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Mathematik » Stochastik und Statistik » Welche dieser Mengen sind σ-Algebren?
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Autor
Universität/Hochschule J Welche dieser Mengen sind σ-Algebren?
EpsilonDelta
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.12.2011
Mitteilungen: 1319
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-05


Folgende Mengen sind gegeben:

\[\mathcal{A}=\{A\subset\mathbb{R}\colon A=-A\}\text{ where }-A=\{-a\colon a\in A\} \\

\mathcal{A}=\{A\subset\mathbb{R}\colon A=A+1\}\text{ where }A+1=\{a+1\colon a\in A\}\\

\mathcal{A}=\{A\subset\mathbb{R}\colon A=2A\}\text{ where }2A=\{2a\colon a\in A\}\\

\mathcal{A}=\{A\subset\mathbb{R}\colon A \text{ or } A^c \text{ is uncountable}\}\\

\mathcal{A}=\{A\subset\mathbb{R}\colon A \text{ or } A^c \text{ contains an interval of positive length}\}\\

\mathcal{A}=\{A\subset\mathbb{R}\colon \inf A\ne \inf A^c\}\]
Ich werde (vorerst) nur grob meine Lösungen beschreiben und sollte diese falsch sein, dann erst ins Detail gehen.

1-4: Sind \(\sigma\)-algebren.  
5-6: Keine \(\sigma\)-algebren: \(\sigma\)-additivität nicht gültig. Hier habe ich immer Abzählungen der rationalen Zahlen verwendet, die Vereinigung, also die rationalen Zahlen selbst, haben dann nicht mehr die gewünschte Eigenschaft erfüllt.

Gerne liefere ich Details, alles auf einmal ist jedoch sehr umständlich.



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4056
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-05


Das ist soweit richtig.

Die Beispiele 1-3 kann man natürlich anhand eines allgemeinen Beispiels zusammenfassen: Für jede Bijektion $f : X \to X$ ist $\{A \subseteq X : f(A) = A\}$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$.



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EpsilonDelta
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Dabei seit: 12.12.2011
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-05


Danke, das ist eine sehr schöne Verallgemeinerung!

Ich bin mir bei Beispiel 4 jetzt doch nicht so sicher. Angenommen wir haben Mengen $A_i$ und bilden die Vereinigung $\bigcup_{i\in\mathbb{N}}A_i$ Dann folgt, falls alle $A_i$ nicht abzählbar sind, dass natürlich die Vereinigung nicht abzählbar ist.

Falls aber für mindestens ein $A_j$ gilt, dass $A_j^c$ nicht abzählbar ist, so komme ich nicht zum Ergebnis, dass die Vereinigung wieder in der Menge liegt. Betrachte mal den Fall, wenn alle $A_j^c$ nicht abzählbar sind!



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4056
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-05


Wenn alle $A_i$ abzählbar sind, ist die Vereinigung $A$ abzählbar.

Andernfalls ist ein $A_i$ ko-abzählbar, womit ich meine, dass das Komplement $X \setminus A_i$ abzählbar ist. Nun gilt aber $X \setminus A \subseteq X \setminus A_i$. Also ist auch $A$ ko-abzählbar.



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EpsilonDelta
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.12.2011
Mitteilungen: 1319
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-05


Wieso argumentierst du hier mit abzählbar? Es muss die Menge nicht abzählbar oder das Komplement nicht abzählbar sein. Es kann sein, dass keines der Mengen in der Vereinigung abzählbar ist.

Was genau passiert im Fall, wenn für alle $A_i$ das Komplement überabzählbar ist? Wieso ist dann die Vereinigung in der sigma-algebra?



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4056
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-05


Es geht um das Mengensystem {A : A ist abzählbar oder ko-abzählbar}.

Also muss man für eine Folge von Mengen Ai in diesem Mengensystem prüfen, ob ihre Vereinigung wieder im Mengensystem ist.

Das bedeutet: jedes Ai ist abzählbar oder ko-abzählbar.

Natürlich hat nicht jede Menge diese Eigenschaft, aber das ist hier irrelvant.



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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 726
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-10-05


2019-10-05 20:04 - Triceratops in Beitrag No. 5 schreibt:
Es geht um das Mengensystem {A : A ist abzählbar oder ko-abzählbar}.

Die Aufgabe war anders formuliert:

2019-10-05 13:05 - EpsilonDelta im Themenstart schreibt:
$\mathcal{A}=\{A\subset\mathbb{R}\colon A \text{ or } A^c\text{ is }\color{red}{\text{un}}\text{countable}\}$

Wenn die Aufgabenstellung stimmmt, muss man sich nur daran erinnern, dass für eine Teilmenge $A\subset\mathbb{R}$ nicht $A$ und $A^c$ beide abzählbar sein können.

--zippy



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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-06


Ups, da habe ich mich verlesen.
 
Mit der Fassung wären dann allerdings alle Teilmengen in der Algebra drin, was etwas langweilig ist.



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EpsilonDelta
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.12.2011
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-06


Jetzt ist alles klar, danke  smile



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