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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Subdifferential der Abbildung f(x,y)=|x|+|y|
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Autor
Universität/Hochschule J Subdifferential der Abbildung f(x,y)=|x|+|y|
Tobi92sr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-21 22:25


Hallo,
Ich beschäftige mich für einen Beweis etwas mit dem Subdifferential. Die Definition auf Wikipedia und das eindimensionale Beispiel <math>f(x)=|x|</math> verstehe ich gut. Aber wenn ich eine Dimension höher gehe ist es für mich nicht mehr gut ersichtlich, welche Vektoren alles zum Subdifferential gehören. Ich habe versucht einzelne Punkte zu betrachten aber das artet schnell in vielen Fallunterscheidungen aus. Gibt es einen einfachen Weg das Subdifferential zu erkennen, den ich übersehe. Oder gibt es eine Möglichkeit das Subdifferential zu plotten?

Hier noch die Definition vom Subdifferential:
Sei <math>f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}</math> eine konvexe Funktion. Ein Vektor <math>g\in\mathbb{R}^n</math> heißt Subgradient von <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math>, wenn für alle <math>x\in\mathbb{R}^n</math> gilt <math>\displaystyle f(x)\geq f(x_0)+\langle g,x-x_0\rangle</math>, wobei <math>\langle.,.\rangle</math> das Standardskalarprodukt ist.
Das Subdifferential <math>\partial f(x_0)</math> ist die Menge aller Subgradienten von <math>f</math> im Punkt <math>x_0</math>

Gruß Tobi



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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-21 23:40


Außerhalb der Koordinatenachsen $\{x=0\} \cup \{y=0\}$ ist $|x|+|y|$ ja sowieso differenzierbar. Du musst also die Subgradienten nur auf den Achsen bestimmen. Und das führt dann hier mehr oder weniger auf dieselbe Rechnung wie im $1$-dimensionalen Fall hinaus. Probiere es einmal und zeige uns, wie weit du kommst.

Hilfreich ist sicherlich auch der Graph der Funktion.



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Tobi92sr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-22 00:46


Für den Subgradient <math>g</math> auf einem Punkt <math>x_0=(2,0)</math>(den wir jetzt auf eine der Achsen setzten) folgt dann:
<math>f(x)\geq f(2,0)+\langle g,(x_1-2,x_2)\rangle</math>
<math>\Leftrightarrow |x_1|+|x_2|\geq 2+g_1*(x_1-2)+g_2*x_2 </math>
Nur sehe ich nicht, wie ich das umformen, kann damit man am Ende die möglichen Vektoren ablesen kann.
Graphisch gesehen denke ich habe ich es hoffentlich verstanden. Das Subdifferential am jeweiligen Punkt sind alle anliegenden Vektoren, welche keine der "Trichterwände" schneiden. Allerhöchstens daran entlanglaufen. Wäre das so richtig?
So wären das beim Ursprung alle Vektoren, welche nicht das Innere des Trichters tangieren oder?

Gruß Tobi



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ochen
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-22 14:35


Hallo,

wir berechnen das Subdifferential der Funktion $g\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R},\ x\mapsto |x|$ an der Stelle $x_0=0$.
Es gilt \[|x|\geq |\alpha||x|\geq \alpha x\] für alle $\alpha\in [-1,1]$.
Die erste Ungleichung folgt aus $0\leq |\alpha|\leq 1$ und $|x|\geq 0$. Es folgt also $[-1,1]\subseteq \partial g(0)$.

Sei nun $|\alpha|>1$, so folgt \[|x|< |\alpha||x|= \alpha x\] für $x:=\begin{cases}1, &\alpha>0\\-1, &\alpha<0\end{cases}$. Insbesondere ist also $\alpha\notin \partial g(0)$ und somit $\partial g(0)=[-1,1]$.


Damit machen wir für deine Funktion $f$ weiter. Beachte, dass $f(x,y)=g(x)+g(y)$ ist. Wir betrachten einen beliebigen Punkt $(0,y^*)\in \mathbb{R}^2$ mit $y^*>0$, so folgt für jedes $\alpha\in [-1,1]$
\[f(x,y)=g(x)+g(y)\geq (g(0)+ \alpha x) + (g(y^*)+1\cdot (y-y^*)).\]
Hoffentlich habe ich mich nicht vertan.



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Tobi92sr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-22 15:52


<math>(g(0)+\alpha x)+(g(y</math>*<math>)+1*(y-y</math>*<math>)</math>
<math>g(0)=0</math>, <math>\alpha x \leq x</math> für <math>\alpha \in [-1,1]</math> ist logisch, <math>g(y</math>*<math>)=y</math>* für <math>y</math>*<math>>0</math> <math>\rightarrow(g(y</math>*<math>)+1*(y-y</math>*<math>)=y</math>
Also zusammengefasst heißt das <math>f(x,y)\geq \alpha x + y</math> für $\alpha\in [-1,1]
Tut mir leid aber ich sehe nicht wie mich das zu den Vektoren des Subgradienten führt, oder warum du es in diese Form gebracht hast.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-22 16:07


Für $y^*\geq 0$ und $|\alpha|\leq 1$ ist $(\alpha,1)^t\in \partial f(0,y^*)$.

Das ist gezeigt.



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Tobi92sr hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Tobi92sr hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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