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  Lampen und Verteilungen |
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Sasquatch
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Meine Aufgabe lautet wie folgt:
Wir betrachten eine ausgeschaltete Lampe mit zwölf Birnen. Vier Waagerecht und 3 Senkrecht. Schaltet man die Lampe an, leuchten zufällig und gleichverteilt genau vier Birnen auf. Bezeichne Xi die Anzahl der leuchtenden Birnen nach dem Anschalten in der i-ten Spalte (i = 1,2,3,4) und Yj die Anzahl der leuchtenden Birnen j = 1,2,3 in der j-ten Zeile.
a)Bestimmen Sie P(X1=x1, X2=x2, X3=x3, X4=x4) für x1, x2, x3, x4≥0, also die gemeinsame Verteilung von X1, X2, X3 und X4.
b)Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilung von Xi und Yj
Ich bin mir unsicher wie man Verteilungen berechnet. Ich weis wie ich die Wahrscheinlichkeiten dafür das eine, zwei, drei oder vier angehen berechne. Aber wie mache ich daraus eine Verteilung? Außer dem bin ich mir unsicher was mit den x1 2 etc gemeint ist. Sind dies die Wahrscheinlichkeiten das die Lampen angehen? Danke im Vorraus.
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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-16
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\(\begingroup\)\(
\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,
die \(x_i\) sind offensichtlich die Spalten-, die \(y_j\) die Zeilennummern (und damit gleichzeitig natürlich die Anzahl der leuchtenden Birnen in einer Spalte bzw. Zeile).
Ich denke, dass das letztendlich so gedacht ist, dass man die Verteilung als 4x3-Tabelle angibt und in Aufgabenteil a) eben zunächst mit den Randverteilungen beginnt.
Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten innerhalb der Tabelle sind ja bedingte Wahrscheinlichkeiten, etwa der Form \(P(X=x_i\big| Y=y_j)\).
EDIT:
sorry, das war ein unüberlegter Schnellschuss. Vergiss also diese Antwort wieder.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Sasquatch
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-16
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Also soll ich einfach eine Tabelle machen in der ich die Wahrscheinlichkeit für 1,2,3 oder 4 Lampen an reinschreibe?
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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
 | Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-16
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Hallo Sasquatch,
2019-10-16 18:06 - Sasquatch im Themenstart schreibt:
Außer dem bin ich mir unsicher was mit den x1 2 etc gemeint ist. Sind dies die Wahrscheinlichkeiten das die Lampen angehen?
Für feste Werte x1, x2, x3, x4 soll
P(X1=x1, X2=x2, X3=x3, X4=x4)
berechnet werden.
Offensichtlich ist
P(X1=x1, X2=x2, X3=x3, X4=x4) = 0,
wenn nicht x1 + x2 + x3 + x4 = 4 gilt.
Berechne jetzt beispielweise
P(X1=2, X2=1, X3=0, X4=1)
Und dann für alle anderen Möglichkeiten, bei denen x1 + x2 + x3 + x4 = 4.
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Sasquatch
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-16
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Tut mir Leid aber ich verstehe gerade nicht ganz was du meinst. Was beschreibt zB x1? Und was passiert wenn der Wert 2 ist? Ich dachte das es einfach bedeutet das die erste Lampe in der Reihe an ist.
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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-16
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\(\begingroup\)\(
\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,
die Zufallsvariable \(X1\) beschreibt, wie viele Lampen in der ersten Spalte brennen. \(X2\) die Anzahl in der 2. Spalte, usw.
Da ja insgesamt immer 4 Lampen brennen, muss also stets \(x_1+x_2+x_3+x_4=4\) gelten, genau so, wie StrgAltEntf oben ausgeführt hat.
Ich sehe im Moment keine andere Möglichkeit, als alle Wahrscheinlichkeiten möglicher Ereignisse konkret auszurechnen. Wobei es eine Vereinfachungsmöglichkeit gibt. Für ein (festes) Tupel \(x_1,x_2,x_3,x_4\) hat jede Permutation dieses Tupels die gleiche Wahrscheinlichkeit. Hast du also bspw. die Wahrscheinlichkeit \(P(X1=3,X2=1,X3=X4=0)\) berechnet, dann kennst du damit auch \(P(X1=1,X2=X3=0,X4=3)\) und eben jede andere Konstellation, bei der in einer Spalte 3 und in einer weiteren eine Lampe brennt.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Sasquatch
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-16
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Okay jetzt hab ich den Part verstanden. Wenn ich jetzt diese Wahrscheinlichkeiten berechnet hab bin ich dann fertig? Oder muss ich noch etwas tun um die Verteilung zu erhalten?
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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-16
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\(\begingroup\)\(
\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,
mit der a) bist du dann fertig.
Die b) verstehe ich so, dass man das für ein festes Paar \((i,j)\) berechnen soll (die Verteilung muss ja für alle 12 dieser Paare gleich sein).
Dazu benötigt man aber IMO jetzt auch noch die Verteilung für \(P(Y1=y_1,Y2=y_2,Y3=y_3)\), wobei hier jetzt die "Nebenbedingung" \(y_1+y_2+y_3=3\) heißt.
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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Sasquatch
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-16
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Erstmal Danke für die Hilfe. Ich erhalte bei der a) 4 Wahrscheinlichkeiten. Ich kann bei der B) die Wahrscheinlichkeiten auch berechnen aber wieso ist es jetzt =3? Es sind doch immernoch 4 Lampen an oder? Und was mach ich nachdem ich die Y wahrscheinlichkeiten hab?
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zippy
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2019-10-16
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\(\begingroup\)\(
\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-10-16 20:25 - Diophant in Beitrag No. 7 schreibt:
Dazu benötigt man aber IMO jetzt auch noch die Verteilung für \(P(Y1=y_1,Y2=y_2,Y3=y_3)\), wobei hier jetzt die "Nebenbedingung" \(y_1+y_2+y_3=3\) heißt.
Wozu sollte man die benötigen?\(\endgroup\)
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Diophant
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| Beitrag No.10, eingetragen 2019-10-16
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Hallo zusammen,
ganz kurz...
@Sasquatch:
Du hast Recht, natürlich muss auch hier theoretisch die Summe gleich 4 sein.
Aber: zippy hat mit ihrer Rückfrage ebenfalls völlig Recht, die Verteilung der Yj benötigt man nicht noch extra.
Gruß, Diophant
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Sasquatch
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-16
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Okay wenn ich die Yj nicht brauche was muss ich dann tun?
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zippy
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| Beitrag No.12, eingetragen 2019-10-16
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2019-10-16 21:42 - Sasquatch in Beitrag No. 11 schreibt:
Okay wenn ich die Yj nicht brauche was muss ich dann tun?
Wie hast du denn die Teilaufgabe (a) gelöst? Du solltest ja so etwas herausbekommen haben wie$$
P(X_1=x_1,X_2=x_2,X_3=x_3,X_4=x_4)=
{\displaystyle{3\choose x_1}{3\choose x_2}{3\choose x_3}{3\choose x_4}\over
\displaystyle{12\choose 4}}\;.
$$
Und für $P(X_i=x,Y_j=y)$ erhältst du mit einer analogen Überlegung eine ähnlich aussehende Formel.
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Sasquatch
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-16
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Ich hatte mir gedanken gemacht wie die Lampen verteilt sein können und habe explizit für die 4 möglichen Fälle die Wahrscheinlichkeit berechnet. Aber das scheint dann ja nicht richtig zu sein oder?
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zippy
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| Beitrag No.14, eingetragen 2019-10-16
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2019-10-16 22:03 - Sasquatch in Beitrag No. 13 schreibt:
Aber das scheint dann ja nicht richtig zu sein oder?
Auch dabei kann ja das Richtige herausgekommen sein. Schreib doch mal auf, was du gemacht hast.
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Sasquatch
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-16
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Ich mach es mal für einen Fall. X1=2 X2=2 X3=0 X4=0
Die Wahrscheinlichkeiten das in der ersten Spalte zwei Leuchten sind 3/12 und 2/11 und die Wahrscheinlichkeiten dafür das in der zweiten Spalte zwei Leuchten ist 3/10 und 2/9. Wenn man diese nun Multipliziert erhält man 36/11880 wenn ich mich nicht vertan hab. Ich wüsste aber nicht wie ich so bei0 der b) vorgehe.
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zippy
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| Beitrag No.16, eingetragen 2019-10-16
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2019-10-16 22:18 - Sasquatch in Beitrag No. 15 schreibt:
Die Wahrscheinlichkeiten das in der ersten Spalte zwei Leuchten sind 3/12 und 2/11 und die Wahrscheinlichkeiten dafür das in der zweiten Spalte zwei Leuchten ist 3/10 und 2/9.
Wie kommst du denn auf diese Brüche?
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Sasquatch
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-16
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Jede Reihe hat drei Lampen. Wenn insgesamt 4 Lampen an sind dann ist die Wahrscheinlichkeit das in der ersten Spalte eine Lampe angeht 3/12 da es 12 Lampen gibt. Die Nächste Lampe in der Reihe hat dann eine 2/11 Chance. In der zweiten Spalte sind wieder 3 Lampen also ist jetzt die Chance 3/10 und dann 2/9.
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zippy
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| Beitrag No.18, eingetragen 2019-10-16
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2019-10-16 22:29 - Sasquatch in Beitrag No. 17 schreibt:
Wenn insgesamt 4 Lampen an sind dann ist die Wahrscheinlichkeit das in der ersten Spalte eine Lampe angeht 3/12 da es 12 Lampen gibt. Die Nächste Lampe in der Reihe hat dann eine 2/11 Chance. In der zweiten Spalte sind wieder 3 Lampen also ist jetzt die Chance 3/10 und dann 2/9.
Hier kommen zwar Zahlen vor, die auch in der Aufgabenstellung vorkommen, aber ich kann keinen inhaltlichen Zusammenhang erkennen.
Außerdem sieht es für mich so aus, als ob du mit dieser Überlegung auch einen positiven Wert für $P(X_1=2,X_2=2;X_3=1,X_4=0)$ erhalten würdest, obwohl diese Wahrscheinlichkeit doch verschwinden muss.
Ich würde dir empfehlen, dich auf den sicheren Boden der Formel (Wahrscheinlichkeit) = (günstige Fälle)/(mögliche Fälle) zurückzuziehen.
Die möglichen Fälle sind hier alle möglichen 4-elementigen Teilmengen der 12 Lampen. Davon gibt es ${12\choose4}=495$ Stück.
Die günstigen Fälle für $P(X_1=2,X_2=2;X_3=0,X_4=0)$ sind diejenigen dieser Teilmengen, für die folgendes gilt:
* In der ersten und zweiten Spalte brennen jeweils alle Lampen bis auf eine. Dafür gibt es jeweils 3 Möglichkeiten, insgesamt also $3\cdot 3=9$.
* In der dritten und vierten Spalte sind alle Lampen dunkel, dadurch kommen also keine neuen Möglichlichkeiten hinzu.
Somit ist$$
P(X_1=2,X_2=2;X_3=0,X_4=0)={9\over495}={1\over55}\;.$$
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Caban
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.19, eingetragen 2019-10-16
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Sasquatch
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| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-16
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Okay dann hab ich a) verstanden. Aber ich verstehe immernoch nicht wie ich das jetzt auf b) anwende. Könnte ich da etwas hilfe kriegen. Danke für die bisherige hilfe.
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zippy
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| Beitrag No.21, eingetragen 2019-10-16
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2019-10-16 23:19 - Sasquatch in Beitrag No. 20 schreibt:
Aber ich verstehe immernoch nicht wie ich das jetzt auf b) anwende.
Du kannst ganz analog die Teilmengen abzählen, die $X_i=x$ und $Y_j=y$ erfüllen. Dabei ist es sinnvoll, eine Fallunterscheidung danach zu machen, ob die Lampe im Schnittpunkt der betrachteten Zeile und Spalte leuchtet oder nicht.
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Sasquatch
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-16
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Ich bin leider immernoch etwas verwirrt. Ich verstehe das die Zahl der möglichen Fälle gleich bleibt aber nicht wie ich jetzt vorgehe für die günstigen Fälle. Muss ich jeden Möglichen Fall durchgehen? Also zB das X1=2 X2=2 und Y1=2 und Y2=2 was ja der gleiche Fall wie gerade wäre.
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zippy
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| Beitrag No.23, eingetragen 2019-10-16
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2019-10-16 23:53 - Sasquatch in Beitrag No. 22 schreibt:
Also zB das X1=2 X2=2 und Y1=2 und Y2=2 was ja der gleiche Fall wie gerade wäre.
Lass uns erstmal sehen, ob wir das gleiche Verständnis der Aufgabenstellung haben. Ich gehe davon aus (wie Diophant in Beitrag Nr. 7), dass die Wahrscheinlichkeiten $P(X_i=x,Y_j=y)$ für alle möglichen Werte von $x$ und $y$ auszurechnen sind.
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Sasquatch
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| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-17
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Ja so habe ich es auch verstanden
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zippy
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| Beitrag No.25, eingetragen 2019-10-17
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2019-10-17 00:12 - Sasquatch in Beitrag No. 24 schreibt:
Ja so habe ich es auch verstanden
Gut, dann können wir die günstigen Fälle für $P(X_i=x,Y_j=y)$ mal abzählen.
Zuerst die Teilmengen, die die Lampe im Schnittpunkt von Zeile und Spalte enthalten:
* Hier enthält der Rest der Spalte $x-1$ Lampen und der Rest der Zeile $y-1$ Lampen.
* Alles außerhalb von Zeile und Spalte entält $4-x-y+1$ Lampen.
Das sind insgesamt$$
{2\choose x-1}{3\choose y-1}{6\choose 4-x-y+1}
$$Möglichkeiten.
Dann die Teilmengen, die die Lampe im Schnittpunkt von Zeile und Spalte nicht enthalten:
* Hier enthält der Rest der Spalte $x$ Lampen und der Rest der Zeile $y$ Lampen.
* Alles außerhalb von Zeile und Spalte entält $4-x-y$ Lampen.
Das sind insgesamt$$
{2\choose x}{3\choose y}{6\choose 4-x-y}
$$Möglichkeiten.
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Sasquatch
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| Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-17
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Okay um ehrlich zu sein hab ich es nicht ganz verstanden aber ich werde es mir noch ein paar mal durchlesen. Danke für die Hilfe. Falls ich noch fragen habe melde ich mich.
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Sasquatch
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| Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-17
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2019-10-17 00:23 - zippy in Beitrag No. 25 schreibt:
2019-10-17 00:12 - Sasquatch in Beitrag No. 24 schreibt:
Ja so habe ich es auch verstanden
Gut, dann können wir die günstigen Fälle für $P(X_i=x,Y_j=y)$ mal abzählen.
Zuerst die Teilmengen, die die Lampe im Schnittpunkt von Zeile und Spalte enthalten:
* Hier enthält der Rest der Spalte $x-1$ Lampen und der Rest der Zeile $y-1$ Lampen.
* Alles außerhalb von Zeile und Spalte entält $4-x-y+1$ Lampen.
Das sind insgesamt$$
{2\choose x-1}{3\choose y-1}{6\choose 4-x-y+1}
$$Möglichkeiten.
Dann die Teilmengen, die die Lampe im Schnittpunkt von Zeile und Spalte nicht enthalten:
* Hier enthält der Rest der Spalte $x$ Lampen und der Rest der Zeile $y$ Lampen.
* Alles außerhalb von Zeile und Spalte entält $4-x-y$ Lampen.
Das sind insgesamt$$
{2\choose x}{3\choose y}{6\choose 4-x-y}
$$Möglichkeiten.
Okay ich habe es grob verstanden aber es leuchtet mir einfach nicht ein Woher die 2,3 und 6 beim Koeffizienten kommen. Könnte ich da noch eine Erklärung bekommen?
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Diophant
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| Beitrag No.28, eingetragen 2019-10-17
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\(\begingroup\)\(
\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,
2019-10-17 17:58 - Sasquatch in Beitrag No. 27 schreibt:
2019-10-17 00:23 - zippy in Beitrag No. 25 schreibt:
(2019-10-17 00:12 - Sasquatch in <a
Gut, dann können wir die günstigen Fälle für $P(X_i=x,Y_j=y)$ mal abzählen.
Zuerst die Teilmengen, die die Lampe im Schnittpunkt von Zeile und Spalte enthalten:
* Hier enthält der Rest der Spalte $x-1$ Lampen und der Rest der Zeile $y-1$ Lampen.
* Alles außerhalb von Zeile und Spalte entält $4-x-y+1$ Lampen.
Das sind insgesamt$$
{2\choose x-1}{3\choose y-1}{6\choose 4-x-y+1}
$$Möglichkeiten.
Dann die Teilmengen, die die Lampe im Schnittpunkt von Zeile und Spalte nicht enthalten:
* Hier enthält der Rest der Spalte $x$ Lampen und der Rest der Zeile $y$ Lampen.
* Alles außerhalb von Zeile und Spalte entält $4-x-y$ Lampen.
Das sind insgesamt$$
{2\choose x}{3\choose y}{6\choose 4-x-y}
$$Möglichkeiten.
Okay ich habe es grob verstanden aber es leuchtet mir einfach nicht ein Woher die 2,3 und 6 beim Koeffizienten kommen. Könnte ich da noch eine Erklärung bekommen?
ich denke, das kann ich dir erklären: jede Spalte besteht aus drei Lampen, jede Zeile aus 4. Da jeweils alle Lampen außer derjenigen in der i. Spalte und der j. Zeile betrachtet werden, muss man da jeweils 1 subtrahieren. Und beim letzten Binomialkoeffizient werden ja die Lampen außerhalb der i. Zeile und der j. Spalte gezählt, die brennen. Das sind dann demenstprechend \((3-1)\cdot(4-1)=2\cdot 3=6\) Lampen.
Du kannst es dir mal aufmalen: eine Matrix aus 4x3 Punkten. Markiere eine Zeile und eine Spalte und zähle, wie viele Punkte markiert sind und wie viele nicht...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Sasquatch
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| Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-17
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Okay das leuchtet mir ein. Ich glaube ich habe es jetzt verstanden. Danke für die Hilfe.
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