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Analysis » Maßtheorie » Halboffene Quader und Ringe
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Universität/Hochschule J Halboffene Quader und Ringe
Kingtom2
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.05.2019
Mitteilungen: 54
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-10


Hallo mal wieder;) ich habe folgende Aufgabe:

Zeigen Sie für den Ring R auf R^d:

a) Jede endliche (nicht notwendig disjunkte) Vereinigung halboffener Quader in R^d liegt in R
b) Für halboffene Quader A Teilmenge von B gilt: B\A ist in R
c) Für halboffene Quader A,B Teilmengen des R^d gilt: A vereinigt B ist in R

R ist hier der von den halboffenen Quadern erzeugte Ring.

Kann mir hierbei jemand helfen? Ich kann man mir die aussagen schon bildlich vorstellen aber ich habe keine Ahnung wie da einen Beweis aufstellen soll.

PS: Entschuldigt, ich hab das mit den mathematischen Zeichen noch nicht so raus.



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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2442
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-11


Hallo,

wie habt ihr denn einen Ring definiert? Das musst du nutzen.



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4031
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-11


Ich vermute, dass bei c) der Durchschnitt (nicht die Vereinigung) gemeint ist, weil ja ansonsten das ein trivialer Spezialfall von a) wäre.
 
Kurioserweise hat die Aufgabe wenig, oder besser gesagt, gar nichts mit halboffenen Quadern oder dem euklidischen Raum zu tun.

Wenn $X$ irgendeine Menge, $S$ ein Mengensystem auf $X$ und $R$ der von $S$ erzeugte Mengenring ist (relevant ist hier aber nur, dass $R$ ein Ring mit $S \subseteq R$ ist), dann gilt:

a) Jede endliche (nicht notwendig disjunkte) Vereinigung von Mengen in $S$ liegt in $R$
b) Für $A,B \in S$ mit $A \subseteq B$ ist $B \setminus A$ in $R$ enthalten
c) Für $A,B \in S$ gilt $A \cap B \in R$.
 
Und all das folgt (wie ochen bereits angedeutet hat) direkt aus der Definition eines Mengenringes.




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Kingtom2
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.05.2019
Mitteilungen: 54
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-12


Erstmal danke für die Antworten.
Muss ich also nur zeigen dass zwei halboffene Quader in dem durch halboffene Quader erzeugten Ring liegen (was ja trivial ist)?
Daraus folgen dann die Eigenschaften des Rings
Irgendwie verwirrt mich das grad alles. Was wäre denn da der Sinn der Aufgabe?

Bitte etwas konkretere Hilfe;)



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ochen
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Dabei seit: 09.03.2015
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-12


Du sollst das zeigen, was in der Aufgabenstellung von dir verlangt wird. Das bedeutet, dass du als erstes zeigst, das die Vereinigung von endlich vielen Elementen des Rings wieder im Ring liegt.

Dazu nutzt du eine der Eigenschaften eines Rings, welche? Was ein Ring ist, steht hier: de.wikipedia.org/wiki/Ring_(Mengensystem)
Noch konkretere Hinweise wirst du nicht bekommen, ohne dass man dir gleich die Lösung schreibt.



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Kingtom2
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-12


Danke, aber das ist leicht gesagt, wenn man weiß wie’s geht. Mir fällt es doch recht schwer und ich versuche nun schon lange mit der Definition eines Rings diese Aufgabe zu lösen.
Die Definition war mir auch schon vorher bekannt und wenn ich wüsste wie ich damit umgehen soll dann hätte ich wohl nicht gefragt.
Ich möchte hier keine Lösung haben. Ich möchte lediglich verstehen was ich tun muss.
Das mit den halboffenen Quadern verwirrt mich ziemlich und du sagst mir quasi ich soll das außer acht lassen? Inwiefern kann ich das?



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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-10-12


Ok, seien $A,B,C\in \mathcal R$, warum ist dann $A\cup B\cup C\in \mathcal R$? Wieso ist der Ausdruck $A\cup B\cup C$ überhaupt wohldefiniert?



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Kingtom2
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13


Meine Idee wäre
AUBUC =  (AU(B\A)) U ((C\A)\B)

Ich weiß das A, (B\A), (C\A) und B in dem Ring sind.
Also ist auch AU(B\A) und (C\A)\B in dem Ring (per Definition)
Und damit letztlich (AU(B\A)) U ((C\A)\B).



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Theodore_97
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Mitteilungen: 13
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-10-13


Hallo Kingtom2. Lasse dich von der konkreten Beschreibung des Ringes durch die halb-offenen Quader nicht irritieren. Löse das Problem abstrakt. Du musst also nicht versuchen, dir irgendwelche Gleichungen von Mengen, geometrisch erdacht, zusammen zu basteln.

Sei $R\subset 2^\Omega$ ein Ring über $\Omega$ (im Konkreten ist $\Omega = \mathbb{R}^d$ und $R$ der Ring der halb-offenen Quader) - dabei meint $2^\Omega$ die Potenzmenge von $\Omega$. $R$ ist also nichts weiter als ein System von Teilmengen $\subset \Omega$ mit den Ringeigenschaften, die du sicherlich kennst. Deine Aufgabe ist es nun zu zeigen, was Triceratops in Beitrag 2 erwähnt hat.

Nein, du machst es unnötig kompliziert. Für $A, B\in R$ ist per Definition $A\cup B \in R$. Was folgt daraus für $A\cup B \cup C = (A\cup B)\cup C$, wenn $A,B,C \in R$?



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Kingtom2
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.05.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13


Ist es tatsächlich so einfach dass ich sagen kann (AUB) ist im Ring und C ist Element des Rings also ist die Vereinigung dieser beiden Mengen (AUB)UC wiederum im Ring enthalten nach den Eigenschaften eines eben solchen Rings.?



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Kingtom2
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.05.2019
Mitteilungen: 54
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13


Das ließe sich dann ja induktiv für weitere endliche Vereinigungen zeigen.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-10-13


So ist es :)



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Kingtom2
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13


Ok vielen Dank. Dann ist das ganze ja doch nicht so kompliziert wie ich dachte;)



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