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Mathematik » Numerik & Optimierung » Matrixnorm nachweisen
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Universität/Hochschule Matrixnorm nachweisen
Boogie541
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-18


Hallo, ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

_________________________________________________________________________
Fixiere $n \in \mathbb{N}$ und betrachte eine beliebige Vektornorm $\vert \vert \cdot \vert \vert$ auf $\mathbb{R}^{n}$.

Betrachte nun den Raum der reellen $n \times n$ - Matrizen.

Zeigen Sie, dass durch $\vert \vert \vert A \vert \vert \vert := sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \frac{Ax}{x}\quad \forall A \in \mathbb{R}^{n \times n}$


eine Norm auf dem Raum der reellen $n \times n$ - Matrizen definiert ist.

_________________________________________________________________________


Ich habe versucht, die Aufgabe zu lösen, aber mir nicht sicher, ob alle Schritte passen. Ich würde mich über ein Feedback freuen.




Mein Ansatz
___________


Sei $n \in \mathbb{N}$ beliebig aber fest.


Die Definition $\vert \vert \vert A \vert \vert \vert := sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \frac{Ax}{x}\quad \forall A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ können wir auch schreiben als


$\vert \vert \vert A \vert \vert \vert := sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \frac{Ax}{x}\quad \forall A \in \mathbb{R}^{n \times n} = Sup \left(B := \left \{ \frac{\vert \vert  Ax \vert \vert }{\vert \vert  x \vert \vert } \in \mathbb{R}^{n} \; \vert \; x \in \mathbb{R}^{n} \setminus \{0 \} \right \} \right )\quad \forall A \in \mathbb{R}^{n \times n}$


Wir müssen folgende drei Eigenschaften nachweisen:



(i) $\vert \vert \vert A \vert \vert \vert = 0$ $\Rightarrow Ax = 0\quad \forall Ax \in \mathbb{R}^{n}$

(ii) $\vert \vert \vert \lambda A \vert \vert \vert = \vert \lambda \vert \cdot \vert \vert \vert A \vert \vert \vert\quad \forall \lambda \in \mathbb{K}, A \in \mathbb{R}^{n \times n}$

(iii) $\vert \vert \vert A + B \vert \vert \vert \le \vert \vert \vert  A \vert \vert \vert + \vert \vert \vert  B \vert \vert \vert\quad \forall A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$


Zu (i)
______

Sei $A \in R^{n \times n }$.


Angenommen, es gelte $\vert \vert \vert A \vert \vert \vert = Sup(B) = 0$

Dann gilt $\frac{\vert \vert  Ax \vert \vert }{\vert \vert  x \vert \vert } = 0$ für jedes $\frac{\vert \vert  Ax \vert \vert }{\vert \vert  x \vert \vert } \in B$. Auch für den größten.

Daraus folgt, dass $Ax = 0$.




Zu (ii)
______


Sei $\lambda \in \mathbb{R}$, $A \in R^{n \times n }$ und $\frac{\vert \vert  Ax \vert \vert }{\vert \vert  x \vert \vert } \in B$.

Es gilt:

$\frac{\vert \vert  \lambda Ax \vert \vert }{\vert \vert  x \vert \vert }  \overset{(*)}{\underset{\text{}}{=}} \frac{ \vert \lambda  \vert \cdot \vert \vert Ax \vert \vert }{\vert \vert  x \vert \vert }$

Da diese Gleichheit für jedes Element $\frac{\vert \vert  Ax \vert \vert }{\vert \vert  x \vert \vert } \in B$ gilt, gilt diese auch für $\vert \vert \vert A \vert \vert \vert = Sup(B)$

(*) Da $Ax \in \mathbb{R}^{n}$, also ein Vektor aus dem $\mathbb{R}^{n}$ ist, können wir die Homogenität der Vektornorm ausnutzen.




Zu (iii)
________



Seien $A_{i} \in R^{n \times n }$ für $ i =1,2, 3$, wobei $A_{3} = A_{1} + A_{2}$.

Dann ist $\vert \vert \vert A_{i} \vert \vert \vert = Sup \left(B_{i} := \left \{ \frac{\vert \vert  A_{i}x \vert \vert }{\vert \vert  x \vert \vert } \in \mathbb{R}^{n} \; \vert \; x \in \mathbb{R}^{n} \setminus \{0 \} \right \} \right )$ mit $i =1,2$ und


$\vert \vert \vert A_{3} \vert \vert \vert = Sup \left(B_{3} := \left \{ \frac{\vert \vert  (A_{1} + A_{2})x \vert \vert }{\vert \vert  x \vert \vert } \in \mathbb{R}^{n} \; \vert \; x \in \mathbb{R}^{n} \setminus \{0 \} \right \} \right )$




Seien $\frac{\vert \vert  A_{1}x \vert \vert }{\vert \vert  x \vert \vert } \in B_{1}$, $\frac{\vert \vert  A_{2}x \vert \vert }{\vert \vert  x \vert \vert } \in B_{2}$ und $\frac{\vert \vert  (A_{1} + A_{2}x \vert \vert }{\vert \vert  x \vert \vert } \in B_{3}$.


Dann erhalten wir:

$\frac{\vert \vert (A_{1} + A_{2}) x \vert \vert}{\vert \vert x \vert \vert} = \frac{\vert \vert A_{1}x +  A_{2}x \vert \vert}{\vert \vert x \vert \vert} \overset{(**)}{\underset{\text{}}{\le}} \frac{\vert \vert A_{1}x \vert \vert}{\vert \vert x \vert \vert} + \frac{\vert \vert A_{2}x \vert \vert}{\vert \vert x \vert \vert}$


Und weil diese Ungleichung für alle $(A_{1} + A_{2}) x, A_{1}x, A_{2} x \in \mathbb{R}^{n}$ gilt, gilt sie auch für $\vert \vert \vert A_{i} \vert \vert \vert = Sup(B_{i})$ mit $i = 1,2,3$


(***)


Da $(A_{1} + A_{2}) x, A_{1}x, A_{2} x \in \mathbb{R}^{n}$, nutzen wir die Dreiecksungleichung der Vektornorm aus.







So, das war mein Beweis. Allerdings bin ich mit ein paar Formulierungen und bei $(i)$ nicht ganz sicher.

Kann sich das jemand anschauen und mir ein Feedback geben? Ich wäre sehr dankbar dafür!


Liebe Grüße,

Boogie



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-18


Hallo Boogie,

2 und 3 sehen für mich richtig aus, auch wenn ich nicht weiß warum du B1, B2, B3 definierst und das so umständlich machst.


Bei 3 ist zu zeigen, dass gilt

\[||| A_1+ A_2||| \leq |||A_1||| + |||A_2|||\]
Beweis:
$||| A_1+ A_2|||= sup_x\frac{\vert \vert (A_{1} + A_{2}) x \vert \vert}{\vert \vert x \vert \vert} =sup_x \frac{\vert \vert A_{1}x +  A_{2}x \vert \vert}{\vert \vert x \vert \vert} \overset{(**)}{\underset{\text{}}{\le}} sup_x(\frac{\vert \vert A_{1}x \vert \vert}{\vert \vert x \vert \vert} + \frac{\vert \vert A_{2}x \vert \vert}{\vert \vert x \vert \vert}) = |||A_1||| + |||A_2|||$



Bei 1) Du hast den Raum der linearen Abbildung mit einer Norm versehen, dh du willst zeigen, dass \(|||A||| = 0 \Leftrightarrow A=0\) und nicht \(Ax=0\).



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Boogie541
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-18


Vielen Dank für deine Antwort!



2 und 3 sehen für mich richtig aus, auch wenn ich nicht weiß warum du B1, B2, B3 definierst und das so umständlich machst.


Ich habe das gemacht, damit ich nicht <math>sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}</math> schreiben muss.

Die Schreibweise <math>sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \frac{\vert \vert Ax \vert \vert}{\vert \vert x \vert \vert}</math> hat mich etwas verwirrt. Ich war doof genug, um erst ein paar Minuten später zu merken, dass es sich hier von einer Menge die Rede ist.



Bei 1) Du hast den Raum der linearen Abbildung mit einer Norm versehen, dh du willst zeigen, dass \(|||A||| = 0 \Leftrightarrow A=0\) und nicht \(Ax=0\).


Genau, so habe ich mir das am Anfang auch gedacht, aber...

die Matrix muss nicht unbedingt eine Nullmatrix sein, damit $Ax = 0$ gilt, oder?

Man denke nur an die Lösungen eines homogenen LGS. Da ist die Matrix auch nicht die Nullmatrix und der Vektor x ist ja nicht der Nullvektor.

Daher war ich etwas verwirrt. Aber ich weiß sonst nicht, wie ich das angehen soll. Hast du ein Tipp für mich?


Liebe Grüße,

Boogie






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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-18


Hallo Boogie,

Nein die Matrix muss keine Nullmatrix sein damit \(Ax = 0\) gilt. Das ist ja gerade der Kern der linearen Abbildung.

Nutze bei deinem ersten einfach aus, dass \(||Ax|| = 0 \,\Rightarrow Ax =0\, \forall x \, \in \mathbb{R^n} \). Daraus folgt dann \(A = 0\). Ist dir das klar?



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Boogie541
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-19


Guten Morgen,



Nutze bei deinem ersten einfach aus, dass \(||Ax|| = 0 \,\Rightarrow Ax =0\, \forall x \, \in \mathbb{R^n} \). Daraus folgt dann \(A = 0\). Ist dir das klar?

Ob mir das klar ist, bin ich mir nicht ganz sicher.

Wenn $\vert \vert Ax \vert \vert = 0\quad \forall\; 0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}$ gilt, heißt das, das der Kern der Linearen Abbildung $L: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ ganz $\mathbb{R}^{n}$ ist.


Aber trotzdem kann ich mir nicht erklären, warum daraus folgt, dass $A = 0$ sein soll...


Ich kann mir die Gleichung $A x = 0$ ausschreiben.


Dann habe ich:

 $A x = \left ( \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{ij}  \cdot x_{j} \right )_{i = 1}^{m} = 0$.

 Die Gleichheit ist erfüllt, wenn $A = 0$ ist.

Aber ich weiß nicht, ob es eine weitere Matrix $A \neq 0$ gibt, die ebenfalls die Gleichheit erfüllt.


Mir fehlt also eine richtige Begründung dafür confused  Warum ist $A = 0$ ?



Liege Grüße,

Boogie



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-19


Hallo Boogie,

Wir haben also \((A x)_i =  \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{ij}  \cdot x_{j}  = 0 \) (bin mir nicht ganz sicher, was du mit dein i =1 und m ausdrücken willst).

Da die Gleichung \(\forall x \in \mathbb{R}^n\) gilt, wählen wir verschiedene x, sodass \(x = (0,0,0, 1, 0 , 0)\) also nur eine Komponente 1 ist. Dann erhalten wir für \(x_j = 1\) die Gleichung \((Ax)_i = a_{ij} \cdot 1  = 0\). Und damit \(A = 0\).




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Boogie541
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-19


Hallo, ich glaube, es hat Klick gemacht!


Zunächst zu meiner Notation:


Es tut mir Leid, wenn sie etwas verwirrend war. Ich habe einen Fehler gemacht. Aber jetzt sollte sie passen:

\(A x = \left ( \left (\sum\limits_{j = 1}^{n} a_{ij} x_{j} \right)_{i = 1}^{m} \right)^{T} = \left ( \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j}, \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{2j} x_{j}, \ldots, \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{mj} x_{j}  \right)^{T}  \)

Damit will ich nur das LGS ausdrücken.



2019-10-19 12:54 - Rathalos in Beitrag No. 5 schreibt:
Hallo Boogie,

Wir haben also \((A x)_i =  \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{ij}  \cdot x_{j}  = 0 \) (bin mir nicht ganz sicher, was du mit dein i =1 und m ausdrücken willst).

Da die Gleichung \(\forall x \in \mathbb{R}^n\) gilt, wählen wir verschiedene x, sodass \(x = (0,0,0, 1, 0 , 0)\) also nur eine Komponente 1 ist. Dann erhalten wir für \(x_j = 1\) die Gleichung \((Ax)_i = a_{ij} \cdot 1  = 0\). Und damit \(A = 0\).






Ich versuche mal zu erklären, wie ich das verstanden habe.



Wir haben eine lineare Abbildung \(L: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, x \mapsto Ax\)


\(L\) hat die folgende Eigenschaft:

(*) \(L \left ( \sum\limits_{i = 1}^{n} \lambda_{i} x_{i} \right ) = \sum\limits_{i = 1}^{n} \lambda_{i} L(x_{i})\)



Nun wollen wir wissen, ob aus \(Ax = 0\) für alle \(0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}\) die Gleichheit \(A = 0\) folgt.

Dazu nehmen wir uns eine beliebige Matrix \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) und einen beliebigen Vektor \(x \in \mathbb{R}^{n}\).



Dann erhalten wir:

$L(x) = A \cdot x =  A \cdot \sum\limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot e_{i} \overset{(*)}{\underset{}{=}} \sum\limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot A \cdot e_{i} = \sum\limits_{i = 1}^{n}  x_{i} \cdot a_{ij} = 0$, dabei ist $e_{i}$ der i- te kanonische Basisvektor.

Naja, daraus folgt, das \(a_{ij} = 0\) ist, oder?


Habe ich das so richtig verstanden?



Liebe Grüße,

Boogie



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-19


Hallo Boogie541,


Naja, daraus folgt, das \(a_{ij} = 0\) ist, oder?

Wenn du dir diese Frage stellst bist du nocht nicht fertig :). Streng genommen steht bei dir auch nur \(\sum\limits_{i = 1}^{n}  x_{i} \cdot a_{ij} = 0\), was du schon in deinem Beitrag No 4 und meinem No 5 hatten (Wobei wir auch auf die Reihenfolge aufpassen sollte \(Ae_i = a_{ji} = (a_{1i}, a_{2i}, ...)\). Der erste Indizee gibt die Zeile an und der hintere die Spalte).

Ich glaube du verwechselst auch, das wir die kanonische Basis brauchen/benutzen. Es kann irgendeine Basis sein, aber wir nutzen aus, dass wir uns x in dieser Basisdarstellung als \(x = (0, 0 , 0, 1 ,0 , 0) =  1 \cdot e_j\).
Dabei kann \(e_j = (1, -2, 3, ...)\)  sein. setzen wir dieses x ein folgt mit nur \(x_j = 1\)
\(0 = (Ax)_i = \sum_{j=0} ^n a_{ij}x_{j} = a_{i1} \cdot 0 + a_{i2} \cdot 0 + ... + a_{ij} \cdot 1 + 0 + ... = a_{ij} \). Also \(a_{ij} = 0\) für beliebiges i und j. Somit A = 0.





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