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Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » * Shootout der wilden Cowboys II
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Kein bestimmter Bereich * Shootout der wilden Cowboys II
MartinN
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.08.2016
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-29


Auf spiegel.de gibt es ja immer diese schönen Rätsel der Woche...
Dieses mal: Shootout der wilden Cowboys

Und dazu noch ein kleines Rätsel:
Sei a die Trefferchance für Cowboy A (Anteil an richtigen Patronen) und b die Trefferchance für Cowboy B (siehe A) - wie muss man a und b wählen, so dass das Spiel für alle 3 Cowboys fair ist. Dabei spielen alle Cowboys die für sie beste Strategie, und Cowboy C hat weiterhin nur scharfe Munition (Trefferchance von 100%).

Viel Spaß ^^



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Dies ist eine Knobelaufgabe!
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Bei dieser Aufgabe kann ein öffentlicher Austausch über Lösungen, Lösungswege und Ansätze erfolgen. Hier musst Du keine private Nachricht schreiben!
StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5259
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-29


Hi,

ich nehme an, du lässt beliebige W'keiten zu, also etwa auch irrationale.

Beim SpOn-Rätsel wurde von den Foristen möglicherweise zurecht angemerkt, dass sich die W'keit zu treffen für einen Cowboy nach dem ersten Schuss ändert, da er nur endlich viele Kugeln in seinem Revolver geladen hat.

Deshalb hier noch ein Zusatzrätsel, welches ich selbst aber noch nicht versucht habe:

A und B haben beide einen Revolver mit m Kugeln. A hat a scharfe und m-a Platzpatronen geladen (die Reihenfolge ist zufällig). B hat b scharfe und m-b Platzpatronen geladen. A und B schießen abwechselnd aufeinander; A beginnt. Wenn mit einer scharfen Patrone geschossen wird, wird zu 100% getroffen. Mit welcher W'keit gewinnt A bzw. B?



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MartinN
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Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1062
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-29


Jep, alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 sind möglich - und man geht davon aus, dass sie Kugeln aus einem unendlichen Reservoir an Kugeln nehmen und jedesmal neu die Pistole beladen - und in diesen Reservoir sind x % Kugeln die gehen und der Rest Platzpatronen.



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Kitaktus
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Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6086
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-01


2019-09-29 17:04 - MartinN im Themenstart schreibt:
Auf spiegel.de gibt es ja immer diese schönen Rätsel der Woche...
Dieses mal: Shootout der wilden Cowboys

Und dazu noch ein kleines Rätsel:
Sei a die Trefferchance für Cowboy A (Anteil an richtigen Patronen) und b die Trefferchance für Cowboy B (siehe A) - wie muss man a und b wählen, so dass das Spiel für alle 3 Cowboys fair ist. Dabei spielen alle Cowboys die für sie beste Strategie, und Cowboy C hat weiterhin nur scharfe Munition (Trefferchance von 100%).

Viel Spaß ^^

Bei dieser (und ähnlichen) Fragestellung fehlt noch eine Zielfunktion.
Was wollen die Teilnehmer eigentlich? Wollen sie das Triell überleben, oder wollen sie das Triell als einziger(!) überleben. Oder gibt es einen Gewinn, der am Ende unter allen Überlebenden aufgeteilt wird und jeder versucht den eigenen erwarteten Gewinn zu maximieren.
Ein Beispiel:
Alle drei Schützen treffen mit p=0.7.
Wenn der erste Schütze schießt und trifft, dann gewinnt er das anschließende Duell mit Wsk. 21/91 (rund 0,23).
Wenn er dagegen nicht schießt und abwartet, bis einer der anderen beiden irgendwann schießt und trifft, dann ist er mit Wsk. 1/2 nicht derjenige sein, der getroffen wurde und gewinnt mit Wsk. 70/91 das anschließende Duell.
Er kommt also auf eine Gesamtwsk. von 35/91 (rund 0,385).
Es ist also günstiger abzuwarten. Das gilt genauso für die anderen beiden, also schießen alle immer absichtlich daneben. Das maximiert ihre Überlebenswahrscheinlichkeit, aber minimiert gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit, als einziger(!) zu überleben.

Also, je nach Zielfunktion kommt man im Einzelfall durchaus zu unterschiedlichen Ergebnissen.



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MartinN
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Dabei seit: 05.08.2016
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-01


C trifft zu 100 Prozent... Vielleicht beantwortet das deine Frage.
Und man will als einziger überleben.



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MartinN
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Dabei seit: 05.08.2016
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-05


Mag niemand xS



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MartinN
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-05


Naja, mann muss ja nicht in den Hide-Bereich schauen ;)

Lösung:

Damit das Spiel fair ist, also jeder zu 1/3 gewinnt, können wir annehmen, dass a < b, also A seltener trifft/tötet als B - da A vor B dran ist und damit schon einen Vorteil hätte (man kann auch andersherum durchspielen, aber das spar ich mir).

Sobald C dran ist, wird er auf B schießen, da er sicher tötet und B besser tötet als A.

Demnach wird B sicher auf C schießen, sobald B dran ist... da er sonst von C getroffen wird.

Nun kann A auf C schießen (da C besser tötet als B) oder er schießt gar nicht / verzichtet / schießt in die Luft.

Kommt es zu einem 2er Duell so wird jeder auf den anderen schießen, alles andere wäre zum Nachteil.

Nun gelte: \(X\) die Person X trifft ihr Ziel; \(\bar{X}\) die Person X trifft ihr Ziel nicht; \(p(X)\) die Wahrscheinlichkeit, dass Person X als einziges überlebt; \([...]\) die Sequenz in der Mitte kann sich 0 bis unendlich oft wiederholen, was in der Stochastik einer geometrischen Reihe entspricht. 1 entspricht dabei einem sicheren Ereignis (jemand schießt daneben / trifft sicher). \(x\) die Wahrscheinlichkeit, dass X tötet.


(1) Betrachten wir zuerst den Fall, dass A in die Luft schießt.
\(p(C) = 1 \cdot \bar{B} \cdot 1 \cdot \bar{A} \cdot 1 = (1-a)(1-b)\\
p(B) = 1 \cdot B \cdot \bar{A} \cdot [\bar{B} \bar{A}] \cdot B = \frac{b^2(1-a)}{1-(1-a)(1-b)}\)

Nun ist das Spiel fair, wenn \(p(X) = 1/3\), also:
\(p(C) = (1-a)(1-b) = 1/3 \to 1-a = \frac{1}{3(1-b)}\)

Dies in \(p(B) = 1/3\) eingesetzt ergibt:
\(\frac{1}{3} = \frac{b^2\frac{1}{3(1-b)}}{1-\frac{1}{3}}\\
0 = b^2 - \frac{2}{3}(1-b) = b^2 + 2b/3 - 2/3\\
b = \frac{\sqrt{7}-1}{3} = 0.54858...\)
(da 0< b < 1 ist die zweite Lösung ausgeschlossen)

Damit:
\(a = 1 - \frac{1}{3(1-b)} = 1 - \frac{1}{4-\sqrt{7}} = \frac{9 - (4+\sqrt{7})}{9} = \frac{5-\sqrt{7}}{9} = 0.26158...\)

Damit gilt tatsächlich \(a < b\). Nun fehlt noch zu zeigen, dass mit diesen Werten tatsächlich a lieber in die Luft schießt.

Würde A nicht in die Luft schießen, sondern zu Beginn gleich auf C, so würde A gewinnen mit:
\(p'(A) = A \cdot \bar{B} \cdot [\bar{A} \bar{B}] \cdot A + \bar{A} \cdot B \cdot [\bar{A} \bar{B}] \cdot A + \bar{A} \cdot \bar{B} \cdot 1 \cdot A\\
= \frac{a^2(1-b)}{1-(1-a)(1-b)} + \frac{(1-a)ab}{1-(1-a)(1-b)} + (1-a)a(1-b)\\
= \frac{3a^2(1-b)}{2} + \frac{3(1-a)ab}{2} + \frac{a}{3}\\
= \frac{3 \frac{32-10\sqrt{7}}{81} \frac{4-\sqrt{7}}{3}}{2} + \frac{3\frac{4+\sqrt{7}}{9}\frac{5-\sqrt{7}}{9}\frac{\sqrt{7}-1}{3}}{2} + \frac{\frac{5-\sqrt{7}}{9}}{3}\\
= \frac{33-12\sqrt{7}}{27} + \frac{2\sqrt{7}-1}{27} + \frac{5-\sqrt{7}}{27}\\
= \frac{37-11\sqrt{7}}{27} = 0.29247... < 1/3\)

Damit würde A, wenn es mit diesen Wahrscheinlichkeiten tötet, schlechter als 1/3 überleben. Somit wäre es auch für A sinnvoll zu Beginn bei diesen Werten in die Luft zu schießen.


Somit ist die Lösung für ein faires Spiel:
\(a = \frac{5-\sqrt{7}}{9} = 0.26158...\\
b = \frac{\sqrt{7}-1}{3} = 0.54858...\)


(2) Betrachten wir noch den Fall, dass A nicht in die Luft schießt (vielleicht gibt es dafür einen zweiten fairen Fall):
\(p(A) = A \cdot \bar{B} \cdot [\bar{A} \bar{B}] \cdot A + \bar{A} \cdot B \cdot [\bar{A} \bar{B}] \cdot A + \bar{A} \cdot \bar{B} \cdot 1 \cdot A\\
= \frac{a^2(1-b)}{1-(1-a)(1-b)} + \frac{(1-a)ab}{1-(1-a)(1-b)} + (1-a)a(1-b) = 1/3\\
p(B) = A \cdot [\bar{B}\bar{A}] \cdot B + \bar{A} \cdot B \cdot \bar{A} \cdot [\bar{B}\bar{A}] \cdot B\\
= \frac{ab}{1-(1-a)(1-b)} + \frac{(1-a)^2b^2}{1-(1-a)(1-b)} = 1/3\)

Geben wir diese beiden Gleichungen bei wolframalpha ein (man könnte auch p(C) noch angeben und dafür nutzen*) xD
So erhält man als reale Lösungen mit 0 < a,b < 1:
\(a \approx 0.263120995...\\
b \approx 0.386115907...\)
Auch hierbei gilt wieder a < b (wie erwartet).

Und nun betrachten wir mit diesen Wahrscheinlichkeiten wieder, wie A gewinnen würde, wenn es in die Luft schießt:
\(p'(A) = 1 \cdot B \cdot [\bar{A} \bar{B}] \cdot A + 1 \cdot \bar{B} \cdot 1 \cdot A\\
= \frac{ab}{1-(1-a)(1-b)} + a(1-b) \approx 0.34704... > 1/3\)

Also in einem fairen Spiel, wo A am Anfang (auf C) schießt, würde A lieber in die Luft schießen, da es dann eher gewinnt. Und da A immer die beste Gewinnstrategie wählt, gibt es dieses faire Spiel nicht.

*p(C) wäre, wenn A zu Beginn schießt:
\(p(C) = \bar{A} \cdot \bar{B} \cdot 1 \cdot \bar{A} \cdot 1 = (1-a)^2 \cdot (1-b) = 1/3\)





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1) Warum sollte in einer "fairen" Konstellation a<b sein? Was spricht gegen a>b oder a=b?

2) Die Antwort "man will als einziger überleben" beantwortet leider nicht alles. Wir akzeptieren, dass A in die Luft schießt, weil das irgendwie seine Chancen verbessert. Wenn aber B und C anschließend auch in die Luft schießen, dann halten wir das für ausgeschlossen, weil ja jeder unbedingt als _einziger- überleben will. Wie sollen wir denn den Fall von drei perfekten Schützen auflösen. Wer zuerst schießt wird verlieren, weil er danach erschossen wird, also schießt man nicht und "gewinnt" zwar nicht, weil mit der selben Überlegung alle drei nicht schießen, bleibt aber wenigstens am Leben.



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