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Moderiert von Dixon Orangenschale
Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Linearität von Leiteroperatoren
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Autor
Universität/Hochschule J Linearität von Leiteroperatoren
Neymar
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Dabei seit: 03.01.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-18


Hallo alle zusammen,

in den QM-Vorlesungen haben wir bisher immer nur über lineare Operatoren gesprochen. Einer der Klassiker, die man in den Vorlesungen behandelt, ist ja dann der (quantisierte) harmonische Oszillator, für den dann gerne Auf- und Absteigeoperatoren (oder in der Quantenoptik auch "creation and annihilation operators") verwendet werden.

Nun lautet ja eine wichtige Beziehung:
$\hat a |0\rangle = 0 \quad (\star)$.

Dies mag physikalisch Sinn ergeben, aber ein linearer Operator bildet die Null vom einen Vektorraum auf die Null des anderen Vektorraumes ab. Widerspricht $(\star)$ also nicht der geforderten Linearität?


Über Kommentare eurerseits hierzu würde ich mich sehr freuen.

Gruß,
Neymar



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PhysikRabe
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-18


2019-09-18 22:32 - Neymar im Themenstart schreibt:
Nun lautet ja eine wichtige Beziehung:
$\hat a |0\rangle = 0 \quad (\star)$.

Dies mag physikalisch Sinn ergeben, aber ein linearer Operator bildet die Null vom einen Vektorraum auf die Null des anderen Vektorraumes ab. Widerspricht $(\star)$ also nicht der geforderten Linearität?

Vorsicht: $|0\rangle$ ist der Vakuumzustand (bzw. der Grundzustand des harmonischen Oszillators), nicht der Nullvektor des Hilbertraums. Das sind zwei ganz verschiedene Vektoren. Außerdem bilden die Leiteroperatoren nicht in einen anderen Hilbertraum ab, sondern operieren auf ein und dem selben Raum.

Grüße,
PhysikRabe


-----------------
"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca
"Even logic must give way to physics." - Spock



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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 622
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-19

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Hallo Neymar,

ergänzend zu PhysikRabes Antwort in der Sprache der linearen Algebra: $\ket0$ liegt im Kern von $\hat a$. $0$ selbst liegt natürlich auch im Kern, bzw. in deinen Worten wird auch $0$ auf $0$ abgebildet. Das hindert den Operator aber nicht daran, auch andere Vektoren auf $0$ abzubilden. Das tun übrigens alle Operatoren, welche den Eigenwert 0 besitzen. Was ziemlich viele sind, zum Beispiel Ortsoperator, Impulsoperator, einige Drehimpulsoperatoren, etc.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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