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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Lösung Richtig? Äquivalenzrelation beweisen!
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Universität/Hochschule Lösung Richtig? Äquivalenzrelation beweisen!
mayett515
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.10.2019
Mitteilungen: 37
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-20 11:57


hallo liebes forum, ich wollte nur fragen ob meine lösung zur ersten aufgabe des lösungsblattes richtig ist.
ich soll zeigen ob folgende definition eine äquivalenzrelation ist
fed-Code einblenden


würde mich sehr über hilfe freuen, mfg!



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Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8575
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-20 12:07


Hallo, mayett515,

bitte guck dir die Reflexivität noch mal an. Was ist zu zeigen?

Wally



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2133
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-20 12:11

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

bei der Reflexivität hast du eine Fehler gemacht, da solltest du ja \((a,b)\sim(a,b)\) nachrechnen.

Symmetrie und Transitivität passen.

Den fragliche Zusammenhang hast du im Prinzip ebenfalls richtig erkannt. Eine Äquivalenzklasse besteht demnach aus allen möglichen Darstellungen einer rationalen Zahl mit ganzem Zähler und Nenner.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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mayett515
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.10.2019
Mitteilungen: 37
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20 12:36


boah danke euch!
dann war da noch ein denkfehler drinnen
also (a,b) zählen nur in der Konstellation (a,b) auch als Element der Menge?
vielen dank euch, perfekt!

ist das wählen der zeichen auch legitim, so wie ich es getan habe?




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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2133
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-20 12:38

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

jedes solche Paar \((a,b)\) steht ja für eine bestimmte Darstellung einer rationalen Zahl (die selbst durch das Verhältnis \(\frac{a}{b}\) gegeben ist).

2019-10-20 12:36 - mayett515 in Beitrag No. 3 schreibt:
ist das wählen der zeichen auch legitim, so wie ich es getan habe?

Ich halte deine gewählten Symbole nicht nur für legitim, sondern für hochgradig sinnvoll.  smile

Aber ich glaube, an einer Stelle musst du noch ein Gleichheitszeichen durch einen Äquivalenzpfeil ersetzen. Siehst du selbst, wo?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2347
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-20 12:45


Hallo,

es wäre interessant zu erfahren auf welcher Menge du die Äquivalenzrelation betrachtest. Vor allem auch welche algebraische Struktur diese Menge hat. Also Körper, Ring, Gruppe, ... . Das ist wichtig, weil nicht klar ist, welche Rechenregeln und auch Operatoren (du benutzt zum Beispiel ohne weiteres 'geteilt') du benutzen darfst.
Daher aus welcher Menge die Elemente kommen.

Ansonsten ist die Reflexivität nicht korrekt gezeigt.

Du schreibst:

$a\sim a\Leftrightarrow a-a=0$

Der Gedanke ist richtig. Die Relation ist aber für Paare definiert.
Zeigen musst du also $(a,b)\sim (a,b)$.

Bei der Symmetrie musst du auch etwas aufpassen. Da hast du vermutlich auch einen Tippfehler gemacht.

Zeigen musst du, dass wenn $(a,b)\sim (a',b')$, dann auch $(a',b')\sim (a,b)$

Die Transitivität gehst du richtig an.
Im zweiten Aufgabenteil sprichst du von $\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus\{0\})$.

Bedenke, dass du in den ganzen Zahlen nicht ohne weiteres dividieren kannst. $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ ist ja ein sogenannter Ring. Division macht nicht unbedingt Sinn, da die multiplikationen Inversen der ganzen Zahlen selbst keine ganzen Zahlen sein müssen. Das gilt ja nur für die sogenannten Einheiten $\pm 1$.

Wenn du also die Transitivität zeigst, solltest du auf Division verzichten, damit die Rechnungen innerhalb der Struktur stattfinden.


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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mayett515
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Dabei seit: 19.10.2019
Mitteilungen: 37
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20 14:03

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-10-20 12:38 - Diophant in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo,

jedes solche Paar \((a,b)\) steht ja für eine bestimmte Darstellung einer rationalen Zahl (die selbst durch das Verhältnis \(\frac{a}{b}\) gegeben ist).

2019-10-20 12:36 - mayett515 in Beitrag No. 3 schreibt:
ist das wählen der zeichen auch legitim, so wie ich es getan habe?

Ich halte deine gewählten Symbole nicht nur für legitim, sondern für hochgradig sinnvoll.  smile

Aber ich glaube, an einer Stelle musst du noch ein Gleichheitszeichen durch einen Äquivalenzpfeil ersetzen. Siehst du selbst, wo?


Gruß, Diophant


diophant ich vermute bei a'b'' - a''b' <-> a'/b'' - a''/b' ist das korrekt mfg?
dir auch vielen dank für deine antwort, ist das dreieck symbol auch legitim  oder wäre ein -> auch angebracht?


Prinzessin, das wäre auch die Menge Z x Z ohne der 0, also wäre praktisch egal welche zahl im nenner und im zähler steht?.

prinzessin, ich meinte Z x Z \ {0} , sorry dass ich das undeutlich ausgedrückt habe, ich finde das \ symbol nicht im fedgeoformeleditor!

bezüglich der symmetrie, meinst du dass das -> symbol sinnvoller wäre?


auch dir vielen dank für deine hilfe
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2347
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-20 14:08



bezüglich der symmetrie, meinst du dass das -> symbol sinnvoller wäre?

Ja.
Nicht nur sinnvoller, sondern zwingend notwendig.

Für die Symmetrie musst du also zeigen, dass $(a,b)\sim (a',b')\Rightarrow (a',b')\sim (a,b)$

Was du ja auch tust.

Das Symbol $\setminus$ kannst du mit \setminus erzeugen. Jedenfalls wenn du nicht den fedgeo benutzt.



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mayett515
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-22 22:22


vielen dank!



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-10-22 22:42


Ist damit alles geklärt, oder gibt es noch irgendwelche Fragen?



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