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    Analysis » Funktionalanalysis » Quader, Hüllreihen, warum ist die L^1-Norm nur eine Halbnorm?    		Druckversion
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    Autor
    Universität/Hochschule Quader, Hüllreihen, warum ist die L^1-Norm nur eine Halbnorm?
    Neymar
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-01


    Hallo alle zusammen,

    in einem Skript wird die Intergrationstheorie nicht über Maßtheorie aufgebaut, sondern über Funktionenräume (Approximation durch Treppenfunktionen).

    Hier eine Def. von Quader und der Halbnorm:


    Dann heißt es als Bemerkung: ,,Es liegt keine Norm vor: Es ist $\infty$ als Wert zugelassen, und aus $||f||_1 = 0$ folgt nicht $f=0$. Ein Beispiel für letzere Aussage ist die charakteristische Funktion eines Quaders $A$, der in einer Hyperebene enthalten ist. Man findet offene Quader beliebig kleiner Dicke. Daher ist das Infimum Null, aber die charakteristische Funktion $1_A$ ist nicht null."

    $>$ Ich verstehe leider noch nicht, wie ein Quader $\subset \mathbb R^n$ in einer Hyperebene enthalten sein kann. Auf der deutschsprachigen Wikipedia steht, dass z. B. im $\mathbb R^2$ Hyperebenen Geraden sind. Im $\mathbb R^2$ sind nun Quader Rechecke. Kein Rechteck (welche3s nicht nur ein Punkt ist) passt doch in eine Gerade, oder? Deshalb meine Verwirrung.

    -- Neymar

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    AnnaKath
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-01


    Huhu Neymar,

    betrachte doch einmal den Quader $[0,1] \times [0,0] \subset \mathbb{R}^2$.

    lg, AK.

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    Neymar
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-01


    Okay, das ist verständlich! :-)
    Ich habe noch eine Frage zu folgendem Lemma, das im Königsberger bewiesen wird:

    $>$ Ich hänge gerade an folgender Stelle: $I(\Phi)\geq v(A)\Rightarrow \left|\left| 1_A\right|\right|_1 \geq v(A)$. Wieso gilt die Implikation?


    -- Neymar

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    AnnaKath
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    Huhu Neymar,

    wenn für alle $s\in S\subset\mathbb{R}$ gilt, dass $s\geq c\in\mathbb{R}$; was weisst Du denn dann über die Beziehung zwischen $t =\inf S$ in Relation zu $c$?

    lg, AK.

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    Neymar
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-01


    Huhu AnnaKath,

    hmm. Also woran ich die ganze Zeit gedacht habe, ist, dass $\left|\left| 1_{A}\right|\right|_1 \leq I(\Phi)$. Welche Relation aber zwischen $\left|\left| 1_{A}\right|\right|_1$ und $v(A)$ dann gilt, kann man nich sagen, dachte ich ...


    -- Neymar

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    Neymar
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    Ist okay, ich habe es. Das Infimum ist die größte untere Schranke.
    Der Beweis geht nun wie folgt weiter:

    Mir sind mehrere Sachen noch nicht ganz klar, ich stelle erst einmal zwei Fragen:

    (i) Woher wissen wir, dass $\Phi(x)\geq 1$ ? Also per Def. einer Hüllreihe sind die $c_k\in \mathbb R_{\geq 0}$, i. e. die $c_k$ können auch $10^{-6}$ sein ...

    (ii) Einen Teilsatz sieht man nicht auf dem Screenshot: Es wird behauptet, dass aus $I(\Phi) = \dots \geq (1-\epsilon)v(A)$ bereits $(\star)$ folgt. Aber wie kann es denn sein? Immerhin ist $(1-\epsilon)v(A) = v(A) - \epsilon v(A) \leq v(A)$ und nicht $\geq v(A)$.

    Danke im Voraus!

    -- Neymar

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