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Analysis » Funktionen » Lokale Injektivität auf kompaktem Intervall
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Universität/Hochschule Lokale Injektivität auf kompaktem Intervall
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-13


Guten Abend zusammen

Ich muss folgende Aussage beweisen: Ist die Funktion \([a,b]\to\mathbb{R}
\) lokal injektiv and stetig, so ist sie injektiv.

Meine Idee ist es beim Punkt a zu starten und da es ja lokal injektiv ist, folgt dass es in einer Umgebung \(\epsilon\) auch injektiv ist (also streng monoton) ist. Man begibt sich nun zum Rand dieser Umgebung und führt dort dasselbe nochmals durch, also wieder existiert eine Umgebung in dieser f lokal injektiv (also streng monoton) ist und immer so weiter, bis man schlussendlich bei b ist und man so gezeigt hat, dass das Intervall \([a,b]\) streng monoton und die Funktion darauf ist, folg also das f injektiv ist.

Ich habe aber leider keine Ahnung wie ich dies nun sauber mathematisch darstellen, sprich aufschreiben kann..

Vielen Dank

Math_user



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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-13


Leider funktioniert diese Idee nicht, weil nicht garantiert ist, dass du damit wirklich den rechten Rand $b$ erreichst. Die epsilons könnten ja wie eine geometrische Reihe wachsen (oder sogar noch langsamer) und sich dadurch nicht ausreichend aufsummieren. Siehst du, was ich meine?
 
Tipp: Wähle für jeden Punkt $x$ ein offenes Intervall $U_x$ um $x$, auf dem $f$ injektiv ist. Nun ist $[a,b]$ kompakt. Also ...



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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-13

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Hallo Math_user,

deine Idee hat erstmal einen kleinen Haken: Eventuell werden diese Umgebungen so schnell so klein, dass du nie bei $b$ ankommst. wenn wir das Intervall $[0,1]$ anschauen, dann könnte die Umgebung um 0, in der $f$ lokal injektiv ist, zum Beispiel $[0,\frac{1}{4})$ sein. Die Umgebung von $\frac{1}{4}$ könnte dann $(\frac{1}{8},\frac{3}{8})$ sein. Die Umgebung von $\frac{3}{8}$ ist dann $(\frac{5}{16},\frac{7}{16})$. Der Rand von der Umgebung einfach immer so gewählt, dass er nicht $\frac{1}{2}$ überschreitet. Dann kommst du so nie bei 1 an.

Du kannst deine Idee aber trotzdem umsetzen, indem du die Überdeckungskompaktheit von $[a,b]$ verwendest.

Alternativ kannst du überlegen, wo denn die Extrema von $f$ lägen, wenn $f$ nicht injektiv wäre, und ob das mit der lokalen Injektivität vereinbar wäre.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13


2019-10-13 19:11 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Leider funktioniert diese Idee nicht, weil nicht garantiert ist, dass du damit wirklich den rechten Rand $b$ erreichst. Die epsilons könnten ja wie eine geometrische Reihe wachsen (oder sogar noch langsamer) und sich dadurch nicht ausreichend aufsummieren. Siehst du, was ich meine?
 
Tipp: Wähle für jeden Punkt $x$ eine Umgebung $U_x$, auf dem $f$ injektiv ist. Nun ist $[a,b]$ kompakt. Also ...

Guten Abend Triceratops

Vielen Dank für deine schnelle Antwort, ich sehe deinen Input jedoch wissen wir, dass f stetig auf eine kompaktes Intervall, ein Minimum und ein Maximum annimmt. Nehmen wir nun an \(f(x)=f(y)\), jedoch ist \(x\neq y\). Können wir dann sagen, dies nicht möglich, da in jedem Punkt \(x\in(a,b)\) in einer Umgebung \(\epsilon\)es streng monoton ist und somit nicht möglich sein kann? Gut es kann ja pro Punkt monoton fallend oder steigend sein, oder?  confused

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-13


Ich sehe nicht, worauf du hinauswillst.
 
Wie wäre es, wenn du meinen Ansatz weiterführst? Du scheinst ihn nicht wirklich beachtet zu haben.

Zur Erinnerung: Kompaktheit heißt, dass jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13


2019-10-13 19:11 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Tipp: Wähle für jeden Punkt $x$ ein offenes Intervall $U_x$ um $x$, auf dem $f$ injektiv ist. Nun ist $[a,b]$ kompakt. Also ...

Habe deinen Tipp gar nicht gesehen, tut mir leid. Wir wissen, da \(f\) ja lokal injektiv ist, existiert ein offenes Intervall \(U_x\) auf dem \(f\) injektiv ist oder? Jedoch habe ich grosse Mühe aktuell noch mit der Topologie, kannst du mir schnell helfen mit "Kompaktheit heißt, dass jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt." was ist dem genau gemeint?



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13





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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13


Komme gerade echt nicht weiter, wäre froh um einen Denkanstoss :)



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H4nsus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-10-13


Hey Math_User,

ich würde es über den von Vercassivelaunos vorgeschlagenen alternativen Weg machen.

Angenommen Minimum und Maximum liegen auf dem Rand, sprich auf a und b. Was kannst du dann aus der Stetigkeit und der lokalen Injektivität folgern...?

Angenommen eines der beiden Extrema liegt im Inneren, sprich in (a,b). Dann entsteht ein Widerspruch zu was...?

Gruß



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-10-13

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Ich bin mir gerade etwas unsicher, was du mit dem ersten Satz meinst. Es sollte heißen: Wenn f nicht injektiv ist, dann existiert im Innern von $[a,b]$ ein Extremum. Und das müsste dann noch genauer begründet werden. Der zweite Teil ist dann auch richtig, also dass das Extremum im Innern nicht mit der lokalen Injektivität übereinstimmen kann, weil es dafür streng monoton sein müsste.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13


2019-10-13 23:22 - H4nsus in Beitrag No. 8 schreibt:
Hey Math_User,

ich würde es über den von Vercassivelaunos vorgeschlagenen alternativen Weg machen.

Angenommen Minimum und Maximum liegen auf dem Rand, sprich auf a und b. Was kannst du dann aus der Stetigkeit und der lokalen Injektivität folgern...?

Angenommen eines der beiden Extrema liegt im Inneren, sprich in (a,b). Dann entsteht ein Widerspruch zu was...?

Gruß

Aus dem Satz min/max, wissen wir es existiert ein Minimum and ein Maximum auf dem kompakten Intervall \([a,b]\), nehmen wir zuerst an, es ist auf dem Rand, sprich auf a und b, dann weil x stetig ist, nimmt es alle Werte zwischen dem Min. and dem Max. an und da in jedem Punkt \(x\in(a,b)\) x lokal stetig ist, folgt das f global stetig ist auf \([a,b]\), würde dies stimmen?



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13


Nehmen wir nun an, ein Extremum befindet sich im inneren von \([a,b]\). Können wir annehmen, da aus dem Min/Max folgt, dass auf dem kompakten Intervall \([a,b]\) ein Minimum und ein Maximum geben muss. Aus der lokalen Injektivität in jedem Punkt \(x\in(a,b)\) folgt ein Wiederspruch, da aus der Stetigkeit jeder Wert zwischen \(f(a)\) und \(f(b)\) angenommen werden muss, so aber f nicht lokal injektiv sein kann in allen \(x\in(a,b)\). Aber wie kann ich nun dies sauber mathematisch formulieren?  



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-10-14


Hallo,

man versteht gar nicht, was du meinst. Wenn du diesen Ansatz verfolgst, beginne so:

Sei $f\colon [a,b]\to \mathbb{R}$ stetig und lokal injektiv. Wir wollen zeigen, dass $f$ auch global injektiv ist. Also nehmen wir an, dass sie es nicht ist. Das bedeutet, dass es $x,y\in [a,b]$ mit $x<y$ und $f(x)=f(y)$ gibt. Da $[x,y]$ kompakt ist und $f$ stetig ist, gibt es ein $t_0\in[x,y]$ mit
\[f(t_0)=\sup\{f(t)\mid t\in[x,y]\}.\] Da $f$ lokal injektiv ist, gibt es eine Umgebung um $t_0$ ...


Für den anderen Weg fängst du so an:
Sei $f\colon [a,b]\to \mathbb{R}$ stetig und lokal injektiv. Da $f$ lokal injektiv ist, gibt es um jeden Punkt $x$ eine Umgebung $U_x$, sodass $f$ eingeschränkt auf $U_x$ injektiv ist. Wir betrachten nun die Überdeckung von $[a,b]$ durch alle $U_x$ mit $x\in [a,b]$:
\[[a,b]\subseteq\bigcup_{x\in[a,b]}U_x\] Da $[a,b]$ kompakt ist, können wir endlich viele Mengen auswählen, sodass $[a,b]$ weiterhin überdeckt bleibt ...


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