(0) auch Werte größer $\frac{\pi}{4}$ und kleiner $0$ wählen kann...

arg(0) lässt man normalerweise undefiniert, manchmal sieht man auch arg(0)=0. Aber diese Frage, was arg(0) nun eigentlich bedeutet, stellt sich hier ohnehin nicht, da ja $z=0$ lt. Startposting ausdrücklich nicht in der betrachteten Menge liegt.



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