Die Mathe-Redaktion - 11.12.2019 07:28 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 468 Gäste und 6 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionalanalysis » Fehlerabschätzung mit Neumannscher Reihe
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Fehlerabschätzung mit Neumannscher Reihe
Uchiha_madara
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.09.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-29


Guten Abend, ich brauche Hilfe zum Verständnis folgender Aufgabe a) . Ich verstehe den Bezug zur Neumannschen Reihe nicht wirklich und finde keinen Ansatz zur Aufgabe...

Ich danke im Voraus!




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
svrc
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 54
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-30


Hallo Uchiha_madara,

vielleicht hilft es dir weiter, mal mit
\[\widetilde{A} \widetilde{x} = b\] anzusetzen. Hieraus folgt nämlich
\[\left( A + \Delta A \right) \left( x + \Delta x \right) = b\] und daraus lässt sich mit mehreren Umformungen
\[\Delta x = - \left( I + A^{-1} \cdot \Delta A \right)^{-1} \cdot A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x\] ableiten. Eventuell hilft dir das weiter, da
\[\lVert \Delta A \rVert\ \to 0\] für die Abschätzung ausgenutzt werden soll.

Viele Grüße
svrc



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Uchiha_madara
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.09.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-30


Danke schon mal für deine Arbeit svrc !

Leider kann ich die erste Umformung nicht nachvollziehen wie du nach delta_x umstellst... kannst du mir das vielleicht kleinschrittiger erklären?




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
svrc
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 54
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-30


Hallo Uchira_madara,

aus
\[\left( A + \Delta A \right) \left( x + \Delta x \right) = b\] folgt
\[A \cdot x + \Delta A \cdot x + A \cdot \Delta x + \Delta A \cdot \Delta x = b.\] Wegen \(A \cdot x = b\) folgt somit
\[\begin{eqnarray*}
\Delta A \cdot x + A \cdot \Delta x + \Delta A \cdot \Delta x & = & 0 \\
A \cdot \Delta x + \Delta A \cdot x + \Delta A \cdot \Delta x & = & 0 \\
        \Delta x + A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x + A^{-1} \cdot \Delta A \cdot \Delta x & = & 0
\end{eqnarray*}\] beim Multiplizieren mit der Inversen \(A^{-1}\) in der letzten Zeile. Hieraus folgt
\[\left( I + A^{-1} \cdot \Delta A \right) \cdot \Delta x = -A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x\] und beim Multiplizieren mit der Inversen \(\left( I + A^{-1} \cdot \Delta A \right)^{-1}\) ergibt sich
\[\Delta x = - \left( I + A^{-1} \cdot \Delta A \right)^{-1} \cdot A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x.\] Hier kann jetzt unter geeigneten Voraussetzungen (Beachte, dass die Matrixnorm von \(\Delta A\) für die Abschätzung hinreichend klein sein muss) die Neumannsche Reihe verwendet werden.

Viele Grüße
svrc



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Uchiha_madara
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.09.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-30


Hi svrc,

ich kann leider nicht nachvollziehen wie du folgende Umformung durchgeführt hast :O



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
svrc
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 54
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-30


Hallo Uchiha_madara,

multipliziere die Gleichung darüber mit der Inversen \(A^{-1}\). Diese existiert, da die Matrix \(A\) regulär ist.

Viele Grüße
svrc



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Uchiha_madara
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.09.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-01


Hi svrc,

ich verstehe deine Umformung aber nicht wirklich was ich mit delta x jetzt genau anfangen kann, bzw wie ich dies in die Neumannsche Reihe integrieren kann..



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
svrc
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 54
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-01


Hallo Uchiha_madara,

da du mir nicht genau beschreibst, an welcher Stelle du Probleme hast, ist es schwierig, dir gezielt zu helfen.

Kannst du nachvollziehen, dass
\[\Delta x = - \left( I + A^{-1} \cdot \Delta A \right)^{-1} \cdot A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x\] gilt?

Wenn du das verstanden hast, schreibe
\[\Delta x = - \left( I - \left( - A^{-1} \cdot \Delta A \right) \right)^{-1} \cdot A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x.\] Da die Fehlerabschätzung für \(\lVert \Delta A \rVert \to 0\) gelten soll, kann \(\lVert A^{-1} \rVert \cdot \lVert \Delta A \rVert < 1\) angenommen werden. Hierbei wird von Matrixnormen ausgegangen, die mit den Vektornormen verträglich sind. Damit sind die Voraussetzungen des Lemmas erfüllt.

Wende dieses auf die Gleichung für \(\Delta x\) an.

Viele Grüße
svrc



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Uchiha_madara
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.09.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-01


Danke svrc,
Genau das wollte ich wissen, wie ich da jetzt das Lemma anwenden kann :) ich habe jetzt C:= (-A^-1 * delta A) gesetzt.

Daraus folgt

(I-C)^= fed-Code einblenden


=> fed-Code einblenden fed-Code einblenden




 wie gehe ich nun weiter vor und was heißt eigentlich konkret hier fed-Code einblenden
wieso soll eine Norm von einer Matrix konvergieren ?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
svrc
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 54
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-10-01


Hallo Uchiha-madara,

\(\Delta A\) ist die Störungsmatrix, welche auf die ungestörte Systemmatrix \(A\) addiert wird. Die Fehlerabschätzung, die du beweisen sollst, ist für hinreichend kleine Störungen der Matrix gültig, d.h. für \(\lVert \Delta A \rVert \to 0\). Außerdem brauchen wir letztere Voraussetzung, um die Anwendung der Neumannschen Reihe zu rechtfertigen.

Beachte beim Lemma zur Neumannschen Reihe, dass du eine unendliche Reihe und keine abbrechenden Partialsummen hast.

Viele Grüße
svrc



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
svrc
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 54
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-10-08


Ich möchte zumindest den ersten Aufgabenteil nicht unbeantwortet stehen lassen.

\(\textbf{Aufgabe:}\) Es ist zu zeigen, dass die Fehlerabschätzung
\[
\dfrac{\lVert \Delta x \rVert}{\lVert x \rVert} \leq \kappa \left( A \right) \cdot \dfrac{\lVert \Delta A \rVert}{\lVert A \rVert} + \mathcal{O} \left( \lVert \Delta A \rVert^2\right)
\] für \(\lVert \Delta A \rVert \to 0\) gilt.

\(\textbf{1.:}\) Es ist zu zeigen, dass
\[\Delta x = - \left( I - \left( - A^{-1} \cdot \Delta A \right) \right)^{-1} \cdot A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x\] gilt. Aus
\[\left( A + \Delta A \right) \left( x + \Delta x \right) = b\] folgt
\[A \cdot x + A \cdot \Delta x + \Delta A \cdot x + \Delta A \cdot \Delta x = b\] und wegen \(A \cdot x = b\) folgt somit
\[A \cdot \Delta x + \Delta A \cdot x + \Delta A \cdot \Delta x = 0.\] Hieraus ergibt sich bei Linksmultiplikation mit \(A^{-1}\) schließlich
\[\Delta x + A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x + A^{-1} \cdot \Delta A \cdot \Delta x = 0.\] Auflösen nach \(\Delta x\) liefert
\[\left( I + A^{-1} \cdot \Delta A \right) \cdot \Delta x = - A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x\] und somit
\[\Delta x = - \left( I - \left( - A^{-1} \cdot \Delta A \right) \right)^{-1} \cdot A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x\] unter der Voraussetzung, dass die Matrixnorm \(\lVert \Delta A \rVert << 1\) hinreichend klein ist.

\(\textbf{2.:}\) Es ist die gewünschte Fehlerabschätzung zu zeigen. Mit der Voraussetzung, dass die Matrixnorm \(\lVert \Delta A \rVert << 1\) hinreichend klein ist, kann auch angenommen werden, dass die Matrixnorm \(\lVert - A^{-1} \rVert \cdot \lVert \Delta A \rVert < 1\) ist, sodass das Lemma über die Neumannsche Reihe verwendet werden kann. Somit gilt
\[\begin{eqnarray*}
\Delta x & = & - \left( \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \left( - A^{-1} \cdot \Delta A \right)^{k} \right) \cdot A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x \\
         & = & - \left( I + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left( - A^{-1} \cdot \Delta A \right)^{k} \right) \cdot A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x \\
         & = & - A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x - \left( \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left( - A^{-1} \cdot \Delta A \right)^{k} \right) \cdot A^{-1} \cdot \Delta A \cdot x.
\end{eqnarray*}\] Anwenden von Normen auf beiden Seiten liefert nach Division durch die Norm \(\lVert x \rVert \not= 0\) und der Anwendung der Dreiecksungleichung
\[ \begin{eqnarray*}
\dfrac{\lVert \Delta x \rVert}{\lVert x \rVert} & \leq & \lVert A^{-1} \rVert \cdot \lVert A \rVert \cdot \dfrac{\lVert \Delta A \rVert}{\lVert A \rVert} + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \lVert A^{-1} \rVert^{k + 1} \cdot \lVert \Delta A \rVert^{k + 1} \\
                                                & \leq & \kappa \left( A  \right) \cdot \dfrac{\lVert \Delta A \rVert}{\lVert A \rVert} + \mathcal{O} \left( \lVert \Delta A \rVert^{2} \right).
 \end{eqnarray*} \] Dies beweist die Fehlerabschätzung unter Anwendung des Neumannschen Lemmas.

Ich hoffe, dass das zumindest Personen hilft, die später nochmal in diesen Thread schauen, um die Fehlerabschätzung für gestörte lineare Gleichungssysteme nachzuvollziehen.

Viele Grüße
svrc



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]