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Universität/Hochschule J Multilinearform
Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-16


Hallo zusammen,

ich hätte eine kurze Frage, da ich zu Multilinearformen noch nicht sehr viel gemacht habe und das einzig konkrete Beispiel, das ich gefunden habe, ist leider ohne Rechenweg:
\( \omega = x_1dx_1 \wedge dx_2 \\
X_1 = x_2 \frac{\partial}{\partial x_1} + 2 \frac{\partial}{\partial x_2} \\
X_2 = - \frac{\partial}{\partial x_1} + 5 \frac{\partial}{\partial x_2} \)
Ich weiß, dass das Ergebnis \( \omega(X_1,X_2) = 5x_1x_2 + 2x_1 \), allerdings weiß ich nicht, wie man das Ergebnis berechnet, ich habe nur eine Idee:
\( \omega(X_1,X_2) = x_1dx_1 \wedge dx_2 ( x_2 \frac{\partial}{\partial x_1} + 2 \frac{\partial}{\partial x_2} , - \frac{\partial}{\partial x_1} + 5 \frac{\partial}{\partial x_2} ) \)
Weiter komme ich allerdings nicht wirklich, sollte das überhaupt richtig sein, danke für Lösungsansätze oder andere Tipps jeglicher Art.

Schöne Grüße
Alif



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-18


Huhu Alif,

es ist \(\omega(X_1,X_2) = x_1 \begin{vmatrix} dx_1(X_1) & dx_1(X_2) \\ dx_2(X_1) & dx_2(X_2) \end{vmatrix}=x_1 \begin{vmatrix} x_2 & -1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}= x_1(5x_2+2)=5x_1x_2 + 2x_1\). Nicht wirklich schwierig, oder?

Falls du noch mal üben möchtest, könntest du ja mal für die Vektorfelder \(X=x\frac{\partial}{\partial x}+2xy\frac{\partial}{\partial y}\) und \(Y=y\frac{\partial}{\partial y}\) sowie die Differentialform \(\omega=(x^2+2y)\dd x+(x+y^2)\dd y\) nun \(\dd \omega\left(X,Y\right)\) berechnen. Dazu müsstest du natürlich erstmal \(\dd \omega\) berechnen. Falls dieses auch unbekannt ist, hilft vll ein Blick dorthin:

LinkÄußere Ableitung

Ich selbst schaue aber nur noch sporadisch hier rein (zur Kontrolle: das Ergebnis sollte \(-xy\) sein). Falls also noch Fragen sind, hilft vll jemand anderes weiter. Oder du lernst in der Zwischenzeit, wie man einen Igel an die Tafel malt

LinkSchön schreiben an der Tafel

oder amüsierst dich über sehr gelungene Lehrerwitze

LinkSorry, Witze

Ist das nicht toll?

Gruß,

Küstenkind



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Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-26


Danke Küstenkind für deine Antwort.
Ich habe die allgemeine Idee verstanden, es wird immer die n-dimensionale Determinante verwendet, was natürlich leicht umzusetzen ist.
Anbei die Lösung zu deiner Aufgabe:
\[d\omega = d((x^2 + 2y)dx + (x + y^2)dy) = d(x^2 + 2y)dx + d(x + y^2)dy = d(x^2 + 2y) \wedge dx + d(x + y^2) \wedge dy = (\frac{\partial}{\partial x} (x^2 + 2y)dx + \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + 2y)dy) \wedge dx + (\frac{\partial}{\partial x} (x + y^2)dx + \frac{\partial}{\partial y} (x + y^2)dy) \wedge dy = (2xdx + 2dy) \wedge dx + (dx + 2ydy) \wedge dy = - dx \wedge dy \\
d\omega (X,Y) = -det \begin{pmatrix} dx(x \frac{\partial}{\partial x} + 2xy \frac{\partial}{\partial y}) & dx(y \frac{\partial}{\partial y}) \\ dy(x \frac{\partial}{\partial x} + 2xy \frac{\partial}{\partial y}) & dy(y \frac{\partial}{\partial y}) \end{pmatrix} = -det \begin{pmatrix} x & 0 \\ 2xy & y \end{pmatrix} = -xy\] Sollte dir etwas auffallen, was nicht ganz korrekt ist, kannst du dich gerne nochmal melden, aber die grundlegende Idee habe ich verstanden.

Schöne Grüße
Alif



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-27


Huhu Alif,

gut gemacht! Freut mich, dass du dich noch mit der Aufgabe beschäftigt hast! Dir einen schönen Sonntag.

Gruß,

Küstenkind



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