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Mathematik » Analysis » Sei der metrische Raum X folgenkompakt, liegen dann alle Häufungspunkte in X?
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Autor
Universität/Hochschule J Sei der metrische Raum X folgenkompakt, liegen dann alle Häufungspunkte in X?
Sambucus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-15


Definition:
Ein metrischer Raum $X$ heißt folgenkompakt, wenn jede Folge in $X$ einen Häufungspunkt besitzt.

Angenommen $X$ ist folgenkompakt.
Sei also $(a_n)$ eine beliebige Folge in $X$, dann gibt es aufgrund der Folgenkompaktheit von $X$ eine konvergente Teilfolge $(a_{n_{k}})$.
Definiere $a:=\lim\limits_{k \to \infty} a_{n_{k}} $.

In einem Beweis wurde nun benutzt, dass $a\in X$, aber warum soll im Allgemeinen der Häufungspunkt in $X$ liegen, wo steht das in der Definition???



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-15


Beachte das Wörtchen "in" in "in X einen Häufungspunkt".



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Sambucus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-15


2019-10-15 13:38 - Orthonom in Beitrag No. 1 schreibt:
Beachte das Wörtchen "in" in "in X einen Häufungspunkt".

Ich dachte damit wäre einfach gemeint dass die Folgenglieder in $X$ enthalten sind...


Die gleiche Formulierung kenne ich halt, wenn man ausdrücken möchte, dass die einzelnen Folgenglieder in $X$ enthalten sind und sonst nichts weiter aussagt.
Findet ihr das nicht missverständlich?



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-15


Du hast recht, das kann mißverständlich sein und ist nicht ganz klar formuliert.
Aber mit folgenkompakt ist gemeint, dass auch dieser Häufungspunkt
in X liegen muß.



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Sambucus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-15


2019-10-15 13:52 - Orthonom in Beitrag No. 3 schreibt:
Du hast recht, das kann mißverständlich sein und ist nicht ganz klar formuliert.
Aber bei folgenkompakt ist gemeint, dass auch dieser Häufungspunkt
in X liegen muß.

Super, danke für deine Hilfe :)



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ligning
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-15


Ich finde das nicht missverständlich. Ich bin absolut kein Analyiker und kenne die Gepflogenheiten nicht so, aber der Limes einer Folge in $X$ liegt per Definition in $X$. Man kann bei einer Folge in einem Teilraum $Y\subseteq X$ ggf. -- indem man sie als Folge in $X$ betrachtet -- davon sprechen, dass sie einen Limes in $X\setminus Y$ besitzt. Aber hier ist $X$ alles, es gibt gar kein "außerhalb".

(Das ist jetzt aus der Sicht der Teilfolge gesprochen. Für Häufungspunkte gilt das analog.)


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-10-15


Siehe etwa die Definition:
A subset S of X is sequentially compact if each sequence in S has
a convergent subsequence with a limit in S. The set S is relatively
sequentially compact if it satisfies the same condition except that the
limit need not be in S. (Megginson)
Also gibt es auch die ralative Version.
Dabei ist X jetzt ein topologischer Raum.



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