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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit von Potenzreihen im Konvergenzradius
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Universität/Hochschule Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit von Potenzreihen im Konvergenzradius
dome1504
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 25.12.2018
Mitteilungen: 49
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-20


Hallo,

in der Vorlesung haben wir gezeigt, dass eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R in (x_0-R,x_0+R) albsolut und in jedem Kompaktum [x_0-r,x_0+r] mit r<R gleichmäßig konvergiert. Damit folgt dann aber nicht, dass die Potenzreihe auch auf (x_0-R,x_0+R) glm. konvergiert, oder? Zusätzlich hat mein Professor angeschrieben, dass die Grenzfunktion f: (x_0-R,x_0+R)->R stetig ist. Ist dazu folgendes richtig?: Man wähle x aus (x_0-R,x_0+R) beliebig und findet ein kompaktes Teilintervall [x_0-r,x_0+r] mit r<R und x in [x_0-r,x_0+r]. Auf diesem Intervall konvergiert dann die Reihe gleichmäßig und da die Partialsumme S_N für alle N aus den natürlichen Zahlen stetig ist, ist auch f in x stetig. Da man das für jedes x in (x_0-R,x_0+R) machen kann, ist sie auf der ganzen offenen Umgebung stetig. Ebenso wäre es dann ja für die Integrierbarkeit und Differenzierbarkeit.

Liebe Grüße
Dome



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-20


Damit folgt dann aber nicht, dass die Potenzreihe auch auf (x_0-R,x_0+R) glm. konvergiert, oder?
Richtig. "Das Gegenbeispiel": $\sum_n x^n$, z.B. bei -1 hast Du die alternierende Summe über $\pm 1$, was dazu führt, dass nahe -1 keine gleichmäßige Konvergenz möglich ist.

Alles andere auch richtig. Aus diesem Grund gibt es den Begriff "lokal gleichmäßige Konvergenz". Der ist für Potenzreihen erfüllt und beschreibt genau das, was Du in dem Beweis verwendest.



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dome1504
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 25.12.2018
Mitteilungen: 49
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-20


Super, danke schön.

Liebe Grüße
Dome



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