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Mathematik » Lineare Algebra » Vervollständigung einer Matrix bzgl minimaler Norm
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Universität/Hochschule J Vervollständigung einer Matrix bzgl minimaler Norm
Tobi92sr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-24


Hallo,
Ich habe folgendes Problem. Ich will ein Beispiel aus einem Buch durchrechnen aber ich komme irgendwie nicht weiter.
Man soll die Matrix <math>\displaystyle \left[\begin{array}{cc}1 & b \\
c & 4 \end{array}\right]</math> mit Einträgen b und c vervollständigen, so dass die Matrix bezüglich der nuklearen Norm möglichst niedrig ist. Die nukleare Norm ist hierbei die Summe der Singulärwerte von <math>A</math>.
Kurz gesagt kann man die Singulärwerte berechnen, indem man die positive Wurzel der Eigenwerte von <math>A^TA</math> berechnet.
Also habe ich einfach mal angefangen aber spätestens beim Berechnen des charakteristischen Polynoms und der Nullstellenberechnung davon wird die Gleichung sehr unübersichtlich und meiner Meinung nach nicht zielführend.
Davon hätte ich noch die Wurzel genommen und diese addiert und bezüglich b und c minimiert. Jedoch werden allein schon die Formeln für die Singulärwerte zeilenlang.

Laut Buch ist die Lösung <math>b=c\in[-2,2]</math>. Kann mir dabei jemand weiterhelfen?

Gruß Tobi



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-24


Hallo Tobi92sr,

$A^TA$ ist immer symmetrisch und positiv semidefinit. Sind also $\lambda_1$ und $\lambda_2$ die (folglich nicht-negativen) Eigenwerte von $A^TA$, so kann man $\sqrt{\lambda_1} + \sqrt{\lambda_2}$ minimieren, indem man $(\sqrt{\lambda_1} + \sqrt{\lambda_2})^2= \lambda_1 + \lambda_2 + 2\sqrt{\lambda_1\lambda_2} = \operatorname{Spur}(A^TA) + 2\sqrt{\operatorname{det}(A^TA)}$ minimiert. Das liefert die zu minimierende Funktion $(b^2+c^2+17) +2 |bc-4|$. Hilft das weiter?

Grüße
Creasy


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Smile (:



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Tobi92sr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-24


Das hilft mir sehr weiter vielen Dank.
Jetzt muss ich nur noch zeigen, dass diese Funktion ihr Minimum für <math>b=c</math> im Intervall -2 bis 2 annimmt. Ich habe mir die Funktion plotten lassen und dies überprüft. Die Intervalle kann man damit begründen, dass die Funktion <math>f(x)=2|x|</math> außerhalb des Intervalls [-2.2] langsamer steigt als <math>g(x)=x^2</math>. Jedoch weiß ich nicht, wie genau man beweisen kann, dass <math>b=c</math> gelten muss. Kann mir dabei noch jemand einen Tipp geben?



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Tobi92sr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-24


Mir sind grade selber noch folgende Ideen gekommen. Für das Minimum in x,y muss gelten, falls <math>x\geq 0 \Rightarrow y\geq 0</math>, da sonst x,-y einen kleineren Wert hätte. Dasselbe im negativen Bereich. Dann muss gelten <math>b*c\leq 4</math>, da ein größerer Wert durch den Betrag keinen Sinn macht und ansonsten x,y im Quadrat ansteigen. Zusammengefasst suchen wir also x und y, sodass das Produkt kleiner 4 ist und die Zahlen im Quadrat möglichst klein sind. Damit dies der Fall ist, gilt <math>b=c</math>, stimmt das soweit?



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-24


Deine Beweisstruktur ist nicht sehr formal und daher schwer zu folgen,

2019-09-24 14:26 - Tobi92sr in Beitrag No. 3 schreibt:
Für das Minimum in x,y muss gelten, falls <math>x\geq 0 \Rightarrow y\geq 0</math>, da sonst x,-y einen kleineren Wert hätte.

Ist das so? Nennen wir die Funktion $f(b,c)$. Dann ist $f(0,1)=f(0,-1)$.


Dann muss gelten <math>b*c\leq 4</math>, da ein größerer Wert durch den Betrag keinen Sinn macht und ansonsten x,y im Quadrat ansteigen.
Was bedeutet Sinn machen?


Wenn man einen Betrag in einer Funktion sieht, arbeitet man meistens mit Fallunterscheidung, sodass man keinen Betrag mehr hat. Hier also die Fälle $bc>4$ und $bc\leq 4$.
Ist $bc\leq 4$ so ist $b^2+c^2+17 +2\cdot |bc-4|= b^2+c^2+17-2\cdot (bc - 4) = ..$. Hier hilft dann eine binomische Formel. Suche dann die Minima unter Berücksichtigung, dass du im Fall $bc\leq 4$ bist.

Ist $bc>4$, so erhalten wir $b^2+c^2+17 +2\cdot |bc-4|= b^2+c^2+17+2\cdot (bc - 4) = ..$. Auch hier hilft die binomische Formel. Danach würde man gerne zeigen, dass die Werte, die dabei entstehen, größer sind als die kleinsten Werte aus Fall 1.

Hier ein Tipp, wie es dann weitergehen kann.
Dafür benötigt man eine Abschätzung für $b+c$. Es ist aber $|b+c|>4$.
Beweis:
Dafür stellt man zunächst fest, dass $b$ und $c$ das gleiche Vorzeichen haben, also ohne Einschränkung positiv sind. Nun ist das Quadrat bei konstantem Flächeninhalt dasjenige Rechteck mit dem kleinsten Umfang, also ist $2\cdot(b+c) \geq 4\cdot\sqrt{bc} > 4\cdot \sqrt{4}$.




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Tobi92sr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-24


Tut mir leid wegen der Formalität. Ich wollte nur ein paar Ideen in den Raum werfen und fragen, ob diese denn größtenteils richtig sind. Vielen Dank für die Hilfe. Ich denke ich habe das Problem jetzt einigermaßen verstanden.



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