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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Höhen auf projektivem Raum
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Universität/Hochschule Höhen auf projektivem Raum
xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-13

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$\DeclareMathOperator{\deg}{deg}$
Hallo zusammen.
Beim lesen des Kapitels über den Satz von Mordell-Weil in dem Buch von Mumford bin ich auf ein paar Fragen zu Höhen auf dem Projektiven Raum gestoßen.

Sei $K$ ein algebraischer Zahlenkörper und sei $\P^n(K)$ der Projektive Raum über $K$.
Die Höhe eines Punktes $x=[x_0;\pts;x_n]\in \P^n(K)$ wird definiert als
$h(x)=\frac{1}{[K\colon \Q]}\sum_{v}n_v \max(\log(\abs{x_i}_v))$, wo $v$ die Stellen von $K$ durchläuft und $n_v=[K_v\colon \Q_v]$ gesetzt wird, wo $K_v,\Q_v$ die Vervollständigung von $K,\Q$ bezeichnet.

Es wird dann bewiesen, dass dann für jedes $C>0,d>0,d\in\Z$ die Anzahl der Punkte $x\in \P^n(K)$ mit Höhe  $h(x)\leq C$ und $\deg K(x)\leq d$ endlich ist.

Ich verstehe nicht, was $\deg(K(x))$ sein soll, zumal weiter unten im Beweis dann von $\deg k(x)$ die Rede ist.

Mir ist klar, dass man in der Algebraischen Geometrie den Grad eines Punktes $x\in X$ definieren kann durch $\deg(x)\colon\defeq [\kappa(x)\colon K]$, wenn $X$ ein Schema über $K$ ist und $x$ ein abgeschlossener Punkt.

Wenn das der Fall ist, dann macht die Aussage aber nur Sinn, wenn man $x\in \P^n(\cl{K})$ annimmt, denn wenn $x$ ein $K$-wertiger Punkt von $\P_K^n$ ist, dann gilt ja $\kappa(x)=K$ und folglich $\deg(x)=1$.

Man könnte einen Punkt $[x_0;\pts;x_n]\in \P^n(K)$ ja mit einem Punkt des Schemas $\P^n_K$ identifizieren. Sei $\pr$ das entsprechende Primideal.

Dann wäre der Grad von $x$ der Grad der Erweiterung $\kappa(\pr)=\Frac(K[X_0\pts X_n]/\pr)$. Falls $x$ ein abgeschlossener Punkt ist, dann wäre das Primideal von der Form $(X_0-x_0\cos X_n-x_n)$ und $\kappa(x)\cong K(x_0\cos x_n)$. Der Grad von $x$ wäre dann wenn ich mich nicht irre die Anzahl der algebraisch unabhängigen $x_i$ unter den $x_0\cos x_n$.  

Meine zweite Frage ist, was mit "Wahl der Koordinaten" gemeint ist.
EDIT:
Meine zweite Frage ist, was mit einem "fixierten System von Koordinaten von $\P^n$" gemeint ist. Dieser Begriff taucht in einer Proposition in dem oben genannten Kapitel auf.

Ist der projektive Raum von dem hier die Rede ist nicht die $K$-wertigen Punkte von $\P_K^n$? Was genau versteht man unter einer "Wahl von Koordinaten"?
Ist das die Wahl einer Basis auf dem $K$-Vektorraum $K^{n+1}$?

Vielen Dank für eure Hilfe!
XST






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