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Strukturen und Algebra » Ringe » Ganze Ringerweiterung
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Universität/Hochschule J Ganze Ringerweiterung
Red_
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Dabei seit: 28.09.2016
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Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-16


Hey, schon wieder ich...
Habe da mal zwei Fragen:

Wenn \(f: R\to R'\) eine ganze Ringerweiterung ist und \(q\in Spec\, R'\) mit \(p:=q\cap R\). Ist dann die induzierte Abbildung \(f': R_p \to R'_q\) ganz?
Ich weiß nur, wenn ich beide an \(S\) lokalisiere (bzw. \(R\) an \(S\) und \(R'\) an \(f(S)\)), dass es gilt, aber \(q\) kann ja größer als \(f(S)\) sein, sodass es nicht mehr gelten müsste.

Jetzt sei \(f:R\hookrightarrow R'\) injektiv und ganz. Ist dann \(f': R_p \to R'_q\) injektiv?

Ich weiß, dass eins der beiden nicht gelten kann. Denn sonst könnte man bei Going down nur injektiv+ganz fordern und lokalisieren und dann lying over benutzen. Ich weiß jetzt nur nicht, welche nicht gelten können. Bitte um Hilfe  smile



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3865
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-16


Was hast du dir denn schon selbst überlegt? Setze einmal Beweise an.

Tipp: article.php?sid=1805



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Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 549
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-16


Nicht ganz, ich konnte nur nicht zeigen, dass beides jeweils gilt. Deswegen glaube ich an die Existenz von Gegenbeispielen. Und in den Vorlesungen macht man alles sehr abstrakt und kaum mit Beispielen, weswegen mein Repertoire an Beispielen nicht sonderlich groß ist und mir ohnehin kaum Zeit bleibt, da ich in kürze eine Klausur schreibe.
Aber mich interessieren die Fragen dennoch, es würde mir für's erste reichen zu wissen, ob die Aussagen stimmen oder nicht.
Den Rest überlege ich mir dann nach der Klausur  smile



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DavidM
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Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 242
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-16


2019-09-16 15:03 - Red_ im Themenstart schreibt:

Wenn \(f: R\to R'\) eine ganze Ringerweiterung ist und \(q\in Spec\, R'\) mit \(p:=q\cap R\). Ist dann die induzierte Abbildung \(f': R_p \to R'_q\) ganz?


Nein, das ist falsch. Für das Gegenbeispiel kannst du das so ziemlich einfachste Beispiel einer ganzen Ringerweiterung benutzen, das es gibt, nämlich $R=\mathbb{Z}$ und $R'=\mathbb{Z}[i]$. Entscheidend ist jetzt die richtige Wahl von $q$: Man setzt $q=(2-i)$; dann ist $p=\mathbb{Z} \cap q=(5)$ (wegen $5=(2+i)(2-i)$). Es ist $2+i \notin q$, also $a := \frac{1}{2+i} \in R'_q$. Aber $a$ ist nicht ganz über $\mathbb{Z}_{(5)}$: Das Minimalpolynom ist $5x^2-4x+1$.

Übrigens: Mit $q=(1-i)$ würde dieselbe Konstruktion nicht funktionieren, denn dann wäre $1+i=i(1-i) \in q$.



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-16


2019-09-16 15:03 - Red_ im Themenstart schreibt:
Jetzt sei \(f:R\hookrightarrow R'\) injektiv und ganz. Ist dann \(f': R_p \to R'_q\) injektiv?

Gegenbeispiel:

Sei $k$ ein Körper. Sei $R = k[X]$ und $R' = k[X,Y]/\langle XY=0, Y^2=Y\rangle$. Offensichtlich ist $R'$ ganz über $R$ (weil es $X$ und $Y$ sind).

Wir zeigen, dass $\{X^i : i \geq 0\} \cup \{Y\}$ eine $k$-Basis von $R'$ ist: Zunächst hat $k[X,Y]/\langle Y^2=Y\rangle$ ja $\{1,Y\}$ als $k[X]$-Basis, also $\{X^i : i \geq 0\} \cup \{X^i Y : i \geq 0\}$ als $k$-Basis, und das Ideal $\langle XY\rangle$ darin wird gerade als $k$-Vektorraum von den $\{X^i Y : i \geq 1\}$ erzeugt, sodass im Quotienten nur noch $\{Y\}$ bleibt. Lange Rede kurzer Sinn: Jedes Element in $R'$ hat eine eindeutige Zerlegung als $p + a Y$ mit $p \in k[X]$ und $a \in k$, womit insbesondere $R \to R'$ injektiv ist.

Sei $\mathfrak{q} = \langle Y-1 \rangle$. Das ist ein maximales Ideal von $R'$, denn $R'/\mathfrak{q} = k[X,Y]/\langle XY=0,Y^2=Y,Y=1\rangle = k[X,Y] / \langle X=0,Y=1\rangle = k$. Hieran sieht man auch, dass $\mathfrak{q}$ der Kern von $R' \to q$, $X \mapsto 0$, $Y \mapsto 1$ ist. Insbesondere sieht man, dass $\mathfrak{p} := R \cap \mathfrak{q} = \ker(R \to k, X \mapsto 0)$ gleich $\langle X \rangle$ ist.
 
Es ist $R_\mathfrak{p} = k[X]_{\langle X \rangle}$. Dieser Ring lässt sich nicht weiter vereinfachen.

In der Lokalisierung $R'_\mathfrak{q}$ hingegen sehen wir, dass $Y$ invertierbar ist (wegen $Y \notin \mathfrak{q}$), sodass sich die Relationen $XY=0$ bzw. $Y^2=Y$ zu $X=0$ bzw. $Y=1$ vereinfachen, und dann vereinfacht sich das zu lokalisierende Ideal auch zum Nullideal. Daraus folgt: $R'_{\mathfrak{q}} = k[X,Y]/\langle X=0,Y=1\rangle_{\langle Y-1 \rangle} = k$.

Der Homomorphismus $R_{\mathfrak{p}} \to R'_{\mathfrak{q}}$ identifiziert sich nun mit $k[X]_{\langle X \rangle} \to k$, $X \mapsto 0$. Er ist offensichtlich nicht injektiv.

Bei Interesse schreibe ich noch, wie ich systematisch auf dieses Gegenbeispiel gestoßen bin.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-16


@DavidM: Vielen Dank für dein Beispiel. Ich hatte selbst diese Ringerweiterung betrachtet aber nur mit ''schlechten'' Primidealen herum experimentiert. Eins habe ich noch nicht ganz verstanden, warum ist a nicht ganz über der Lokalisierung. Man muss ja zeigen, falls f€Z[X] a annulliert, dann muss notwendig der Leitkoeffizient von f durch 5 teilbar sein. Und f ist dann das Produkt von (5x^2 -4x +1)*g für ein g€IQ[X]. Ich kann aber irgendwie nicht folgern, dass g schon in Z[X] liegen muss. Das hat mich an den Satz von Gauß erinnert in seinen verschiedenen Formen, aber ich konnte keinen anwenden :/

@Triceratops: Auch dir vielen lieben Dank. Ich lese mir dein Beispiel morgen durch. Und natürlich bin ich daran interessiert, wie du drauf gekommen bist!



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-09-16


2019-09-16 22:11 - Red_ in Beitrag No. 5 schreibt:
warum ist a nicht ganz über der Lokalisierung.

Wenn $a$ ganz über $\IZ_{(5)}$ wäre, etwa $f(a)=0$ für ein normiertes(!) Polynom $f$ über $\IZ_{(5)}$, so können wir $f$ insbesondere als Polynom über $\IQ$ sehen. Das Minimalpolynom von $a$ über $\IQ$ ist $5X^2-4X+1$. Also gibt es ein $g \in \IQ[X]$ mit $f = g \cdot (5X^2 -4X+1)$. Aus dem Lemma von Gauß, angewandt auf den faktoriellen Ring $\IZ_{(5)}$, folgt:

$1 = \mathrm{cont}(f) = \mathrm{cont}(g) \cdot \mathrm{cont}(5X^2-4X+1) = \mathrm{cont}(g) \cdot 1 = \mathrm{cont}(g).$
 
Daraus folgt, dass $g$ Koeffizienten in $\IZ_{(5)}$ hat (und außerdem primitiv ist). Aus der Gleichung $f = g \cdot (5X^2 -4X+1)$ folgt aber, dass der Leitkoeffizient von $g$ gleich $\frac{1}{5}$ ist, Widerspruch.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-16


2019-09-16 22:11 - Red_ in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich lese mir dein Beispiel morgen durch. Und natürlich bin ich daran interessiert, wie du drauf gekommen bist!

Wenn man die Injektivität von $R_\mathfrak{p} \to R'_\mathfrak{q}$ beweisen möchte, muss man sich ein Element $r \in R$ nehmen, welches im Kern liegt (alle anderen Elemente der Lokalisierung unterscheiden sich nur durch Einheiten von solchen Elementen), was bedeutet, dass es ein Element $s \in R' \setminus \mathfrak{q}$ mit $r \cdot s = 0$. Hier macht man schon einmal die Erkenntnis, dass der Fall eines Integritätsringes $R'$ trivial ist, und man wohl kaum die Injektivität von $R \to R'$ nutzen kann (es ist kein Element im Kern in Sicht!), sodass ein Gegenbeispiel zu konstruieren ist. Das $R'$ muss eine Gleichung der Form $r \cdot s = 0$ haben. Es bietet sich an, $R'$ und auch $R$ möglichst klein zu machen, also $R=k[r]$ und $R'=k[r,s]$. Für $r$ sind keine erforderlichen Relationen in Sicht, also wählen wir für $R$ eine Polynomalgebra mit Variable $r$. Aber für $s$ brauchen wir eine Ganzheitsgleichung. Hier habe ich nun ehrlich gesagt etwas herumgespielt (wobei das auch nicht ganz unsystematisch war), aber das hat nicht lange gedauert, weil $s^2=s$ noch eine der einfachsten Ganzheitsgleichungen ist, zumal sie den schönen Nebeneffekt hat, den Ring aufgrund des chinesischen Restsatzes in ein Produkt von zwei Ringen zu zerlegen, nämlich die Orte mit $s=0$ bzw. $s=1$. Der Ort für $s=0$ ist unser $R$, aber der Ort für $s=1$ ist dann einfach $k$, sodass die Injektivität in der Lokalisierung dort scheitern muss.



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Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-17


Na gut, vielen vielen Dank euch beiden, ich habe die Beispiele verstanden, obwohl sie nicht so einfach sind selbst drauf zu kommen. Ich versuche die Bespiele deshalb zu verinnerlichen  smile



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Red_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Red_ hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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