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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Gedankenexperiment zur Unschärferelation
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Universität/Hochschule Gedankenexperiment zur Unschärferelation
SanoVX
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 16.07.2014
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-25


Hallo,

ich habe eine Überlegungen zur Unschärferelation, zu der ich keine Antwort habe. Würde mich freuen, wenn da jemand Klarheit verschaffen könnte.


Wenn ich nun ein beliebig genau messen möchte, dann wird meine Kenntnis über den Impuls immer ungenauer.
Wenn ich also ein großes \(\Delta p\) habe, könnte man ja sagen dass das Teilchen möglicherweise eine unglaublich große Energie hat.
Also das Teilchen hat eine gewisse Wahrscheinlichkeit für \(p = \frac{\Delta p}{2}\) und somit auch eine gewisse Wahrscheinlichkeit für die Energie, die damit einhergeht.
Aber woher kommt nun diese Energie?
Kommt sie aus meiner Messung, oder wie ist das zu erklären?

Ich finde es unintuitiv, wenn ich z.b. ein Teilchen eines gekühlten Gases messe und dabei Aufgrund einer genauen Ortsbestimmung der Teilchen davon ausgehen muss, dass einige Teilchen nun eine hohe Geschwindigkeit und somit hohe Temperatur haben.

Ich hoffe ich konnte mein Problem verständlich darstellen.

Viele Grüße

SanoVX






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lula
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11048
Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-26


Hallo
 um das Teilchen zu lokalisieren kannst du es z.B mit Licht beschießen und aus der Reflexion seinen Ort bestimmen, dabei hängt die Genauigkeit von der Wellenlänge des Lichts ab, je kleiner die umso genauer, aber dann überträgt das Photon ja auch Impuls auf dein Teilchen.
Wenn du es durch einen immer engeren Spalt  in eine Richtung lokalisierst , kennst du danach seinen Impuls in der Richtung wegen der Beugung immer ungenauer.
bis dann, lula


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-26

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Hallo SanoVX,

tatsächlich ist auch die kinetische Energie eines Teilchens unscharf, wenn sein Impuls unscharf ist. Trotzdem ist die Gesamtenergie in jedem System erhalten. Steckt eine bestimmte Energie $E$ in einem physikalischen System, so bleibt die Gesamtenergie für immer gleich. Die Energie einzelner Teilchen kann dabei unscharf sein, allerdings sind diese Unschärfen dann nicht voneinander unabhängig. Zum Beispiel könnten einige der Teilchen einen Stoßprozess durchlaufen, und danach jeweils einen unscharfen Impuls und damit eine unscharfe (kinetische) Energie besitzen. Aber: Misst man nacheinander die Energie aller Teilchen, so ist die Summe dieser Energien wieder $E$. Das geht sogar so weit, dass durch die Messung des Impulses eines einzelnen Teilchens die Unschärfe des Impulses der anderen Teilchen abnimmt. Misst man bei einem Teilchen einen hohen Impuls (und damit eine hohe Energie), so werden bei den anderen Teilchen hohe Energien unwahrscheinlicher, denn die Summe muss am Ende $E$ ergeben.

Was das gekühlte Gas angeht: Das Problem hättest du auch in der klassischen Physik. Die Geschwindigkeiten der Teilchen in einem Gas folgen der Maxwell-Boltzmann-Verteilung. In dem Wikipediaartikel findest du einige Grafiken. Diese geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufälliges Teilchen aus einem Gas mit fester Temperatur eine bestimmte Geschwindigkeit besitzt. Diese Verteilung wird auch bei hohen Geschwindigkeiten nicht 0, es besteht also für ein zufälliges Teilchen in einem gekühlten Gas die Wahrscheinlichkeit, dass es außerordentlich schnell ist. Sie können nur nicht alle außerordentlich schnell sein. Und das läuft in der Quantenmechanik nicht anders.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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SanoVX
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 16.07.2014
Mitteilungen: 22
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-26

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2019-09-26 00:27 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo SanoVX,

tatsächlich ist auch die kinetische Energie eines Teilchens unscharf, wenn sein Impuls unscharf ist. Trotzdem ist die Gesamtenergie in jedem System erhalten. Steckt eine bestimmte Energie $E$ in einem physikalischen System, so bleibt die Gesamtenergie für immer gleich. Die Energie einzelner Teilchen kann dabei unscharf sein, allerdings sind diese Unschärfen dann nicht voneinander unabhängig. Zum Beispiel könnten einige der Teilchen einen Stoßprozess durchlaufen, und danach jeweils einen unscharfen Impuls und damit eine unscharfe (kinetische) Energie besitzen. Aber: Misst man nacheinander die Energie aller Teilchen, so ist die Summe dieser Energien wieder $E$. Das geht sogar so weit, dass durch die Messung des Impulses eines einzelnen Teilchens die Unschärfe des Impulses der anderen Teilchen abnimmt. Misst man bei einem Teilchen einen hohen Impuls (und damit eine hohe Energie), so werden bei den anderen Teilchen hohe Energien unwahrscheinlicher, denn die Summe muss am Ende $E$ ergeben.

Was das gekühlte Gas angeht: Das Problem hättest du auch in der klassischen Physik. Die Geschwindigkeiten der Teilchen in einem Gas folgen der Maxwell-Boltzmann-Verteilung. In dem Wikipediaartikel findest du einige Grafiken. Diese geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufälliges Teilchen aus einem Gas mit fester Temperatur eine bestimmte Geschwindigkeit besitzt. Diese Verteilung wird auch bei hohen Geschwindigkeiten nicht 0, es besteht also für ein zufälliges Teilchen in einem gekühlten Gas die Wahrscheinlichkeit, dass es außerordentlich schnell ist. Sie können nur nicht alle außerordentlich schnell sein. Und das läuft in der Quantenmechanik nicht anders.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Aber verändert dann auch die Genauigkeit meiner Messung die Wahrscheinlicheitsverteilung. Also hängt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Geschwindigkeit dann davon ab wie genau ich den Ort messe?
\(\endgroup\)


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SanoVX
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Dabei seit: 16.07.2014
Mitteilungen: 22
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-26


2019-09-26 00:21 - lula in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo
 um das Teilchen zu lokalisieren kannst du es z.B mit Licht beschießen und aus der Reflexion seinen Ort bestimmen, dabei hängt die Genauigkeit von der Wellenlänge des Lichts ab, je kleiner die umso genauer, aber dann überträgt das Photon ja auch Impuls auf dein Teilchen.
Wenn du es durch einen immer engeren Spalt  in eine Richtung lokalisierst , kennst du danach seinen Impuls in der Richtung wegen der Beugung immer ungenauer.
bis dann, lula

Ah ok, aber beim Spalt sehe ich trotzdem noch ein Problem mit der Energie.
Wenn ich ein Elektron mit einer geringen Energie durch einen extrem engen Spalt schicke habe ich ja trotzdem aufgrund der geringen Energie eine Obergrenze für die Impulsänderung (und zwar wegen der Energie und nicht wegen einem kleinen \(\Delta x\)) oder etwa nicht?



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Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 657
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-27


Also hängt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Geschwindigkeit dann davon ab wie genau ich den Ort messe?

Richtig. Je genauer du den Ort misst, desto unschärfer wird der Impuls sein. Aber auch hier gilt: Der Gesamtimpuls bleibt erhalten. Wenn du zur Messung des Ortes mit dem Teilchen interagierst, dann wird dadurch nicht nur der Impuls des gemessenen Teilchens unscharf, sondern auch der Impuls von was auch immer mit dem Teilchen interagiert hat. Die Summe ihrer Impulse ist aber erhalten. Und die Summe ihrer Energien auch.



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wessi90
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.09.2011
Mitteilungen: 2031
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-09-27


Ich möchte hier noch einmal darauf eingehen, was die Heisenberg'sche Unschärfe überhaupt aussagt.

Die besagte Unschärferelation ist eine Aussage über Präparierunschärfe. Das bedeutet: Ich kann keinen Zusand $\Psi$ präparieren für den $\Delta X_\Psi \Delta P_\Psi\leq \hbar/2$ gilt. Es ist eine Aussage über die Grenzen für Präpariergeräte.

Der Zustand $\Psi$ (bzw. allgemeiner ein Dichteoperator $\rho$) entspricht einem gedachten Ensemble von unendlich vielen immer gleich präparierten Systemen, aber eben NICHT einem einzelnen Teilchen. Der Zustand beschreibt ein Präparierverfahren!

Eine Aussage wie "Das Elektron wird durch die Wellenfunktion $\Psi$ beschrieben" ergibt keinen Sinn, denn die Wellenfunktion beschreibt nicht das einzelne Elektron sondern das Präparierverfahren.

Um so eine Unschärferelation für einen gegebenen Zustand zu messen bedarf es auch keinerlei gleichzeitiger Messungen. Man nimmt sich das Präpariergerät, misst $N$ mal den Ort $X$, berechnet aus der Verteilung der Messwerte dann die Varianz und tut dasselbe $N$ Mal nacheinander für den Impuls. Dann lässt sich eine Abschätzung für das Unschärfeprodukt gewinnen und im Grenzwert $N\to \infty$ erhält man die "richtigen" Unschärfen, die man aus $\Psi$ berechnen kann.

Etwas anderes sind Messunschärfen, die strikt von Präparierunschärfen unterschieden werden müssen. Dazu gehört aber insbesondere nicht die Heisenber'sche Unschärferelation. Leider wird das alles in vielen Büchern und Vorlesungen sehr sehr schwammig und oft inkorrekt behandelt. Messunschärferelationen kann man natürlich auch herleiten, die findet man aber in den wenigsten Büchern, obwohl diese oft Messunschärfe meinen, wenn sie von Unschärfe reden.

Anmerkung: Ich gehe in meinem Beitrag von der Ensemble Interpretation der Quantenmechanik aus, die ausreicht, um alle Experimente zu erklären und zu beschreiben. Ein sehr gutes Paper, das diese ganzen Problene gründlich und sauber behandelt, ist hier. Man sieht, dass das immer noch aktuelle Forschung ist.



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