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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Menge d. bijektiven Abbildungen / Verknüpfung nicht kommutativ
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Autor
Universität/Hochschule Menge d. bijektiven Abbildungen / Verknüpfung nicht kommutativ
raede
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 21
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-13


Hallo zusammen

Ich muss folgendes zeigen:

Sei X eine Menge und S(X) die Menge der bijektiven Abbildungen X → X.
Falls X mindestens drei Elemente hat, dann ist S(X) mit der Verknüpfung ◦ nicht kommutativ.

Folgendes habe ich bereits:

Sei die Menge X = {a,b,c} so gibt |X| ! bijektive Abbildungen. Also in meinem Fall 3! = 6 bijektive Abbildungen.

Bei diesen bijektiven Abbildungen habe ich folgendes erkannt:

f1 = {(a→a),(b→b),(c→c)}

Egal welche der anderen bijektiven Abbildungen ich mit f1 verknüpfe, ist die Verknüpfung kommutativ. Ich nehme an, dass dies so ist, weil f1 jeweils auf das gleiche Element abbildet.

Erkannt habe ich, dass es eine Verknüpfung erst dann nicht kommutativ ist, wenn die erste bijektive Abbildung ein Element besitzt, welches auf sich selber abgebildet wird. Die zweite bijektive Abbildung darf einfach nicht f1 sein.

Sind meine Überlegungen richtig? Ich habe Mühe dies mathematisch aufzuschreiben.

Vielen Dank für die Hilfe.




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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2147
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-13

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

für den Fall \(n=2\) ist die Kommutativität trivial und schnell gezeigt (nimm dafür etwa deinen vorigen Thread).

Für den Rest kannst du wieder \(n=3\) durch Nachrechnen zeigen (Tipp: es handelt sich um Permutationen, wenn bekannt, kannst du die Zykelschreibweise verwenden). Und dann kann man wieder so argumentieren, dass es für \(n>3\) auch nicht sein kann.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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