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Universität/Hochschule J Referenz EGA
KidinK
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-19


Es sei $(k, |{-}|)$ ein vollständiger diskret bewerteter Körper und $k^\circ = \{ a \in k ; |a| \le 1\}$ sein Bewertungsring. Bekanntlich ist $k^\circ$ ein Hauptidealbereich. Es sei $A = k^\circ\{T_1, \dots, T_n\} = \{ f = \sum_{\nu \in \mathbb{N}^n} a_\nu T^\nu \in k[[T_1, \dots, T_n]] ;  a_\nu \in k^\circ, \lim_{\nu \to \infty} |a_\nu| = 0\} $ das, was ich die Tate-Algebra in den Variablen $T_1, \dots, T_n$ über $k^\circ$ nennen würde.

Ich benötige die Aussage, dass $A$ ein noetherscher Ring ist. Ich habe gehört, dass dies in EGAI, Chap. 0, Prop. 7.5.2 bewiesen wird. Leider kann ich kein französisch und es fällt mir nicht leicht, die genaue Aussage von 7.5.2 herauszufinden. Kann mir jemand sagen, was genau ein zulässiger Ring, ein adischer Ring, usw. in EGA ist, und ob meine Aussage aus 7.5.2 folgt?

Alternativ (oder sogar lieber) würde ich mich sehr über eine zitierfähige englische Quelle für mein Resultat freuen.

Viele Grüße
KidinK



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-19


Bosch, Lectures on Formal and Rigid Analytic Geometry, Prop. 2.14 (Seite 20).

Dort ist aber $k$ als vollständig vorausgesetzt. Reicht das? Es könnte aber sein, dass man für den Beweis dieser Aussage das gar nicht braucht und es lediglich aus Bequemlichkeit von Anfang an gefordert wird.

In EGA I (pdf) meinst du Prop. 7.5.4 auf Seite 70, oder? Ich könnte übersetzen, wenn noch Interesse besteht.

Zu den Definitionen der beiden Begriffe:

Ein kommutativer topologischer Ring heißt präzulässig (preadmissable), wenn seine Topologie durch ein Ideal $J$ definiert wird (das heißt: $J$ ist offen und jede offene Nullumgebung enthält eine Potenz von $J$).

Ein präzulässiger Ring heißt zulässig (admissable), wenn er vollständig und separiert ist, also $A \to \lim_n A/J^n$ ein Isomorphismus ist.
 
Ein präzulässiger Ring heißt präadisch (preadic), wenn es ein Ideal $J$ gibt, das die Topologie definiert, sodass zusätzlich alle Potenzen $J^n$ offen sind (und damit eine Nullumgebungsbasis bilden).

Ein präadischer Ring heißt adisch (adic), wenn er separiert und vollständig ist.

Entscheidend ist dann EGA I, Cor. 7.2.6: Ist $A$ ein zulässiger Ring mit definierendem Ideal $J$, so ist $A$ genau dann Noethersch, wenn $A/J$ Noethersch ist und $J/J^2$ ein endlich-erzeugter $A/J$-Modul ist.



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KidinK
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-19


Hallo, vielen Dank für deine Antwort. Der Körper $k$ soll vollständig sein, das habe ich vergessen. Allerdings geht es in der Proposition aus dem Buch von Bosch um $k\{T_1, \dots, T_n\}$, mir geht es um $k^\circ\{T_1, \dots, T_n\}$. Beachte, dass hier auch die Diskretheit der Bewertung nötig ist (anders als bei $k\{T_1, \dots, T_n\}$), was man schon im Fall $n=0$ sieht: $k^\circ$ ist genau dann noethersch, wenn $k$ diskret bewertet ist.

Ja, ich meine 7.5.4. Ich glaube, dass ich in einer anderen Ausgabe geschaut habe, wo es 7.5.2 war. Wenn du mir eine genaue Übersetzung von 7.5.4 geben könntest, wäre das sehr nützlich. Steht dort genau, dass wenn $A$ ein noetherscher adischer Ring ist (das sollte $k^\circ$ ja sein), dass dann $A' = A\{T_1, \dots, T_n\}$ noethersch ist?

Über eine englische Referenz würde ich mich immer noch freuen. Im Stacks project gibt es weit hinten auch einige Abschnitte über eingeschränkte formale Potenzreihen, aber dort habe ich ein solches Resultat nicht gefunden.

Viele Grüße
KidinK



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-19


Prop. 7.5.4 lautet übersetzt:
(i) Wenn $A$ ein zulässiger Ring ist, so ist es auch $A' = A \{T_1,\dotsc,T_r\}$.
(ii) Sind $A$ ein adischer Ring und $J$ ein definierendes Ideal von $A$ sodass $J/J^2$ endlich-erzeugt über $A/J$ ist. Setzt man $J' = J A'$, dann ist $A'$ ein $J'$-adischer Ring, und $J'/J'^2$ ist endlich-erzeugt über $A'/J'$. Falls außerdem $A$ noethersch ist, so ist es auch $A'$.
 
Der Ring $A \{T_1,\dotsc,T_r\}$ wird vorher so definiert: Sei $(J_\lambda)$ eine Nullumgebungsbasis aus offenen Idealen von $A$. Im zulässigen Fall haben wir also $A \cong \lim_\lambda A/J_\lambda$. Dann setzt man $A\{T_1,\dotsc,T_r\} := \lim_{\lambda} (A/J_\lambda) [T_1,\dotsc,T_r]$.
 
Stimmt das denn mit deiner Definition im Fall $A = k^{\circ}$ überein?



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KidinK
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Vielen Dank noch einmal!

Ja, die topologischen Ringe stimmen überein. Um das einzusehen, kann man zum Beispiel $k^\circ\{T_1, \dots, T_n\}$ nach der EGA-Definition mit einer Banach-Norm ausstatten und die dargestellten Funktoren in der Kategorie der Banachalgebren und kontraktiven Homomorphismen vergleichen. $\mathrm{Hom}(k^\circ\{T_1, \dots, T_n\},{-})$ klassifiziert kontraktive Homomorphismen aus $k^\circ$ zusammen mit der Wahl von $n$ Elementen der Norm $\le 1$.

Viele Grüße
KidinK



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