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Universität/Hochschule J Lineares Optimierungsproblem
favoritemathhoe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-18


Hallo,

leider komme ich bei der folgenden Aufgabe nicht weiter und würde mich über Hilfe freuen:

Seien \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\), \(b \in \mathbb{R}^m\) und \(c \in \mathbb{R}^n\). Bestimme \(D \in \mathbb{R}^{m \times n}\), \(e \in \mathbb{R}^m\) und \(f \in \mathbb{R}^n\), so dass die linearen Optimierungsprobleme
\(min\{ \langle c,x \rangle : Ax \geq b, x \in \mathbb{R}^n \}\) und
\(max\{ \langle f,x \rangle : Dx \leq e, x \in \mathbb{R}^n \}\)
die gleichen zulässigen Lösungen und die gleiche Optimallösung haben.

Irgendwie fehlt mir bei der Aufgabe ein Ansatz wie ich das ganze lösen kann..

Vielen Dank schonmal für alle Tipps :)



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-19


Hallo favoritemathhoe,
ein Ansatz in so einer Siuation ist, zuerst \(m=n=1\) versuchen.

Viele Grüße,
  Stefan



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favoritemathhoe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-19


Dankeschön für die Antwort!

Ich hab mir das ganze mal für m=n=1 angeschaut.
Falls A>0 und D>0 muss e> bD/A und b/A <= x <= e/D sein. Somit hab ich die Lösungen eingeschränkt.
Falls A=0 oder D=0 ist lässt sich genauso vorgehen, ich denke aber, dass diese Fälle uninteressanter sind.

Wie kann ich jetzt mit einbeziehen, dass die Optimallösung die gleiche seien soll?



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-19


D>0 bei A>0 ist schon eine unnötige und nicht geforderte Einschränkung. Also noch einfacher A=2 und b=1, 2x>1. Wie kann man daraus ein Dx<e machen mit gleicher Lösungsmenge für x?  



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-19


Es gibt bei so etwas immer mehrere Lösungen. Aber gefragt ist nur eine der möglichen Lösungen, also wähle die einfachste von allen. (Und die ist hier wirklich sehr sehr einfach)

Ich finde, dass hier Fallqunterscheidungen gar nicht hilfreich sind. Verwandle die erste Aufgabe in eine Form mit "$\max$" und mit "$\le$", und vergleiche beide Aufgaben!


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/Kyristo meu kimgei kom nhi cumgen ta Gendmogen.



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favoritemathhoe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20


Wenn ich von A=2, b=1 ausgehen komme ich darauf, dass x>=1/2 ist und die Optimallösung (min) eben x=1/2 ist. Und  mit dieser Lösung würde aus Dx<=e mit x=1/2 eben D<=2e folgen.


Wenn ich die erste Aufgabe umforme komme ich zu -max(-Ax <= -b). Stimmt das so? Dann würde ich spontan sagen, dass für die gleichen Lösungen -A=D und -b=e sein müsste, aber dabei habe ich dann das - vor dem max ignoriert...



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-10-20


2019-10-20 10:07 - favoritemathhoe in Beitrag No. 5 schreibt:
-A=D und -b=e
ist die gesuchte Lösung, zumindestens die einfachste von mehreren möglichen Lösungen. Du brauchst jetzt nur noch das mit dem min und max und f passend machen.



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-22


2019-10-20 10:07 - favoritemathhoe in Beitrag No. 5 schreibt:
Dann würde ich spontan sagen, dass für die gleichen Lösungen -A=D und -b=e sein müsste, aber dabei habe ich dann das - vor dem max ignoriert...

2019-10-20 10:46 - StefanVogel schreibt:
Du brauchst jetzt nur noch das mit dem min und max und f passend machen.

Wegen dem Minuszeichen wird der Wert der Zielfunktion umgekehrt. Aber es wird ja nichts von der Zielfunktion verlangt, nur von den Lösungen! 😄



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