Die Mathe-Redaktion - 18.02.2020 17:46 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 724 Gäste und 17 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Wauzi
Elementare Zahlentheorie » Zahlen - Darstellbarkeit » quadratfreie Zahl - Darstellung
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J quadratfreie Zahl - Darstellung
LisaB
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.01.2018
Mitteilungen: 43
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-01


Hallo!

\( \text{Sei } a \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \}. \text{ Dann ist zu zeigen, dass } a =x n^{2} \text{, wobei } x \text{ eine quadratfreie Zahl und  } n \text{ eine natürliche Zahl ungleich Null ist}.   \)

Ich habe es mit einer Fallunterscheidung versucht, falls \(a\) eine quadratfreie Zahl ist, dann ist
\(a = a * 1^2\). Jetzt nehmen wir an, dass \(a\) nicht quadratfrei ist. Für jede Zahl \(> 1\) existiert dann eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen, somit also auch für \(a\) ....
Kann ich denn mit diesem Ansatz weiterarbeiten?

Vielen Dank!



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Zwerg_Allwissend
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 02.12.2013
Mitteilungen: 215
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-01


2019-10-01 21:19 - LisaB im Themenstart schreibt:
Hallo!

\( \text{Sei } a \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \}. \text{ Dann ist zu zeigen, dass } a =x n^{2} \text{, wobei } x \text{ eine quadratfreie Zahl und  } n \text{ eine natürliche Zahl ungleich Null ist}.   \)

Was heißt denn "quadratfrei"? Wenn "x quadratfrei gdw. x^1/2 nicht in Z" bedeuten soll, dann ist die Behauptung falsch und folglich nicht beweisbar. Für a = 1 gilt x = n = 1. Aber 1^1/2 = 1.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5483
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-01


2019-10-01 21:42 - Zwerg_Allwissend in Beitrag No. 1 schreibt:
Was heißt denn "quadratfrei"? Wenn "x quadratfrei gdw. x^1/2 nicht in Z" bedeuten soll, ...

Hallo Z_A,

nein, das bedeutet es nicht. "x quadratfrei" bedeutet, dass x durch keine Quadratzahl teilbar ist.

@LisaB: Das mit der Primfaktorzerlegung ist ein guter Ansatz.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
LisaB
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.01.2018
Mitteilungen: 43
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-01


und wie kann ich von der eindeutigen Darstellung aus weitermachen? Mir ist bewusst, dass dann mindestens zwei Primfaktoren (da \(a\) nicht quadratfrei) existieren müssen, die gleich sind ...



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
LukasNiessen
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 30.09.2019
Mitteilungen: 74
Aus: Rheinland-Pfalz, Asbach
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-01


Ich empfehle hier ein induktives Argument. smile

Edit:

Besser wäre wohlbemerkt aber, dass man zeigt, dass eine Kette von "Reduzierungen" endlich sein muss. Ich möchte nicht zu viel verraten, der Begriff gibt aber einen Anstoß.


-----------------
Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne bei Fragen. smile



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wauzi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11372
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-01


lHallo,
ist a quadratfrei ist alles klar.
Wenn nicht, gibt es mindestens eine Quadratzahl, die a teilt.
Sei von allen Quadratteilern n2 der größte.
Dann betrachte a/n2 Dies ist quadratfrei.
(Begründung: Folgere aus dem Gegenteil einen Widerspruch zur Maximaliät von  n2)
Gruß Wauzi






-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
LisaB
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.01.2018
Mitteilungen: 43
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-02


Wir nehmen also an, dass \(  \frac{a}{n^2} \) nicht quadratfrei ist und damit folgern wir einen Widerspruch zur Maximalität von \(n^2\) ?
Die Schritte sehe ich hier leider nicht ganz ein ...



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
LukasNiessen
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 30.09.2019
Mitteilungen: 74
Aus: Rheinland-Pfalz, Asbach
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-02


Nimm an es ist nicht quadratfrei.

Dann nimmst du irgendein solches Quadrat raus. Dabei wird der Rest offenbar echt kleiner.

Induktiv sieht man nun:
(a*a)*(b*b)=(a*b)*(a*b)
Dass alle, egal wie viele, herausgezogene Quadrate zusammen ein Quadrat bilden. Hier eben genannt: n^2

Im Grunde ist das bereits die Lösung, aber es ist unsauber formuliert und es sind ein paar Schritte nicht notiert worden, weshalb ich das nicht als Lösung sehe, sondern als (starken) Tipp.

Versuch das zu verstehen und dir den Beweis Ganz auszuformulieren.


-----------------
Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne bei Fragen. :-)



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-10-02


2019-10-02 00:04 - LisaB in Beitrag No. 6 schreibt:
Wir nehmen also an, dass \(  \frac{a}{n^2} \) nicht quadratfrei ist und damit folgern wir einen Widerspruch zur Maximalität von \(n^2\) ?
Die Schritte sehe ich hier leider nicht ganz ein ...

Sei $m^2 \mid a/n^2$. Dann ist $m^2 n^2 \mid a$. Kommst du hier weiter?

2019-10-01 22:28 - LisaB in Beitrag No. 3 schreibt:
und wie kann ich von der eindeutigen Darstellung aus weitermachen?

Schreibe $a = \pm p_1^{k_1} \dotsc p_n^{k_n}$ mit Primzahlen $p_i$ und natürlichen Zahlen $k_i$. Schreibe jetzt $k_i = 2 u_i + v_i$ für $v_i \in \{0,1\}$ und schreibe $a$ anders auf.

Zur Übung gehe das Vorgehen dann einmal mit $a = 4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9$ durch.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
LisaB
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.01.2018
Mitteilungen: 43
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-02


Vielen Vielen Dank, ich sehe jetzt ein, dass wir einen Widerspruch erhalten, weil wir eine größere Quadratzahl ( \( (n*m)^2  \) ) gefunden hätten, die \( a \) teilt und das ist nicht möglich, da \( n^2 \) bereits der maximalste Teiler ist...



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-10-02


Genau!

Aber es ist kein wirklicher Widerspruchsbeweis. $a/n^2$ quadratfrei bedeutet: $m^2 \mid a/n^2 \implies m^2 = 1$. Und das zeigt man hier mit Hilfe der Maximalität von $n^2$. Die liefert nämlich $m^2 n^2 \leq n^2$.

PS: Das Wort "maximalst" gibt es nicht.  wink



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
LisaB hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
LisaB hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]